TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 59, 2010
ĐỊNH LÝ HOPKINS VỀ CĂN JACOBSON CHO CÁC NỬA
VÀNH CỘNG GIẢN ƯỚC
Nguyễn Xuân Tuyến, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
Lê Hoàng Mai, Trường Đại học Đồng Tháp
Tóm tắt. Trong bài viết này chúng tôi tính một số kết quả liên quan đến
căn của nửa vành theo quan điểm của Bourne. Đặc biệt chúng tôi chứng minh
Định lý Hopkins về căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành
cộng giản ước.
1. Giới thiệu.
Căn của nửa vành tổng quát được Bourne định nghĩa vào năm 1950, sau
đó căn Bourne được Zassenhaus, Iizuka, tiếp tục xem xét. Thời gian gần đây
được tiếp tục nghiên cứu bởi các tác giả H.M.AL-Thani, N.X. Tuyen và T.G.
Nam, Ngoài ra, căn của nửa vành theo quan điểm của Kurosh-Amitsur cũng
được nghiên cứu bởi U. Hebisch và H. J. Weinert. Trong bài viết này chúng
tôi dùng khái niệm căn Bourne tính toán trên các nửa vành cộng giản ước;
nửa vành lũy đẳng và thu được kết quả là các Mệnh đề 2.3; Mệnh đề 2.5 và
Mệnh đề 2.6. Đặc biệt, chúng tôi dùng căn Bourne của nửa vành để xem xét
lại một định lý quan trọng trong lý thuyết vành đó là Định lý Hopkins về căn
Jacobson, chúng tôi thu được kết quả Định lý Hopkins về căn Jacobson cho
các nửa vành cộng giản ước đó là Định lý 3.2.
Trong suốt bài viết này, chúng tôi quy ước tập S khác rỗng cùng với hai
phép toán hai ngôi cộng và nhân được gọi là một nửa vành nếu thỏa mãn các
điều kiện sau: (i) (S, +) là một vị nhóm giao hoán với phần tử không là 0; (ii)
(S, .) là một nửa nhóm; (iii) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng.
Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì S được gọi là nửa vành giao hoán,
nếu nửa nhóm nhân có phần tử đơn vị thì S được gọi là nửa vành có đơn vị. Nửa
vành S được gọi là cộng (nhân) lũy đẳng nếu a + a = a(a.a = a), ∀a ∈ S; nửa
vành S được gọi là lũy đẳng nếu S vừa là cộng lũy đẳng vừa là nhân lũy đẳng.
Nửa vành S được gọi là cộng giản ước nếu a + b = a + c thì b = c, ∀a, b, c ∈ S.
Một tập con I khác rỗng của S được gọi là một ideal trái (phải) của S nếu

∈ S sao cho
r + r

+ rr

= r

+ rr

.
Điều kiện cần và đủ để phần tử r ∈ S nửa chính quy phải là với mọi phần tử
s ∈ S luôn tồn tại phần tử s

, s

∈ S sao cho
s + s

+ rs

= s

+ rs

.
Ideal phải I của nửa vành S được gọi là ideal nửa chính quy phải nếu với mọi
cặp phần tử i
1
, i
2

Định nghĩa 2.1.[1] Căn Jacobson phải của nửa vành S là tổng của tất cả các
ideal nửa chính quy phải của S.
Tương tự, ta có định nghĩa căn Jacobson trái của nửa vành S. Bourne cũng
đã chứng minh rằng căn Jacobson phải và trái là trùng nhau, và gọi chung là
căn Jacobson của S, kí hiệu R(S).
Sau đó, Bourne và Zassenhaus đã đưa ra khái niệm nửa căn của nửa vành
S và xét quan hệ tương đương tuyến tính i
1
∼ i
2
nếu và chỉ nếu phương trình
i
1
+ x = i
2
+ x giải được trong S với i
1
, i
2
∈ S. Đặt
S
∗
= S/
∼
= {i
∗
| i ∈ S} với i
∗
= {j ∈ S | i ∼ j}.
156

> j
2
thì j
1
+ xj
1
> j
2
+ xj
2
suy ra x + j
1
+ xj
1
> j
2
+ xj
2
(vô lý). Nếu
j
1
< j
2
thì j
1
+ 1 ≤ j
2
. Khi đó j
2
+ xj

