Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận

77
Bài 6: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN

Mục tiêu Nội dung
• Nắm được khái niệm về ánh xạ tuyến tính,
• Nắm được khái niệm về hạt nhân và ảnh
• Nắm được khái niệm về hạng của ánh xạ
tuyến tính
• Khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính.
• Giải được các bài toán về ánh xạ tuyến tính,
hạt nhân và ảnh, hạng của ánh xạ Thời lượng
Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT
+
8
giờ làm bài tập.
Ánh xạ tuyến tính giúp ta hiểu được
những yếu tố quyết định dẫn đên cấu trúc
của không gian véc tơ.
Bài 6 bao gồm bốn nội dung chính :
• Khái niệm chung
• Các tính chất của ánh xạ tuyến tính –
Hạt nhân và ảnh
• Hạng của ánh xạ tuyến tính – định lí
về số chiều
• Ma trận của ánh xạ tuyến tính

f(0θ)
=
0 f(θ)
=
θ
Vậy ánh xạ tuyến tính chuyển véc tơ không thành véc tơ không.
Kết hợp các điều kiện (1) và (2) ta có
f(αx
+
αy)
=
αf(x)
+
αf(y) , ∀x, y ∈ V, α, β ∈ \
Một cách tổng quát quy nạp ta có
nn
ii i i i i
i1 i1
f x f (x ), x V, , i 1, 2, , n
==
⎛⎞
α=α ∀∈α∈ =
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
\
(*)
Hệ thức (*) chứng tỏ rằng ánh xạ tuyến tính chuyển một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến
tính thành một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính .
Nếu ánh xạ tuyến tính là một đơn ánh thì gọi là đơn cấu

(x
1
, y
1
, z
1
), u
2

=
(x
2
, y
2
, z
2
) ta có
f[
α
1
u
1

+
α
2
u
2
]
=

)]
=
[α
1
x
1

+
α
2
x
2

+
2α
1
y
1

+
2α
2
y
2

+
3α
1
z
1

2
y
2

+
6α
1
z
1

+
6α
2
z
2
,
7
α
1
x
1

+
7α
2
x
2

+
8α

2y
1

+
3z
1
, 4x
1

+
5y
1

+
6z
1
, 7x
1

+
8y
1

+
9z
1
)
+

+

9z
2
)
=
α
1
f(x
1
, y
1
, z
1
)
+
α
2
f(x
2
, y
2
, z
2
)
=
α
1
f(u
1
)
+

=
{w
1
, w
2
, , w
n
} là một cơ sở
của V. Khi đó, mỗi véc tơ u ∈ V có thể biểu diễn duy nhất
u
=
c
1
w
1

+
c
2
w
2

+

+
c
n
w
n


1

+
d
2
w
2

+

+
d
n
w
n
nghĩa là v
B

=
(d
1
, d
2
, , d
n
) ∈ \
n
.
Do đó
[u

n
)
+
(d
1
, d
2
, , d
n
)
=
u
B

+
v
B

⇔ f(u
+
v)
=
f(u)
+
f(v)
[αu]
B

=
(αc

α như sau
∀u ∈ V, (f
+
g)(u)
=
f(u)
+
g(u) ∈ W
∀u ∈ V, (αf)(u)
=
αf(u) ∈ W.
Dễ thấy rằng f
+
g và αf cũng là những ánh xạ tuyến tính từ V tới W.

Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận

80
o Bây giờ gọi L(V, W) là tập tất cả những ánh xạ tuyến tính từ V tới W. Với hai
phép toán cộng ánh xạ tuyến tính và nhân ánh xạ tuyến tính với một số thực
vừa định nghĩa có thể chứng minh được rằng L(V, W) là một không gian véc tơ
trên trường số thực \.
• Giả sử V, W, U là ba không gian véc tơ và
f: V → W g: W → U
Khi đó, ánh xạ hợp g ο f xác định bởi
(∀u ∈ V) (g ο f )(u)
=
g(f(u)) ∈ U là một ánh xạ tuyến tính từ V tới U.
6.1.3. Sự đẳng cấu của không gian n chiều với \
n

∈ V ↔ (x)
B
∈ \
n

y ∈ V ↔ (y)
B
∈ \
n

Ta có
x
+
y ∈ V ↔ (x
+
y)
B

=
(x)
B

+
(y)
B
∈ \
n

αxV ↔ (αx)
B

∈ V.
Vì θv
=
θ nên
f(θ)
=
f(θv)
=
θ(v)
=
θ
b. Vì –v
=
(–1)v nên
f(–v)
=
f[(–1)v]
=
(–1)f(v)
=
–f(v).
c. Vì u – v
=
u
+
(–v) nên
f(u – v)
=
f[u
+

Định nghĩa 6.4: Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì số chiều của Im(f) gọi là
hạng của f, ký hiệu là rank(f).
rank(f)
=
dim(Im(f)).
Định lí 6.4: (về số chiều) Nếu f: V
→ W là một ánh xạ tuyến tính thì
dim(Im(f))
+
dim(Ker(f))
=
n, trong đó n
=
dimV,
tức là rank(f)
+
dim(Ker(f))
=
n.
Ví dụ: Xét ánh xạ tuyến tính f: \
3
→ \
4
.
f(x; y; z)
=
(x
+
z; y – x; z
+

82
Giải:
a. e
1

=
(1; 0; 0), e
2

=
(0; 1; 0), e
3

=
(0; 0; 1)
f(e
1
) = (1; –1; 0; 1)
f(e
2
) = (0, 1, 1, 1)
f(e
3
) = (1, 0, 1, 2).
Ta nhận thấy f(e
3
)
=
f(e
1

0
α=
⎧
⎪
−α + α = α =
⎧
⎪
⇒
⎨⎨
α= α=
⎩
⎪
⎪
α+α=
⎩

Vậy hai véc tơ f(e
1
), f(e
2
) là độc lập tuyến tính.
Do đó
rank {f(e
1
), f(e
2
), f(e
3
)}
=

++ = = +
⎩⎩

Kerf
=
{(x; y; z)
⎜ z
=
–x; y
=
x}
=
{x(1; 1; –1) ⎜ x ∈ \}.
Vậy dim Ker(f)
=
1.

dim f(\
3
)
=
dim \
3
– dim Ker(f)
=
3 – 1
=
2.
c. Đặt
Xxz

+
Y
=
2X
+
Y.
Vậy
f(\
3
)
=
{(X; Y; X
+
Y; 2X
+
Y) ⎜ X ∈ \, Y ∈ \}.
Vì
(X; Y; X
+
Y; 2X
+
Y)
=
X(1; 0; 1; 2)
+
Y(0; 1; 1; 1)
nên một cơ sở của (\
3
) là các véc tơ
3

là cặp cơ sở của V và W. Nếu f : V → W là một ánh xạ tuyến tính thì
m
ijij
j1
f (e ) a f (i 1, 2, , n).
=
==
∑
(6.1)
Ma trận
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A
a a a
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
## #

gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f theo các cơ sở {e
i
}
n

i1
f(x) f
=
=β
∑
(b)
Hãy tính các giá trị β
i
, i
=
1,2, ,m.
Hệ thức (b) có thể viết dưới dạng ma trận
f(x)
=
(f
1
, , f
m
)
1
m
β
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
β
⎝⎠
#
(c)

⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
α
⎝⎠
#
(d)

Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận

84
Từ các hệ thức (c) và (d) ta có
(f
1
, , f
m
)
1
m
β
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
β
⎝⎠
#

=

#

=
A
1
n
α
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
α
⎝⎠
#
(6.3)
Theo đẳng thức ma trận (6.3) ta có
n
ikik
k1
a , i 1, 2, ,m.
=
β= α =
∑
(6.4)
Định lí 6.5: Hạng của ma trận A bằng số chiều Im(f).
Chứng minh:
Ta có {f(e
1
), , f(e
n

chính tắc của
\
3
. Xét ánh xạ tuyến tính f: \
4
→ \
3
xác định bởi
11 23
24123
3123
f(e ) 2
f(e ) f(e ) 2 (*)
f(e ) 2 4 3
⎧
=ξ + ξ +ξ
⎪
==−ξ−ξ+ξ
⎨
⎪
=ξ+ξ+ξ
⎩

a. Xác định ma trận của ánh xạ tuyến tính f, từ đó suy ra hạng của f.
b. Xác định một cơ sở của hạt nhân Ker (f), từ đó suy ra hạng của f.
Giải:
a. Từ (*) ta có ma trận của f
1121
A2242
1131

yf(e
2
)
+
zf(e
3
)
+
tf(e
4
)
=
x(ξ
1

+
2ξ
2

+
ξ
3
)
+
y(–ξ
1
– 2ξ
2

+

2z – t)ξ
1

+
(2x – 2y
+
4z – 2t)ξ
2

+
(x
+
y
+
3z
+
t)ξ
3

Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận

85
Vì vậy
f(x; y; z; t)
=
(x – y
+
2z – t; 2x – 2y
+
4z – 2t; x

4y
+
2z
+
4t
=
0 ⇒ y
=

z
t
2
−
−
Ker(f)
=

5z
(x;y;z;t)x z;y t;z;t
22
⎧⎫
⏐=− =− − ∈
⎨⎬
⎩⎭
\
=

51
z ; ; 1; 0 t(0; 1; 0; 1) z, t .
22

TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
• Các bạn đã được học về Ánh xạ tuyến tính.
•
Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau:
•
Nắm được khái niệm về ánh xạ tuyến tính, hạt nhân và ảnh;
•
Nắm được khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính;
•
Giải được các bài toán về ánh xạ tuyến tính, hạt nhân và ảnh.
Bài tiếp theo các bạn sẽ được học về Toán tử tuyến tính, Trị riêng và véc tơ riêng.

Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận

87
BÀI TẬP
1. Cho ánh xạ f: \
2
→ \
3
xác định bởi
f(x; y)
=
(x; x
+
y; x – y).
Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính
2. Cho f là ánh xạ từ \
3
vào \

⎜x
1

+
x
2

+
x
3

=
0} là một không gian véc tơ con
của \
3
. Xác định số chiều và cơ sở của f(P).
3. Xét ma trận
M
=

210
221
022
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

f là toán tử tuyến tính trên \


4. Cho E và E′ là hai không gian con của \
4
. E sinh bởi các véc tơ u
=
(1; 1; 0; 0),
v
=
(0; 1; 1; 0) và w
=
(1; a; 0; b) còn E′ sinh bởi các véc tơ u′
=
(1; 0; 0; 1), v′
=
(0; 0; 1; 1)
và w′
=
(1; c; 1; d) với a, b, c, d là các tham số thực.
Xét toán tử tuyến tính f của \
3
xác định bởi
f(x; y; z; t)
=
(t; z; y; x).
a. Cho biểu diễn của một véc tơ của f(E). Nghiên cứu số chiều của f(E) theo các tham số.
b. Cũng câu hỏi như vậy cho f(E′).
c. Xác định các tham số a, b, c, d sao cho f(E) và f(E′) là các bổ sung.Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận

C. ϕ(x)
=
(–1, 0, 5)
D. ϕ(x)
=
(–1, 0, –5)
2. Giả sử T : \
2
→ \
3
là ánh xạ tuyến tính xác định bởi
112
212
xxx
T
x2x4x
⎛⎞ +
⎡⎤ ⎡ ⎤
=
⎜⎟
⎢⎥ ⎢ ⎥
−+
⎣⎦ ⎣ ⎦
⎝⎠

Cho cơ sở B
=
{u
1
, u

⎦

C.
20
A
30
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
, D.
02
A
03
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