Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng

89
Bài 7: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
Mục tiêu Nội dung
• Nắm được khái niệm về Toán tử tuyến tính.
• Nắm được khái niệm về Trị riêng và véc tơ
riêng.
• Nắm được phương pháp chéo hóa ma trận.
• Giải được các bài toán tương ứng. Thời lượng
Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT +
8 giờ làm bài tập.
• Đối với toán tử tuyến tính người ta quan
tâm tới ma trận biểu diễn nó. Việc tìm
các không gian con bất biến một chiều là
cực kỳ quan trọng. Tìm lời giải cho bài
toán này là nguyên nhân đưa đến khái
niệm trị riêng và véc tơ riêng.
• Toán tử tuyến tính
• Trị riêng và véc tơ riêng
• Vấn đề chéo hóa ma trận. Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng

90
Bài toán mở đầu :

′′
=+Γ
s(t 1) s(t) s(t)+= +Γ
Bây giờ ta giả thiết rằng nhu cầu mỗ
i sản phẩm là không đổi theo thời gian về sản phẩm thuần túy
của nó. Giả sử γ
i
là tỷ số của nhu cầu so với sản phẩm thuần túy thứ i ( 0 < γ
i
< 1 ). Ta gọi γ
i
là
thiên hướng tiêu thu sản phẩm i. Lập ma trận đường chéo Г là ma trận thiên hướng tiêu thụ, ta có
y (t) y(t)
′
=Γ
s(t) (I )y(t)Γ=−Γ
1
y(t) (I ) s(t)
−
=−ΓΓ ( **)
Ma trận (I – Г) là ma trận đường chéo với đường chéo dương thực sự vì (0 < γ
i
< 1), cho nên
(I – Г)
–1
luôn tồn tại, các phần tử đường chéo của ma trận đó là 1/ (1 – γ
i
).
Từ hai hệ thức (*) và (**) ta có

*
Гs(t) ≤ (1/

γ) Гs(t).
Người ta chứng minh được rằng nghiệm duy nhất của hệ trên là (1/

γ
*
)
=
γ
*
, Гs(t)
=
x
*

trong đó

γ
*
là nghiệm đặc trưng lớn nhất về mô đun, x
*

là véc tơ riêng tương ứng của ma trận A.

Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng

91
7.1. Toán tử tuyến tính

f(e
k
)
=

n
ik i k
i1
a e f , k 1, , n
=
==
∑

A
=

ik
nn
a
×

Vì vậy, để cho tiện, ta sẽ ký hiệu toán tử tuyến tính bằng A (là ma trận tương ứng
của nó).
7.1.2. Cộng và nhân các toán tử tuyến tính
• Phép cộng
Tổng của hai toán tử tuyến tính A và B là toán tử tuyến tính C, mà nó thiết lập cho
mỗi véc tơ x một véc tơ tương ứng Ax + Bx. Nói cách khác
C
=
A + B

cab.=+

Ma trận
ik ik
ab+ gọi là tổng của các ma trận
ik
a và
ik
b
.
Vậy ma trận của tổng các toán tử tuyến tính bằng tổng các ma trận ứng với số hạng
thành phần.

Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng

92
• Phép nhân
Tích của hai toán tử tuyến tính A và B là toán tử C, thể hiện sự hoàn thành liên
tiếp, đầu tiên là toán tử B và sau đó là toán tử A.
Nói cách khác
CAB CxA(Bx).
=⇔=
Ta có tích của hai toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính.
Thật vậy
12 12 1 2
C(x x ) A[B(x + x )] = A(Bx Bx )+= +
1212
ABx ABx Cx Cx .
=
+=+

.A
n
.
* Bây giờ, ta tìm ma trận của toán tử C
kiki
i
Ce c e=
∑

n
kjkjjkjjki
j0 j ji
ABe A b e b Ae b ae .
=
⎛⎞
===
⎜⎟
⎝⎠
∑∑∑

Từ các kết quả trên, ta có
ik ij jk
j
cab.=
∑

Như thế, ma trận của C bằng tích các ma trận của A và B.
* Các tính chất của phép cộng và phép nhân các toán tử tuyến tính.
(1) A
+


Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng

93
Đã biết tìm tổng và tích các toán tử tuyến tính thì bây giờ, ta có thể tìm được một
đa thức bất kỳ của toán tử A. Giả sử
P(t)
=
a
0
t
m

+
a
1
t
m – 1

+ +
a
m
E
là một đa thức bất kỳ.
Khi đó, ta có P(A) xác định bởi
P(A)
=
a
0
A

Xét \
2
– mặt phẳng. Toán tử A thể hiện là sự kéo dãn mặt phẳng λ
1
lần dọc theo trục Ox
và λ
2
lần dọc theo trục Oy. Nói cách khác, nếu z
=
ξ
1
e
1

+
ξ
2
e
2
thì Az
=
λ
1
ξ
1
e
1

+
λ

n

có nghiệm x
=
(x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
≠ (0, 0, ,0)
T

=
θ.
Véc tơ x ≠ 0, λ ≠ 0 này gọi là véc tơ riêng ứng với trị riêng λ.
Ví dụ: Cho
30
A
81
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠

Ta thấy
130131

=
cλx
=
λ(cx).

