ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email: [email protected]
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 67
Nội dung
1
Ánh xạ tuyến tính: nhân và ảnh
2
Ma trận của ánh xạ tuyến tính: liên hệ tọa độ,
cơ sở và số chiều của nhân và ảnh của ánh xạ
tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 2 / 67
Khái niệm tổng quát Ánh xạ
Định nghĩa
Cho 2 tập hợp tùy ý E , F = ∅. Ánh xạ f giữa 2
tập E , F là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ E tồn
tại duy nhất y ∈ F sao cho y = f (x).
Định nghĩa
Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x
1
= x
2
⇒ f (x
1
) = f (x
2
). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh

1
, x
1
+ x
2
) là ánh xạ tuyến tính.
∀x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
) ∈ R
2
,
f(x+y) = (3(x
1
+ y
1
) − (x
2
+ y
2
),
x
1
+ y
1

f(x)+f(y).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
∀λ ∈ K , ∀x ∈ R
2
,
f (λx) = (3λx
1
− λx
2
, λx
1
, λx
1
+ λx
2
)
= λ(3x
1
− x
2
, x
1
, x
1
+ x
2
) = λf (x)
Ví dụ
Ánh xạ f : R

− λx
2
, λx
2
) = λ(2x
2
1
− x
2
, x
2
), nếu λ = 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 6 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Định nghĩa
Cho E là một K -kgv. Một ánh xạ f : E → E được
gọi là tự đồng cấu của E nếu và chỉ nếu f là
ánh xạ tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 7 / 67
Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh
Định nghĩa
Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó
1
Ker(f ) = {x ∈ E\f (x) = 0} = f
−1
(0) là
nhân của ánh xạ f .
2
Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E )
là ảnh của ánh xạ f .

1
p(x) = ax
2
+ bx + c ∈ P
2
(x)
⇒ f (p(x)) =
1

0
(ax
2
+ bx + c)dx
=
a
3
+
b
2
+ c = 0 ⇒ c = −
a
3
−
b
2
. Vậy
Ker(f ) = {ax
2
+ bx + (−
a

1
2
ĐLTT nên chúng là cơ sở của
Ker(f ) ⇒ dim(Ker(f )) = 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 12 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Ví dụ
Cho f : R
4
→ R
3
xác định bởi
f (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (x
1
− x
2
, x
2
+ x
3
, x
1

+ 2x
4
= 0}. Giải hệ phương trình này ta
được x
4
= 0, x
1
= α, x
2
= α, x
3
= −α, ∀α ∈ R.
Vậy Ker(f ) = {α(1, 1, −1, 0) : ∀α ∈ R}. Cơ sở
của Ker(f ) là (1, 1, −1, 0). Dim(Ker(f )) = 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 13 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Bước 1. Chọn cơ sở của E = R
4
là
e
1
= (1, 0, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0, 0), e
3
= (0, 0, 1, 0),
e
4
= (0, 0, 0, 1).
Bước 2. Tính f (e

3
+ x
4
e
4
) =
x
1
f (e
1
) + x
2
f (e
2
) + x
3
f (e
3
) + x
4
f (e
4
)
⇒ Im(f ) =< f (e
1
), f (e
2
), f (e
3
), f (e




Vậy (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2) là cơ sở của Im(f )
và dim(Im(f )) = 3 ⇒ Im(f ) = F = R
3
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 15 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M là một họ
véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó
f (< M >) =< f (M) >, M = {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} ⊂ E
1. Chứng minh f (< M >) ⊂< f (M) > . Với mọi
y ∈ f (< M >) ⇒ ∃x ∈< M >: y = f (x). Do đó
∃λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
∈ K : x =
n


, . . . , λ
n
∈ K :
y =
n

i=1
λ
i
f (x
i
) = f (
n

i=1
λ
i
x
i
) ∈ f (< M >).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 17 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Hệ quả
Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E
thì f (M) sinh ra F .
Thật vậy, do f là toàn ánh nên F = f (E )
= f (< M >) =< f (M) > .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 18 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Định lý

i
x
i
= 0. Khi đó
f (
n

i=1
λ
i
x
i
) = f (0) = 0 =
n

i=1
λ
i
f (x
i
)
⇒ f (M) PTTT.
2. Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính
thì M độc lập tuyến tính. Giả sử M PTTT thì
f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 20 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ),
M = {x

i
x
i
= 0 mà M ĐLTT nên λ
i
= 0, i = 1 n. 
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 21 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Định lý
Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F ,
∀f ∈ L(E , F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với
mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F .
Chứng minh.
Ta có f là song ánh=toàn ánh+đơn ánh. Vì f là
toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F .
Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT. Vậy
f (B) là cơ sở của F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 22 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R
3
→ R
3
xác định bởi
f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0),
f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).
Xác định f (x
1
, x


α = x
1
+ x
2
+ x
3
β = x
2
+ x
3
γ = x
3
Vậy f (x
1
, x
2
, x
3
) =
αf (1, 0, 0) + βf (−1, 1, 0) + γf (0, −1, 1) =
(x
1
+ x
2
+ x
3
)(1, 1, 1) + (x
2
+ x

f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).
Tìm cơ sở và số chiều của Ker(f ).
∀x ∈ Ker(f ) ⇔ f (x) = 0
⇔



x
1
− x
2
+ x
3
= 0
x
1
+ x
3
= 0
x
1
+ x
2
+ 4x
3
= 0
⇔ x
1
= x
2