Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

101
Bài 8: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƯƠNG,
KHÔNG GIAN EUCLID
Mục tiêu Nội dung
• Khái niệm về dạng song tuyến tính và
dạng toàn phương.
• Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng
chính tắc bằng hai phương pháp: Phương
pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và
tiêu chuẩn Sylvester.
• Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực
giao và hệ trực chuẩn.
• Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng
toàn phương về dạng trục chính.
• Giải được các bài toán trong các nội
dung nêu trên.

Thời lượng
Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT
+

8 giờ làm bài tập.
Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta
nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô
hướng. Áp dụng dạng toàn phương và
không gian Euclid vào Hình học giải tích
ta có thể đưa các đường và mặt bậc hai về
dạng chính tắc.

1, 2, , 24 sao cho
đường biểu diễn công suất là bằng phẳng nhất có thể được (để giảm bớt chi phí cho việc điều
chỉnh công suất) và sao cho sử dụng hết năng lực của thủy điện.
Từ yêu cầu ta có thể thiết lập mô hình như sau: Xác định các công suất P
k
,

k = 1, 2, , 24 sao cho
24
k
24
k1
k
k1
p
Pmin
24
=
=
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
−→
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑

24

+
x
2
, y)
=
f(x
1
, y)
+
f(x
2
, y) x
1
, x
2
, y ∈ V
f(λx, y)
=
λf(x, y) x, y ∈ V, ∀ λ ∈
\
f(x, y
1

+
y
2
)
=
f(x, y
1

trong đó u
=
(x
1
, y
1
), v
=
(x
2
, y
2
) là một dạng song tuyến tính trên \
2
.
Dạng song tuyến tính f(x, y) trên V gọi là đối xứng nếu
f(x, y)
=
f(y, x) ∀x, y ∈ V.
Dạng song tuyến tính trong ví dụ trên là đối xứng.
8.1.2. Dạng toàn phương
Giả sử f(x, y) là một dạng song tuyến tính trên V, {e
1
, e
2
,…, e
n
} là một cơ sở của V.
Khi đó, ta có


21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
A
a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
## #

Ma trận A gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f theo cơ sở {e
1
, e
2
,…, e
n
}.
Nói chung, A không phải là một ma trận đối xứng A ≠ A′.
Trong trường hợp f là dạng song tuyến tính đối xứng, nghĩa là
a
ij

=
f(e
i

=
∑
(k
=
1, 2,…, n)
và f(f
i
, f
k
)
=
b
ik
, ta có
b
ik

=
f(f
i
, f
k
)
=
f
nn
mi
mi ik
m1 l1
te, te

11 12 1n 11 12 1n
21 22 2n 21 22 2n
n1 n2 nn n1 n2 nn
b
b b t t t
b
b b t t t
B,T
b
b b t t t
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
==
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
## # ## #

Định nghĩa 8.2: Nếu f(x, y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véc
tơ V thì f(x, x) gọi là một dạng toàn phương.
Nếu
n
i
i
i1
xxe
=
=
∑


=
0 (i ≠ j; i, j
=
1, 2, , n) thì dạng toàn phương được gọi là dạng
toàn phương ở dạng chính tắc, khi đó
22 2
11 1 22 2 nn n
f (x, x) a x a x a x .=±±±

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

104
8.1.3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Ta đã biết biểu thức của dạng song tuyến tính f(x, x) qua các tọa độ của véc tơ x phụ
thuộc vào việc chọn cơ sở (hệ tọa độ) trong đó dạng toàn phương có dạng đơn giản
f(x, x)
=

22 2
11 2 2 n n

λ
ξ+λξ+ +λξ
8.1.3.1. Phương pháp Lagrange
Giả sử trong một cơ sở f
1
, f
2
,…, f

x
) khác 0. Điều đó luôn luôn có thể đạt được. Thật vậy, giả sử dạng
f(x, x) không đồng nhất bằng 0, nhưng không chứa một biến bình phương nào, khi đó,
nó chứa dù chỉ một tích, chẳng hạn như 2a
12
x
1
x
2
. Ta thay các tọa độ x
1
, x
2
bởi
11 2
xxx
′′
=+

