KHÔNG GIAN VÉCTƠ
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email: [email protected]
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 1 / 111
Nội dung
1
Định nghĩa không gian véc-tơ
2
Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính
3
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ
4
Tọa độ của véctơ, ma trận chuyển cơ sở
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 2 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ
Số thực
1
+ : R × R → R
(x, y) → x + y
2
• : R → R
(λ, x) → λ.x
Số phức
1
+ : C × C → C
(x, y) → x + y
2

(
−→
x ,
−→
y ) →
−→
x +
−→
y
(
−−→
OM,
−−→
ON) →
−−→
OM +
−−→
ON
2
• : R × R
2
→ R
2
(λ,
−→
x ) → λ.
−→
x
(λ,
−−→

• : R × R
3
→ R
3
(λ,
−→
x ) → λ.
−→
x
(λ,
−−→
OM) → λ.
−−→
OM
KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 4 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (R hoặc C) với 2 phép toán
1
+ : E × E → E
(x, y) −→ x + y
2
• : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: ∀x, y, z ∈ E , ∀λ, µ ∈ K
1
x + y = y + x
2
x+(y +z) = (x+y)+z
3

n
→ R
n
,
(x, y) → x + y = (x
1
+ y
1
, . . . , x
n
+ y
n
)
• : R × R
n
→ R
n
(λ, x) → (λx
1
, . . . , λx
n
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 6 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ
C
n
= {x = (x
1
, . . . , x
n

X = ∅, E − K − kgv , E
X
= {f : X → E }
+ : E
X
× E
X
→ E
X
,
(f , g) → (f + g )(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ X
• : K × E
X
→ E
X
(λ, f ) → (λf )(x) = λf (x), ∀x ∈ X
M
m ×n
(K )
+ : M
m ×n
(K ) × M
m ×n
(K ) → M
m ×n
(K ),
(A, B) → A + B = (a
ij
+ b
ij

2
, + : E × E → E , • : R × E → E
((x
1
, x
2
), (y
1
, y
2
)) → (x
1
y
1
, x
2
y
2
) λ(x
1
, x
2
) → (x
λ
1
, x
λ
2
).
Chứng minh. Rõ ràng,

) = x, ∀x ∈ E
4
∀x ∈ E , ∃(−x) = (
1
x
1
,
1
x
2
) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)
5
(λ + µ)x = (x
λ+µ
1
, x
λ+µ
2
) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E.
6
λ(x + y ) = ((x
1
y
1
)
λ
, (x
2
y
2

n
(x) →

P
n
(x),
(p(x), q(x)) → p(x) + q(x)
• : R ×

P
n
(x) →

P
n
(x)
(λ, p(x)) → λ.p(x).
Tuy nhiên, ∀p(x) ∈

P
n
(x) thì
0.p(x) = 0 /∈

P
n
(x).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 11 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ
E = R

1
y
1
, x
2
y
2
) =
(λx
1
y
1
, λx
2
y
2
) = (λx
1
.λy
1
, λx
2
.λ.y
2
) = λx + λy
với λ = 0 và λ = 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 12 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Định lý
Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ
Định lý

x =
n

i=1
λ
i
x
i
= λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
+ . . . + λ
n
x
n
là tổ hợp
tuyến tính của x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 14 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính

, . . . , x
n
.
Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp
tuyến tính của x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 15 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến
tính của các véctơ
x
1
= (2, 1, 1), x
2
= (−1, 1, −1), x
3
= (1, 1, −2)
hay không?
Giải.
λ
1
x
1
+ λ


2λ
1
− λ
2
+ λ
3
= 1
λ
1
+ λ
2
+ λ
3
= 4
λ
1
− λ
2
− 2λ
3
= −3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 16 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
⇔


2 −1 1
1 1 1
1 −1 −2

λ
3
= 1
Vậy véctơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của
các véctơ
x
1
= (2, 1, 1), x
2
= (−1, 1, −1), x
3
= (1, 1, −2) và
x = x
1
+ 2x
2
+ x
3
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 17 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến
tính của các véctơ
x
1
= (1, 2, 5), x
2
= (1, 3, 7), x
3

3
−5h
1
−−−−−−→


1 1 −2
0 1 7
0 2 14






4
−5
−15


h
3
→h
3
−2h
1
−−−−−−→


1 1 −2

2
= (1, 3, 7), x
3
= (−2, 3, 4) hay
không?
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 20 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
Giải.


1 1 −2
2 3 3
5 7 4






4
3
10


h
2
→h
2
−2h
1

1
→h
1
−h
2
−−−−−−→


1 0 −9
0 1 7
0 0 0






9
−5
0


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 21 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
Hệ tương ứng có vô số nghiệm
(λ
1
, λ
2
, λ

1
, λ
2
, . . . , λ
m
∈ K
không đồng thời bằng 0
sao cho
m

i=1
λ
i
x
i
= λ
1
x
1
+
λ
2
x
2
+ . . . + λ
m
x
m
= 0
m

, x
2
, . . . , x
m
}
là độc lập tuyến
tính
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 23 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
Véctơ ĐLTT, PTTT trong mặt phẳng, trong không gian
Trong R
2
, cho 2 véc tơ x, y cùng phương:
x = k.y ⇐⇒ 1.x − k.y = 0.
Suy ra x, y PTTT. Ngược lại x, y ĐLTT khi
và chỉ khi x, y không cùng phương.
Tương tự trong R
3
, 3 véctơ x, y, z PTTT khi
và chỉ khi chúng đồng phẳng. Ngược lại, 3
véctơ ĐLTT khi và chỉ khi chúng không
đồng phẳng.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 24 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Thuật toán
Kiểm tra các véctơ x
1
, x
2
, . . . , x
m

m
= 0 thì các véctơ
x
1
, x
2
, . . . , x
m
độc lập tuyến tính.
Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ
x
1
, x
2
, . . . , x
m
phụ thuộc tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 25 / 111