1
C. V ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. ĐỊNH NGHĨA:
a. Định nghĩa:
Cho hai không gian vectơ E, F trên K.
Một ánh xạ
:
f
EF

 được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu
có các tính chất sau:
i.
,()()()
x
xEfxx fx fx
 
  

ii.
() ()
x
EK fxfx


    Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu không gian
vectơ.
 Tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính từ E đến F được ký hiệu

 Td2: Ánh xạ không

0:
0
F
E
F
x



 Td3: Ánh xạ

|
23
:
(, ) ( ,2, 3)
g
x
yxyxxy

  
 là một phép biến đổi tuyến tính của
3
 .
2
Vì:

    (,2,3)( ,2,3)
xy
xx
y
x
y
xx
y

 
    
() ()
g
u
g
v



2
(, )uxy

  


(0) 0
f
 vì () (0) 0()
f
O
f
O
f
OO

)
ii)
() ()
f
xfx

iii) 11
11
,, ,,
() ()
nn
nn
ii i i
ii
x
xE K
fx fx

, ,
n
bb là n vectơ nào
đó của F.
Khi đó, có một ánh xạ tuyến tính duy nhất f từ E vào F thỏa

()
1, ,
ii
f
ab
in






3
Chứng minh:

1
n
ii
i
x
Ex ta

 



thì :

1
11 1
,
() ( ) ( ) ()
n
ii
i
nn n
ii i i ii
ii i
xEx ta
gx g ta tga tb f x



 


 

Vậy
gf
 .

d. Mệnh đề 4:
Nếu
(, )

buv
f
cu.
Tính
(, ,)
f
x
y
z .
Bài làm:
a) ta có

110 110
101 0 11 10
012012
D 

nên a, b, c độc lập tuyến tính.
Mà
3
dim 3
, nên a, b, c là cơ sở của
3
 .

4
b)

3
(,,)uxyz 

f
       

(2)(22)[]( )
x
yzv x yzuv xyzu        (2 3 2 , 3 3 3 ,0)
xy
zx
y
z

3. ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.
a. Ảnh của ánh xạ tuyến tính.

Cho ánh xạ tuyến tính
(, )
f
Hom E F

.
Tập hợp
() {()/ }
f
EfxxE
được gọi là ảnh của ánh xạ
tuyến tính f.
Ký hiệu:

f
afa là một
họ sinh của
Im
f
.
Chứng minh:
Hiển nhiên
1
(), ,( )Im
n
f
afa f

.
Ngoài ra,
Im ( )
yf
xE
yf
x  
Vì
x
E nên
1
n
ii
i
x
a



Im
f
F

Thí dụ:
Cho phép biến đổi tuyến tính

33
:f (, ,) ( 2, , )
xy
zx
yy
zx
y
z



Tìm một cơ sở của
Im
f
.

() 21 1 011 011
()0 1 1 011 000
fe
fe
fe


 



,

suy ra một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của
12 3
(),( ), ()
f
efe fe là
12
(),( )
f
efe.
Đây là 1 cơ sở của
Im
f
.

 HẠNG CỦA AXTT:

Cho (, )