212
xxx
′′
=−

và không thay đổi các biến còn lại. Khi đó, số hạng 2a
12
x
1
x
2

2
11 1 12 1 2 1n 1 n
a x 2a x x 2a x x+++
=

2
11 1 1n n
11
1
(a x a x ) B.
a
+
+− (8.4)
Trong đó qua B ta ký hiệu các số hạng chỉ chứa các bình phương và tích từng đôi một
của các số hạng a
12
x
2
,…, a
1n
x
n
.
Sau khi thay (8.4) vào (8.3) thì dạng toàn phương đã cho có dạng
f(x, x)
=

2
11 1 1n n
11

+
…
+
a
1n
x
n

η
2

=
x
2

………………
η
n

=
x
n

Khi đó, dạng toàn phương trở thành
n
2
1ijij
i, j 2
11
1


η=η
η= η+ η+ + η
η=η
η=η

Trong các biến mới ta có
n
*2 * * *
12ijij
i, j 3
11 22
11
f(x, x) c .
ab
=
=η+η+ ηη
∑

Tiếp tục quá trình này, sau một số hữu hạn bước, ta đến các biến ξ
1
, ξ
2
,…, ξ
n
trong đó
f(x, x)
22 2
11 2 2 n n
.=λξ +λξ + +λξ

1
, e
2
, , e
n
.
Ví dụ: Giả sử trong không gian \
3
với cơ sở f
1
, f
2
, f
3
cho dạng toàn phương
f(x, x)
=
2x
1
x
2

+
4x
1
x
3
–
2
2

′′ ′′ ′
−+ + −

Tiếp đó, ta đặt
112
22
33
xx
x
x.
′′
η=− +
′
η=
′
η=

Ta sẽ được biểu thức mới cho dạng toàn phương
f(x, x)
=

22 2
12 23 3
48.
−
η+η+ηη−η

Phép biến đổi
ξ
1

ik
a của dạng song tuyến tính f(x, y) trong cơ sở f
1
, f
2
,…, f
n
có các định
thức con khác 0
Δ
1

=
a
11
≠ 0 ;
11 12
2
21 22
aa
0
aa
Δ
=≠

11 12 1n
21 22 2n
n
n1 n 2 nn
a a a

1
, e
2
,…, e
n
sao cho
f(e
i
, e
k
)
=
0 với i ≠ k (i, k
=
1, n ). (8.6)
Quá trình tiến hành tương tự như quá trình trực giao hóa.
Ta sẽ tìm các véc tơ e
1
, e
2
, , e
n
dưới dạng

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

107
1111
2212222
nn11 n22 nnn

)
=
0 đối với i
=
1, 2,…, k – 1.
Thật vậy, thay e
i
bởi biểu thức
α
i1
f
1

+
α
i2
f
2

+
…
+
α
ii
f
i

ta được
f(e
k

k
, f
1
)
+
α
i2
f(e
k
, f
2
)
+

+
α
ii
f(e
k
, f
i
).
Như vậy, nếu f(e
k
, f
i
)
=
0 đối với bất kỳ k và bất kỳ i < k thì f(e
k

k2
f
2

+
…
+
α
kk
f
k

thỏa các điều kiện
f(e
k
, f
i
)
=
0 với i
=
1, 2,…, k – 1. (8.8)
Với các điều kiện đó, véc tơ e
k
được xác định chính xác đến phần tử xác định. Ta cố
định phần tử đó nhờ đòi hỏi
f(e
k
, f
k

⎪
⎪
⎬
⎪
=
⎪
⎪
α+α ++α =
⎭
(8.10)
Định thức của hệ phương trình này là
11 12 1k
21 22 2k
k1 k2 kk
f(f ,f ) f(f ,f ) f(f , f )
f(f , f ) f(f ,f ) f(f ,f )

f(f ,f ) f(f , f ) f(f , f )
Δ=
(8.11)

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

108
Và theo điều kiện (8.5), định thức trên khác 0. Vì vậy, nghiệm của (8.10) tồn tại và
duy nhất. Như vậy, bài toán tìm véc tơ e
k
đã được giải cho k bất kỳ.
Bây giờ, ta tìm các hệ số b
ik


