Bài 5: Không gian véc tơ

65
Bài 5 : KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Mục tiêu Nội dung
• Nắm được khái niệm về không gian véctơ;
• Nắm được khái niệm về không gian con
và hệ sinh;
• Nắm được khái niệm về không gian hữu
hạn chiều;
• Giải được các bài toán về không gian véctơ. Thời lượng
Bạn đọc nên để 10 giờ để nghiên cứu
LT
+
6 giờ làm bài tập.
Không gian véc tơ là một khái niệm được
xây dựng trên một tập khác rỗng và một
trường. Cấu trúc không gian véctơ là một
cấu trúc rất cơ bản của toán học và là nền
tảng cho nhiều lý thuyết khác nhau
• Cấu trúc của không gian véc tơ
• Không gian con và hệ sinh
• Không gian hữu hạn chiều Bài 5: Không gian véc tơ

véc tơ và trường số thực \. Tập V được gọi là một không gian véc tơ trên trường số
thực \, nếu tập V được trang bị hai phép toán: phép cộng hai véc tơ và phép nhân
véc tơ với một số thực sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
• (V,
+
) là một nhóm Abel
• α(x
+
y)
=
αx
+
αy, ∀α ∈ \, x, y ∈ V
• (α
+
β)x
=
αx
+
βx, ∀α ∈ \, x ∈ V
• α(βx)
=
(αβ)x, ∀α, β ∈ \, x ∈ V
• 1x
=
x, ∀x ∈ V
Phần tử trung hòa của nhóm Abel (A,
+
) gọi là véc tơ không, ký hiệu là θ. Phần tử đối
của phần tử

–(αx), ∀α ∈ \, x ∈ V
5.1.2. Ví dụ
Xét \
n
là tập mà mỗi phần tử là một bộ n số thực có thứ tự x
=
(x
1
, x
2
, , x
n
) còn gọi là
một véc tơ n thành phần. Xét
x
=
(x
1
, x
2
, , x
n
) và y
=
(y
1
, y
2
,…, y
n

=
(αx
1
, αx
2
,…, αx
n
), ∀α ∈ \. (5.2)
Ngoài ra, x
=
y ⇔ x
i

=
y
i
∀i.
\
n
là một không gian véc tơ.
Chú ý:
– Mỗi cặp số (a
1
; a
2
) ∈ \
2
có hai ý nghĩa hình học: Có thể biểu diễn nó bằng một điểm
M trong mặt phẳng tọa độ, trong đó a
1

1
là
hoành độ, a
2
là tung độ và a
3
là cao độ. Ta cũng có thể biểu diễn như một véc tơ a
G
với
ba thành phần

– Mỗi bộ n số (a
1
; a
2
; ; a
n
) ∈ \
n
có thể xem là điểm M có n tọa độ, hay véc tơ
a
G
có n
thành phần.
O
x
2

x
1

a
1

x
3

x
1

x
2
O
M
Hình 5.3
Hình 5.4
G
a

x
3
x
1
x
2
O
(a
1
; a
2
; a

βy ∈ W, đối với mọi α, β ∈ \.
Chứng minh
* Điều kiện cần: Giả sử x, y ∈ W, theo điều kiện b) của định nghĩa không gian con ta
có αx, βy ∈ W và theo điều kiện a) ta có αx
+
βy ∈ W.
* Điều kiện đủ: Nếu lấy α
=
β
=
1 ta có điều kiện a) được thỏa mãn. Nếu lấy β
=
0
ta có điều kiện b) được thỏa mãn. Vậy W là một không gian con.
Ví dụ: Mỗi phần tử của \
2
là một cặp số x
=
(x
1
, x
2
) biểu diễn bằng một điểm trong
mặt phẳng tọa độ O x
1
x
2
.

Xét tập
Giả sử x
=
(x
1
; x
2
), y
=
(y
1
; y
2
) ∈ W và α ∈ \. Ta có
12
11 2 2
12
ax bx 0
a(x y ) b(x y ) 0
ay by 0
+=
⎧
⇒+++=
⎨
+=
⎩

2
.
5.2.2. Không gian con sinh bởi một họ véc tơ
Định nghĩa 5.3: V là một không gian véc tơ, S là một họ véc tơ của V
S
=
{x
1
; x
2
; ; x
n
}.
Biểu thức c
1
x
1

+
c
2
x
2

+
…
+
c
n
x

c
2
x
2

+

+
c
n
x
n
∈ W
y
=
d
1
x
1

+
d
2
x
2

+

+
d

2

+

+
(c
n

+
d
n
)x
n
∈ W
αx
=
(αc
1
)x
1

+

+
(αc
n
)x
n
∈ W.
Vậy W đóng kín đối với hai phép tính trong V. Vậy W là không gian con của V.

x
1
(1; 0)
+
x
2
(0; 1)
=
x
1
e
1

+
x
2
e
2

nghĩa là
\
0
là một tổ hợp tuyến tính của e
1
và e
2
.
Vậy họ S
=
{e


+
c
n
x
n

=
θ (5.3)
trong đó c
j
∈ \, ∀j
=
1, n .

