TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(29).2008

64

NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI NGẪU VÔ HẠN PHẦN TỬ
THE INFINITE DUAL DIRICHLET PRINCIPLE

TRẦN QUỐC CHIẾN
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
TRƯƠNG CÔNG NÊN
Học viên Cao học kha 2005 – 2008

TÓM TẮT
Mc d đơn giản nhưng nguyên lý Dirichlet được áp dụn g đ giải nhiều bài toán tổ hợp
phức tạp. Tuy nhiên, nguyên lý Dirichlet chỉ được áp dụng cho các tập hữu hạn. Bài
báo này trình bày nguyên lý Dirichlet đối ngẫu cho tập hữu hạn và chứng minh rng n
tương đương vi nguyên lý Dirichlet (cổ đin ). Sau đ, nguyên lý Dirichlet đối ngẫu
được mở rộng cho tập vô hạn. Cuối cng, các kết quả được áp dụng đ giải một số bài
toán tổ hợp phức tạp.
ABSTRACT
Although it is simple, the Dirichlet principle is applied to solve many difficult
combinatorical problems. However Dirichlet principle deals exceptionally with finite
sets. This paper presents the dual Dirichlet principle and shows that it is equivalent to
the Dirichlet principle. Then, the dual Dirichlet principle is extended for infinite sets.
Finally, the results are applied to solve some difficult combinatorical problems.

1. Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu hữu hạn phần tử
Trước hết ta nhắc lại Nguyên lý Dirichlet.
• Nguyên lí Dirichlet. Nếu xếp nhiều hơn n đối tượng vào m cái hộp và
n
m

, …, x
m
. Xét tập X = { (x
i
,S
j
) | x
i
∈
S
j
, i = 1, 2, …,
m & j = 1, 2, …, n }. Hiển nhiên | X | = | S
1
| + | S
2
| + … + | S
n
| > k. | S | = k.m
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(29).2008

65

Ta phân bố các phần tử của tập X vào m hộp 1, 2, …, m như sau: nếu x
i
∈
S
j
thì
(x

n
|
= n > k.m > k. |S|.
Theo Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu tồn tại phần tử H
i
chung của k + 1 tập S
j
( i =
1, 2, … n), tức là tồn tại hộp H
i
2. Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử
chứa ít nhất k + 1 phần tử.
2.1. Tập phần tử là một khoảng trên đường thẳng
Trong mục này ta kí hiệu d(I) là độ dài của khoảng I ⊂ R.
• Định lý 2. Cho A là một khoảng giới nội, A
1
, A
2
, … , A
n
là các khoảng sao cho
A
⊂
i
A (i = 1, 2, …, n) và d(A) < d(A
1
) + d(A
2
) + … + d(A
n

n
≤
) d(A). Các
bất đẳng thức trên mâu thuẫn với nhau. Vậy ít nhất có hai khoảng trong số các khoảng
trên có điểm trong chung.
• Định lý 3. Cho A là một khoảng giới nội, A
1
, A
2
, … , A
n
là những khoảng con của A,
k là số tự nhiên thỏa mãn
k. d(A) < d(A
1
) + d(A
2
) + … + d(A
n
)
Khi đó tồn tại ít nhất k + 1 khoảng A
i
(i = 1, 2, …, n) có điểm trong chung.
Chứng minh. Ta chứng minh bài toán này bằng phương pháp quy nạp.
◊ Trường hợp k = 1 được chứng minh ở định lý 2.
◊ Giả sử định lí đúng với k, ta phải chứng minh nó cũng đúng với k + 1. Cho A
1
, A
2
, …

2
) + … + d(A
n
≥
) < n.d(A). Suy ra
k + 1 < n. Vì vậy n k + 2.
Ta chứng minh tồn tại điểm chung cho ít nhất k + 2 tập A
1
, A
2
, …, A
n
thỏa (2.1)
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(29).2008

66

bằng quy nạp theo n. Ta bắt đầu từ n = k + 2, tức là :
(k + 1).d(A) < d(A
1
) + d(A
2
) + … + d(A
k + 2
) (2.2)
Đặt A'
i
= A
i
\ A

) + d(A'
2
) + … + d(A'
k+1
) (2.7)
Nếu lấy (2.2) trừ đi (2.7) ta có :
(k + 1).d(A") < d(A
k + 2
) + d(A"
1
) + d(A"
2
) +… + d(A"
k+1
) (2.8)
Từ (2.8) suy ra :
k.d(A
k + 2
) < d(A

1
A
k + 2
) + d(A

2
A
k + 2
) +… + d(A


Bây giờ chúng ta giả thiết với n k + 2 có ít nhất k + 2 tập hợp thỏa (2.1) có
điểm trong chung. Ta sẽ phải chứng minh rằng từ (k + 1).d(A) < d(A
1
) + d(A
2
) + … +
d(A
n
)+ d(A
n + 1
) (2.10)
suy ra có ít nhất k + 2 tập hợp trong dãy A
1
, A
2
, … , A
n + 1
có điểm trong chung.
Thật vậy, chúng ta đặt :
A'
i
= A
i
\ A
n+1
(i = 1, 2, … , n) (2.11)
A"
i
= A


d(A'
i
) + d(A"
i
) = d(A
i
) (i = 1, 2, … , n) (2.15)
và d(A') + d(A") = d(A) (2.16)
Chúng ta sẽ chứng minh một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
(k + 1).d(A') < d(A'
1
) + d(A'
2
) + … + d(A'
n
) (2.17)
hoặc là k.d(A'') < d(A"
1
) + d(A"
2
) + … + d(A"
n
) (2.18)
Thật vậy trong trường hợp ngược lại ta có
(k + 1).d(A') ≥ d(A'
1
) + d(A'
2
) + … + d(A'
n