=
f(e
k
, e
k
)
f(e
k
, e
k
)
=
f(e
k
, α
k1
f
1

+
α
k2
f
2

+
…
+
α

và theo (8.8) và (8.9)
f(e
k
, e
k
)
=
α
kk
.
Số α
kk
có thể tìm từ hệ (8.10) theo quy tắc Crame
k1
kk
k
−
Δ
α=
Δ

trong đó Δ
k – 1
là định thức tương đương với (8.11) bậc k – 1, trong đó đặt Δ
0

=
1.
Như vậy
k1

, f
k
). Tiếp theo, giả sử các định thức
Δ
1

=
a
11
,
11 12
2
21 22
aa
aa
Δ=

11 12 1n
21 22 2n
n
n1 n 2 nn
a a a
a a a

a a a
Δ=

đều khác 0. Khi đó, tồn tại các cơ sở e
1
, e

=

222
1121323
2x 3x x 4x x x x
+
+++

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

109
Ta có
3
22
2
3
10
2
201
Δ=

Δ
0

=
1; Δ
1

=
2;

11
8
217
=
ξ−ξ+ ξ.
Từ định lý trên cho ta khả năng tìm các hệ số dương và hệ số âm của các số hạng bình
phương. Chính là, nếu Δ
i – 1
và Δ
i
có cùng dấu thì hệ số của
2
i
ξ
là dương, nếu chúng
khác dấu thì hệ số âm, nghĩa là số các hệ số âm bằng số các thay đổi dấu của dãy 1,
Δ
1
, Δ
2
,…, Δ
n
.
Và như vậy, ta có định lý sau:
Định lý 8.3: Số các hệ số âm trong dạng (8.12) của dạng toàn phương bằng số các
thay đổi dấu của dãy 1, Δ
1
, Δ
2
,…, Δ

=
ξ
2

=
…
=
ξ
n

=
0.
Nói cách khác, nếu Δ
1
> 0, Δ
2
> 0,…, Δ
n
> 0 thì dạng toàn phương f(x, x) là xác định
dương.
Có thể chứng minh phần đảo rằng, nếu f(x, x) là xác định dương thì Δ
k
> 0, ∀k.
Định lý 8.4: (Tiêu chuẩn Sylvester)
Giả sử f(x, y) là dạng song tuyến tính đối xứng và f
1
, f
2
,…, f
n

<x
1
, y>
+
<x
2
, y> ∀x
1
, x
2
, y ∈ V
4. <x, x> ≥ 0 ∀x ∈ V
Dấu “
=
” xảy ra khi và chỉ khi x
=
0.
Không gian véc tơ thực hữu hạn chiều V trên đó xác định một tích vô hướng gọi là
không gian Euclid, ký hiệu là E.
Nhận xét:
Tích vô hướng trên không gian véc tơ V thực chất là một dạng song tuyến tính,
đối xứng f(x, y)
=
<x, y> trên V, thỏa mãn f(x, x) là một dạng toàn phương xác
định dương.
8.2.1.2. Độ dài một véc tơ
Giả sử E là một không gian Euclid. Khi đó, x ∈ E thì x xác định bởi
1
2
xx,x=< >

<a, b>
cos(a, b)
a.b
⇒=
G
G
G
G
G
G
, nếu a0,b0.
≠
≠
G
G

Chuyển sang không gian Euclid
<x, y>
cos(x, y) =
xy

Hai véc tơ x, y gọi là trực giao nếu <x, y>
=
0.

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

111
8.2.1.4. Hai không gian con trực giao
Cho E là một không gian Euclid. Hai không gian con E

; e
2
; e
n
} gọi là hệ cơ sở trực chuẩn nếu
i
e
= 1, (i = 1, 2, , n).
Ví dụ: Trong
\
n
, tích vô hướng xác định bởi
<x, y>
=

n
ii
i1
xy
=
∑

thì hệ cơ sở tự nhiên
e
1

=
(1, 0,…, 0) ; e
2


1′

=
f
1
+
Tìm e
2′

=
f
2

+
α
21
e
1′
sao cho
<e
1′
, e
2′
>
=
0 ⇒ <e
1′
, f
2
>

+
α
32
e
2′
sao cho <e
1′
, e
3′
>
=
0 và <e
2′
, e
3′
>
=
0. Từ đây ta có hệ
13 11
31
23 22
32
e,f e,e 0
e,f e,e 0
′′′
′′′
⎧
< >+α < >=
⎪
⎨