Nếu điều kiện (5.3) chỉ xảy ra khi c
1

=
0, c
2

=
0, , c
n

=
0 thì ta nói họ S độc lập tuyến
tính (không biểu diễn qua nhau được).



71
Điều kiện (5.3) viết
c
1
(1; 0)
+
c
2
(0; 1)
=
(0; 0) ⇔ (c
1
; c
2
)
=
(0; 0).
Vậy điều kiện (5.3) chỉ xảy ra khi c
1

=
0, c
2

=
0. Do đó, e
1
, e
2

c
1
v
1

+

+
c
n
v
n
.

(5.4)
(2) Nếu mọi x
∈ V

có biểu diễn duy nhất (5.4) thì S là cơ sở của V.
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh phần (1).
Giả sử V là không gian n chiều và S là một cơ sở của V. Lúc đó, họ S là độc lập tuyến
tính và mọi họ gồm n
+
1 véc tơ của V là phụ thuộc tuyến tính. Xét x bất kỳ của V, họ
{x; v
1
; v
2
; ; v
n

=
0 thì tồn tại các số c
i
không đồng thời bằng 0 để
c
1
v
1

+
c
2
v
2

+

+
c
n
v
n

=
θ.
Trái với giả thiết S là độc lập tuyến tính.
Do đó
1n
1n
00

11 n n
c c , , c c .
′
′
==
Vậy biểu thức (5.4) là duy nhất.
Ví dụ: Trong không gian \
n
, các véc tơ
e
1

=
(1, 0,…, 0)
e
2

=
(0, 1,…, 0)
……………….
e
n

=
(0, 0,…, 1)
là độc lập tuyến tính và chúng tạo thành một cơ sở của
\
n
.
Mọi véc tơ x

.
Ví dụ: Cho V là không gian véc tơ n chiều
S
=
{v
1
; v
2
;…; v
n
} ∈ V.
Hãy tìm điều kiện để S độc lập tuyến tính, tức là điều kiện để S là một cơ sở của V.
Giả sử
12
11 12
1n
21 22
2n
12 n
nn
nn
aa
a
aa
a
v ; v ; ; v
aa
a
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞

## ##

Định lý 5.4: Các véc tơ v
1
, v
2
,…, v
n
là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi n véc tơ cột
của A là độc lập tuyến tính, hoặc hạng của A bằng n, tức là det A ≠ 0.
Ví dụ: Xét ba véc tơ thuộc \
2
.
v
1

=
(1; 2; 1); v
2

=
(2 ; 1; 4); v
3

=
(3 ; 2 ; 1).
Ta lập ma trận A:
123
A212
141

1
,…, v
n

sao cho họ {v
1
, v
2
,…, v
n
} là một cơ sở của V.

Bài 5: Không gian véc tơ

73
Trở lại hệ phương trình đại số với định lý Croneker Capelli : Giả sử A
j
là các véc tơ
cột của ma trận A. Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại
0
j
x,j 1,n= sao
cho
n
0
jj
j1
xA h,
=
=

{u
1
, u
2
, , u
p
} có hạng r và W là không gian con sinh bởi S của
không gian véc tơ V thì dimW
=
r.
Chứng minh:
Giả sử M
=

12 k
ii i
{u , u , , u } là hệ con lớn nhất gồm các véc tơ độc lập tuyến tính của
S. Ta chỉ cần chứng minh M sinh ra W.
Thật vậy, mỗi véc tơ của hệ S đều là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của hệ M,
thành thử mỗi véc tơ của không gian con W, vốn là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ
thuộc S (do S sinh ra W) cũng là tổ hợp tuyến tính của véc tơ thuộc M. Hệ M là hệ
độc lập tuy
ến tính và sinh ra W. Vậy là một cơ sở của W, suy ra k
=
r. Bởi vậy, theo
Định lý 5.3, ta có dimW
=
r.
Ta có, phương pháp thực hành để tính hạng của hệ véc tơ bằng biến đổi sơ cấp.
Ví dụ: Trong \

=
(1, 1, –4).
Ta lập ma trận A có 4 hàng là 4 véc tơ trên rồi thực hiện biến đổi.
31 31
41 42
LL LL
LL LL
130 130 130
024 024 024
A
154 024 000
11 4 0 2 4 000
−−
−+
⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
= ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
−−−
⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦

Vậy r(S)
=
2.
5.3.3. Biến đổi tọa độ khi cơ sở thay đổi
Cho B
=
{v

2
, , c
n
).
Ta cũng có
n
ii
i1
xdf
=
=
∑
(2)
nghĩa là tọa độ của x theo cơ sở B′

là x
B′

=
(d
1
; d
2
; ; d
n
).