n + 1
)
Điều này trái với (2.10). Nên một trong hai bất đẳng thức (2.17) và (2.18) phải có ít nhất
một bất đẳng thức đúng.
Giả sử (2.17) đúng. Theo giả thiết quy nạp đối với n từ (2.17) suy ra ít nhất k + 2
tập hợp trong dãy A'
1
, A'
2
, … , A'
n
có điểm trong chung. Từ (2.11) suy ra rằng kết luận
cũng đúng cho dãy A
1
, A
2
, … , A
n
.
Giả sử (2.18) đúng. Từ giả thiết quy nạp đối với k suy ra k + 1 tập hợp trong
A"
1
, A"
2
, … , A"
n
có điểm trong chung và cùng với (2.12) chỉ ra rằng tồn tại một điểm
mà nó là điểm trong k+1 tập hợp A
1
, A

2
) + … +
S(A
n
), thì ít nhất có hai miền trong số các miền nói trên có điểm trong chung.
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Định lí 2.
Định lý 5. Cho A là một miền giới hạn bởi một đường cong phẳng khép kín, còn A
1
,
A
2
, … , A
n
là những miền thoả mãn A
⊂
i
A (i = 1, 2, …, n) và k là số tự nhiên thỏa mãn
k. S(A) < S(A
1
) + S(A
2
) + … + S(A
n
2.3. Tập phần tử là khối ba chiều giới hạn bởi các mặt cong phẳng
)
Khi đó ít nhất k + 1 trong số những miền nói trên có điểm trong chung.
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Định lý 3.
Trong mục này ta kí hiệu V(A) là diện tích khối A.
Định lý 6. Nếu A là một khối giới hạn bởi các mặt cong phẳng, còn A
1

) + V(A
2
) + … + V(A
n
)
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(29).2008

68

Khi đó ít nhất k + 1 trong số những khối trên có điểm trong chung.
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Định lí 3.
3. ỨNG DỤNG
• Ví dụ 1
Trong một hình vuông có cạnh là 1 chứa một số
đường tròn. Tổng tất cả chu vi của chúng là 10. Chứng
minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 4 đường tròn
trong những đường tròn đó?
Giải. Ta chọn một cạnh hình vuông rồi chiếu vuông
góc các đường tròn xuống cạnh đó (xem hình 1). Ta có,
hình chiếu của một đường tròn bán kính R xuống AB là
một đoạn thẳng có độ dài 2R. Vì vậy trên cạnh hình vuông
đã chọn có những đoạn thẳng chiếu xuống với tổng độ dài là
10
π
. Mà
10
π
> 3. Nên theo
nguyên lý Dirichlet đối ngẫu (Định lí 3) suy ra có một điểm M nào đó thuộc AB là điểm
trong chung của ít nhất 4 đoạn thẳng đã c hiếu xuống. Khi đó, đường thẳng đi qua M

9
,1
10



. Kí
hiệu M
i
i i1
,
10 10
+



là phần của M nằm trong đoạn ( i = 0, 1, 2, … , 9) và D
i
là tổng độ
dài các đoạn thẳng tạo ra M
i
12
,
10 10



. Bằng cách tịnh tiến thích hợp chúng ta chuyển mọi đoạn
thẳng ,
23

9
> 0,5 = 5*0,1. Theo nguyên lý Dirichlet đối ngẫu
(Định lí 3) suy ra có ít nhất 6 tập hợp trong M
o
, M
1
’, M
2
’, … , M
9
1
0,
10



’ có điểm chung.
Điều này có nghĩa là một số nào đó trong là kết quả của 6 điểm khác nhau x
1
,
x
2
, … ,x
6
1
k
10
của M trừ đi tương ứng những số dạng ,
2
k

đó trong 0, 1, 2, … , 9 và i = 1, 2, … , 6. Theo nguyên lý Dirichlet ít nhất có 2 trong các
số k
1
, k
2
, … , k
6
là liên tiếp. Ví dụ k
2
= k
1
+ 1 hay k
2
– k
1
= 1. Và vì x
1
1
k
10
– = x
2
2
k
10
–
, nên x
2
– x
1

1
C
1
D
1
≤
chia hình
vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ. Theo nguyên lý Dirichlet, ở một trong chúng ít
nhất cũng có hai trong số các tâm. Khi đó khoảng cách giữa hai tâm này một mặt không
lớn hơn đường chéo hình vuông bé, mặt khác không bé hơn 2. Do vậy có:
2 OA
1
11
AB
2
2
= =
a2
2
2
−
.
Suy ra : a
≥

22 2+

Vậy nếu a
≥



[7] Stefan Danchev Brics and Soren Riis, “Tree Resolution proofs of the Weak Pigeon-
hole Principle”.
[8] Andreas Blass, “An Induction Principle and Pigeonhole Principles for K- Finite
Sets”, 2003.
[9] Edwin Kwek Swee Hee - Huang Meiizhuo - Koh Chan - Heng Wee Kua,
“Applications of the Pigeonhole Principle”, Singapore Maths Project Festival,
2003.
[10] http://en.wikipedia.org/wiki/Johan_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet,
“Johan_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet”, ngày truy cập 11/9/2007.
[11] http://www.cs.cornell.edu/Courses/cs280/2002sp/pigeonhole% 20problem. htm,
“Quiz (sort of) with answers Pigeonhole Principle CS 280 – Spring 2002”.