<>
⎩

Tiếp tục quá trình này
e
k′

=
f
k

+
α
k1
e
1′

+
α
k2
e
2′

+
…
+
α
kk – 1
e
k′

tắc
j'
j
j
e
e , j 1, 2, , n.
a
==
′ Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

112
8.2.2. Không gian hình học Euclid
8.2.2.1. Khái niệm
Định nghĩa 8.3: Tập U ≠ ∅ được gọi là không gian hình học Euclid n chiều trên E
nếu như mỗi cặp (M × N) ∈ U × U ứng với một véc tơ
MN
J
JJJG
của E thỏa mãn hai tiên đề
(1) MN NP MP, M, N, P U+= ∀ ∈
JJJJG JJJGJJJG

(2) Với mỗi M ∈ U và
a
G
∈ E, tồn tại duy nhất N ∈ U để MN a
=

, f
2
,…, f
n
của E được gọi là tọa độ của điểm
M theo hệ tọa độ {O, (f
1
, f
2
,…, f
n
)} , ta viết M(x
1
, x
2
,…, x
n
).
Ví dụ: Ta xét minh họa cho hai phần của định nghĩa trên:

(1) Hệ tọa độ trong mặt phẳng gốc O là bộ {O, i, j}
G
G
trong đó i, j
G
G
là hai véc tơ đơn vị
vuông góc (xem Hình 8.1(a)).
x
=

=
b
với a
1
, a
2
không đồng thời bằng 0.
Một mặt phẳng trong không gian ba chiều có phương trình là
a
1
x
1

+
a
2
x
2

+
a
3
x
3

=
b
x
2
x

, a
2
, a
3
không đồng thời bằng 0.
Trong không gian n chiều, một siêu phẳng có phương trình
a
1
x
1

+
a
2
x
2

+
…
+
a
n
x
n

=
b
với a
1
, a

không đồng thời bằng 0.
8.2.2.4. Phép biến đổi trực giao
Định nghĩa 8.5: Phép biến đổi tuyến tính f trong không gian Euclid E được gọi là
phép biến đổi trực giao nếu nó bảo toàn tích vô hướng của hai véc tơ, tức là
<f(x), f(y)> = <x, y>.
Tính chất:
(1) Phép biến đổi trực giao bảo toàn độ dài véc tơ.
(2) Phép biến đổi trực giao bảo toàn góc giữa hai véc tơ.
(3) Mọi phép biến đổi tuyến tính bảo toàn độ dài véc tơ đều là phép biến đổi trực giao.
(4) Phép biến đổi tuyến tính f là trực giao khi và chỉ khi nó biến đổi mọi cơ sở trực
chuẩn của E thành một cơ sở trực chuẩn.
Định nghĩa 8.6: Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu AA′
=
E.
Tính chất: Phép biến đổi tuyến tính f trong không gian Euclid E là phép biến đổi
trực giao khi và chỉ khi ma trận của nó trong một cơ sở trực chuẩn là trực giao.
Hệ quả: Ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn này sang cơ sở trực chuẩn khác là một
ma trận trực giao. Ngược lại, mọi ma trận trực giao đều có thể coi là ma trận chuy
ển
từ cơ sở này sang một cơ sở trực chuẩn khác.
Ví dụ:
(1) A
=

ab
cd
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠


a
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
trong đó a
2

+
b
2=
1

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

114
Do đó a
2

+
b
2=
1 nên tồn tại ϕ để

x′sinϕ
+
y′sinϕ.
8.2.3. Đưa đường (mặt) bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính
Bài toán: Giả sử S là một đường (mặt) bậc hai trong không gian hình học Euclid n
chiều U tựa trên E. Giả sử trong hệ tọa độ trực chuẩn {O, e
1
, e
2
,…, e
n
)}, S có phương
trình là
[x
1
, x
2
,…, x
n
]A[x
1
, x
2
,…, x
n
]′
=
c.
Trong đó A là ma trận đối xứng thực cấp n × n và c là hằng số.
Giải bài toán trên phải nhờ đến kết quả sau

của toán tử tuyến tính f trong không gian Euclid n chiều nhận A làm ma trận của nó thì
dim
1
E
λ
= d
i
, i = 1, 2, , k, đồng thời các
12 n
E , E , , E
λ
λλ
trực giao từng đôi một.
Dựa vào Định lý 8.5, ta có thể giải bài toán nêu trên theo các bước sau:
Bước 1: Giải phương trình đặc trưng ⏐A – λE⏐
=
0, tìm ra các nghiệm khác nhau λ
1
,
λ
2
, , λ
k
tương ứng với các số bội là d
1
, d
2
, , d
k
.