Bài 5: Không gian véc tơ

74

⎥
⎣
⎦
∑∑
(4)
Từ (1) và (4), ta suy ra
n
jjii
i1
cPd,j1,n
=
==
∑

111121n1
221222n2
jj1j2jnj
nn1n2nnn
c P P P d
c P P P d
c P P P d
c P P P d
⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
=
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟

=
(6)
Ví dụ: Cho các cơ sở trong \
2
.
B
=
{e
1
; e
2
}, B’
=
{f
1
; f
2
}.
Các véc tơ viết ở dạng cột
1212
1012
e,e,f,f
0111
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
====
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠

Cho x
=

212
fee
12
P
f2ee 11
=+
⎫
⎛⎞
⇒=
⎬
⎜⎟
=+
⎝⎠
⎭

c.
T1T
BB
xPx
−
′
= ;
1
12
P
11
−
−
⎛⎞
=

• Nắm được khái niệm về không gian con và hệ sinh;
• Nắm được khái niệm về không gian hữu hạn chiều;
• Giải được các bài toán về không gian véc tơ.
Bài tiếp theo các bạn sẽ được học về Ánh xạ tuyến tính và Ma trận.

Bài 5: Không gian véc tơ

76
BÀI TẬP
1. a. Tập hợp các đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n có lập thành một không gian
véc tơ trên trường
\ với phép cộng đa thức thông thường và phép nhân đa thức với một số
thực không? Nếu có hãy tìm một cơ sở của nó.
b. Cũng với câu hỏi như trên, nếu xét tập hợp các đa thức hệ số thực có bậc bằng n ?
2. Ký hiệu
2
ab
M,a,b,c,d
cd
⎧⎫
⎛⎞
=∈
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎩⎭
\
.
Chứng minh rằng M
2

của M
2
và tìm tọa độ của véc tơ
21
X
13
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
theo cơ sở đó.
3. Xét véc tơ x
=
(1; 2) và y
=
(1; 1) của \
2
.
a. Hỏi rằng họ {x ; y} có sinh ra
\
2
không?
b. Họ (x; y) có độc lập tuyến tính không?
4. Cho \
3
. Chứng minh rằng các véc tơ v
1
(2; 1; 1), v
2
(1; 3; 1), v

và
ξ
ξ .
7. Một không gian véc tơ sinh bởi các véc tơ sau đây của \
5

v
1
= (2; 0; 1; 3; –1); v
2
= (0; –2; 1; 5; –3)
v
3
= (1; 1; 0; –1; 1); v
4
= (1; –3; 2; 9; –5).
Hãy tìm cơ sở và số chiều của không gian này.
8. Trong \
4
, cho các véc tơ v
1

=
(1; 0; 1; –2) ; v
2

=
(1; 1; 3; –2) ; v
3


3
, sinh bởi các véc tơ u
=
(2; 1; 0), v(–1; 0; 1),
w
=
(4; 1; –2).
1. Xác định một cơ sở và số chiều của E
1
. Viết dạng tổng quát một véc tơ của E
1
.
2. Cho E
2
= {(0, α
+
β, –β) ⎜α và β ∈ \}.
a. Chứng minh rằng E
2
là không gian véc tơ con của \
3
mà ta phải xác định số chiều và một
cơ sở của nó.
b. Hãy cho một cơ sở và số chiều của các không gian con E
1
∩ E
2
và E
1


4
) ∈ \
4
⎜ x
1

+
x
2

+
x
3

+
x
4

=
1}
B. {x
=
(x
1
; x
2
; x
3
; x
4

4
⎜ x
1

+
x
2

=
x
3

+
x
4

=
1}
D. {x
=
(x
1
; x
2
; x
3
; x
4
) ∈ \
4

=
f
n

+
f
i
. Khi đó, hệ {u
1
; ; u
n
} độc
lập tuyến tính nếu
A. n lẻ B. n chẵn
C. n chẵn lớn hơn 0 D. n chẵn nhỏ hơn 0.