7.2.2. Phương trình đặc trưng
Để tìm các giá trị riêng của ma trận vuông A cấp n, ta viết (với I là ma trận đơn vị cấp n).
Ax = λx ⇔ Ax = λIx, x ∈
\
n

⇔ (A – λI)x = 0, x ≠ 0.
Đây là một hệ tuyến tính thuần nhất.
Điều kiện cần và đủ để λ là trị riêng của A là λ là nghiệm thực của phương trình
det (A – λI)
=
0 (7.1)
Định nghĩa 7.4: Phương trình (5.1) gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A.
Ví dụ: Hãy tìm các trị riêng của ma trận
32
A
10
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠

Giải:
32 10 3 2

=
λx
hay là
(A – λI)x
=
0 (7.2)
Định nghĩa 7.5: Ta gọi không gian nghiệm của (7.2) là không gian riêng của A ứng
với trị riêng λ.
Ví dụ: Hãy tìm các cơ sở của các không gian riêng của ma trận
320
A230
005
−
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng

95
Giải: Phương trình đặc trưng của A là
2
320
2 3 0 (3 ) (5 ) 4(5 )
005
−λ −

1
2
3
x
320 0
23 0 x 0
005 0
x
−λ −
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⇔− −λ =
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
−λ
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠

* Với λ
=
1
1
2
3
x
220 0

⇒ x
1

=
x
2

=
t, x
3

=
0.
Vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ
=
1 là các véc tơ khác 0 có dạng
t1
xt t1
00
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
==
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

và
1
1
0

⎝⎠

Giải hệ này ta được
x
1

=
–s, x
2

=
s, x
3

=
t.

Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng

96
Vậy những véc tơ riêng của A ứng với trị riêng λ
=
5 là những véc tơ khác 0 có dạng
ss0 10
xs s0s1t0
t0t 01
−− −
⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
==+= +

0
⇔ det (P
–1
AP – λP
–1
IP)
=
det [P
–1
(A – λI)P]
=
det(P
–1
)det(A – λI)det(P)
=
0
Vì det(P) ≠ 0, det(P
–1
) ≠ 0 nên suy ra det(A – λI)
=
0.
Do đó, trị riêng của B trùng với trị riêng của A.
7.3. Vấn đề chéo hóa ma trận
7.3.1. Đặt bài toán
Cho V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều, f: V → V là một toán tử tuyến tính
trong V. Ta đã biết rằng ma trận của f phụ thuộc vào cơ sở chọn trong V. Ta mong
muốn có một cơ sở sao cho ma trận của f có dạng đơn giản như dạng ma trận chéo
chẳng hạn. Hỏi có hay không một cơ sở trong V sao cho ma trận của f đối với cơ sở
đó là ma trận chéo?


1
, p
2
,…, p
n
là các cột.
Bước 3: Ma trận P
–1
AP sẽ là ma trận chéo với λ
1
, λ
2
,…, λ
n
là các phần tử chéo liên
tiếp, trong đó λ
i
là các trị riêng ứng với P
i
, i
=
1, n .
Ví dụ: Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận
320
A230
001
−
⎛⎞
⎜⎟
=−

01
−
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
==
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

tạo nên cơ sở cho không gian riêng ứng với trị riêng
λ
=
5.
Dễ kiểm tra rằng {p
1
, p
2
, p
3
} độc lập tuyến tính, do đó
110
P110
001
−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

=
0
P
31

=
0, P
32

=
0, P
33

=
2
1
11
0
22
11
P0
22
001
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=−
⎜⎟

⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Định lí 7.3: Nếu ma trận A cấp n có n trị riêng khác nhau thì có thể chéo
hóa được.
Ví dụ: Ma trận
210
A320
004
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Có 3 trị riêng khác nhau
λ
1

=
4, λ
2

=
2 + 3, λ


100
BÀI TẬP
1. Tìm các trị riêng và véc tơ riêng của A
211
A121
001
−
⎛⎞
⎜⎟
=− −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

2. Cho phép ánh xạ tuyến tính f: \
2
→ \
2
.
f : (x, y)
→ (5x + 4y, 8x + 9y).
Tìm trị riêng và véc tơ riêng của f.
3. Cho A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f: \
3
→ \
3
trong cơ sở chính tắc
10 9 9
A 989

⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Hỏi rằng giá trị nào sau đây không phải là trị riêng của A?
A.
λ
1

=
5 B. λ
2

=
–1 C. λ
3

=
1 D. λ
4

=
5
2. Cho T: \
2
→ \
2
là ánh xạ với ma trận