, , e
n
sang cơ sở f
1
, f
2
, , f
n
và giả sử
T
=

11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
t t t
t t t

t t t
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

115

n
)}.
Bước 4: Trong hệ tọa độ O, (f
1
, f
2
,…, f
n
)} phương trình của S là
n
2
ii
i1
xc.
=
′
λ=
∑

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn {O, (e
1
, e
2
)}, đường cong S có
phương trình
22
1122
5x4xx8x36−+=.
Hãy tìm một tọa độ trực chuẩn gốc O để trong hệ tọa độ đó S có phương trình ở dạng
trục chính.

2

=
9.
•
λ
1

=
4 ⇒
12
12
t2t0
2t 4t 0
−=
⎧
⎨
−+ =
⎩

⇔ t
1
– 2t
2

=
0 có nghiệm cơ bản là (2, 1) hay nghiệm cơ bản trực chuẩn là
21
,
55

55
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
.
Ta có hệ tọa độ cần tìm là {O, (e
1′
, e
2′
) với
(e
1′
, e
2′
)
=
(e
1
, e
2
)
21
55
12
55
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟

22
12
xx
1elip
94
′′
⇔+=→
Ma trận đổi biến là
21
55
T
12
55
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
−
⎜⎟
⎝⎠ Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

116
Chú ý: Vì T là ma trận trực giao nên ta có
2
cos
5

Giải
Xét
52
A
28
−
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
, K
=

20 80
,
55
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Ta có
T
=

21
55
12
55

40 80
8
55 5
55
T.K
1 2 80 20 160 36
55
55 5
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
−
⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
′
===
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−−−−
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠



Ta có phương trình
22
22
12
12
XX
4X 9X 36 1
94
+=⇔+=.
Đây là elip.

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

117
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn {O, (e
1
, e
2
, e
3
)}, mặt cong S có
phương trình
222
1231223
2x 2x 3x 2x x 2x x 16.++− − =
Hãy tìm hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để S có phương trình ở dạng trục chính và xác
định phép biến đổi cùng với dạng trục chính đó.
Giải:
Ta có ma trận đối xứng của S là


=
1 ⇒
13
23
12 3
tt0
tt0
tt2t0
−=
⎧
⎪
−=
⎨
⎪
−− + =
⎩

và dễ dàng thấy rằng nghiệm cơ bản trực chuẩn của hệ là
111
,,
333
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
•
λ
2


326
12
0
36
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎝⎠

Hệ tọa độ cần tìm {O, (f
1
, f
2
, f
3
)} với (f
1
, f
2
, f
3
)
=

⎩ Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

118
Trong hệ tọa độ mới {O, (f
1
, f
2
, f
3
)}, phương trình của S là
222
123
x2x4x16
′′′
++=
2
22
3
12
x
xx
1
16 8 4
′
′′
⇔
++=

•
Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính.
•
Giải được các bài tập.

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

120
BÀI TẬP
1. Đưa dạng toàn phương
22
1122
f(x, x) 27x 10x x 3x=− + về dạng chính tắc bằng phương pháp
trực chuẩn hóa.
2. Đưa dạng toàn phương
222
123121323
f6x 3x 3x 4xx 4xx 8xx=+++ + −
về dạng chính tắc.
3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi tuyến tính
17x
2

+
12xy
+
8y
2
– 46x – 28y
+

A. (2, 0), (3, 0) B. (4, 1), (–7, –8)
C. (0, 0), (1, 3) D. (3, 9), (–4, –12).
2. Xét u
=
(u
1
, u
2
, u
3
), v
=
(v
1
, v
2,
v
3
) ∈ \
3
. Hỏi biểu thức nào dưới đây có thể là tích vô hướng
trong
\
3
?
A. <u, v>
=
u
1
v

+
4u
3
D. <u, v>
=
u
1
v
1

+
u
2
v
2

+
u
3
v
3.