3
= {0, 1, a} cùng với hai phép toán được cho bởi bảng
sau:
+ 0 1 a
0 0 1 a
1 1 1 a
a a a a
× 0 1 a
0 0 0 0
1 0 1 a
a 0 a a
Ta dễ dàng kiểm chứng được R
3
là ideal nửa chính quy phải của chính nó,
nghĩa là R(R
3
) = R
3
.
Cho I là ideal nửa chính quy phải của nửa vành S. Khi đó, ∀i ∈ I ta dễ
dàng chứng minh được i là phần tử nửa chính quy phải của S. Tuy nhiên, tập
hợp J tất cả các phần tử nửa chính quy phải của S chưa chắc là ideal nửa
chính quy phải của S. Vậy, khi nào tập J là ideal nửa chính quy phải của S?
Mệnh đề 2.3. Cho S là nửa vành giao hoán, lũy đẳng. Khi đó R(S) = J,
với J là tập hợp tất cả các phần tử nửa chính quy phải của S.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh J là ideal nửa chính quy phải
của S. Ta có 0 ∈ J, vì 0 là phần tử nửa chính quy phải. Với mọi j
1
, j
2

)
vì thế j
1
+ j
2
là phần tử nửa chính quy phải của S nên j
1
+ j
2
∈ J. Với mọi
j ∈ J, s ∈ S, tồn tại s

, s

∈ S sao cho
j + s

+ js

= s

+ js

=⇒ sj + ss

+ sjs

= ss

+ sjs

+j
2
+j
1
j
1
+j
2
j
2
= j
1
+j
2
+j
1
j
2
+j
2
j
1
,
suy ra J là ideal nửa chính quy phải của S. Vì J là ideal nửa chính quy phải
của S nên J ⊆ R(S). Mặt khác, vì R(S) cũng là một ideal nửa chính quy phải
của S nên mỗi phần tử của R(S) đều là phần tử nửa chính quy phải, do đó
R(S) ⊆ J. Vậy R(S) = J. 
Iizuka đã sử dụng lý thuyết biểu diễn để đặc trưng căn của nửa vành. Một
S−nửa môđun phải giản ước M = {0} được gọi là bất khả quy nếu với mỗi
cặp cố định tùy ý u

Khi đó, ta nói M là nửa môđun biểu diễn bất khả quy của nửa vành S. Kí hiệu
I là tập hợp tất cả các nửa môđun biểu diễn bất khả quy của một nửa vành
S.
Định lý 2.4.[5] Cho S là một nửa vành có đơn vị. Khi đó
R(S) =

M ∈I
(0 : M)
trong đó (0 : M) = {b ∈ S | Mb = {0}}. Nếu I = ∅ thì R(S) = S và S được
gọi là nửa vành căn.
Mệnh đề 2.5. Cho S là nửa vành cộng lũy đẳng. Khi đó R(S) = S hay S
là nửa vành căn.
Chứng minh. Gọi M = {0} là một nửa môđun biểu diễn bất khả quy của
nửa vành S. Với m(= 0) ∈ M, ta chọn u
1
= m, u
2
= 0, x = m, khi đó luôn tồn
tại a
1
, a
2
∈ S sao cho
x + u
1
a
1
+ u
2
a

2
+ ma
1
= ma
1
+ ma
2
=⇒ m + m(a
1
+ a
2
) = m(a
1
+ a
2
)
Vì M cộng giản ước nên m = 0 (vô lý). Vậy S không có các S−nửa môđun
biểu diễn bất khả quy, do đó R(S) = S. 
Chú ý. Ta có thể chứng minh Mệnh đề 2.5 bằng cách sử dụng Định lý
4 trong [5]. Dễ dàng chứng minh được R
3
là nửa vành cộng lũy đẳng nên
R(R
3
) = R
3
.
Nhận xét. Như ta đã biết, căn của vành có đơn vị là giao của tất cả các
ideal trái (phải) tối đại. Do đó, nếu S là một vành có đơn vị thì căn của S
158

) ∈ S, là một nửa
vành có đơn vị với phần tử không 0
S
= (0, 0) và phần tử đơn vị 1
S
= (0, 1).
Nửa vành này được gọi là mở rộng Dorroh của R nhờ N (xem [3]).
Mệnh đề 2.6. Cho R là một nửa vành (không có đơn vị) và S là mở rộng
Dorroh của R nhờ N. Khi đó R(R) = R(S).
Chứng minh. Ta thấy ánh xạ f : R → S sao cho r → (r, 0) là một đơn
cấu nửa vành. Vì thế, mọi phần tử r ∈ R ta có thể đồng nhất với phần tử
(r, 0) ∈ S. Khi đó, ta có R là một nửa vành con của S và ta cũng chứng minh
được R là một ideal của S. Theo Định lý 2 trong [5], ta có R(R) = R(S) ∩ R,
vì thế để chứng minh R(S) = R(R), ta cần chứng minh R(S) ⊆ R. Ta
có ánh xạ p : S → S/R sao cho (r, n) → (r, n) là một toàn cấu nửa vành
nên suy ra p(R(S)) ⊆ R(S/R). Mặt khác, xét ánh xạ θ : S/R → N sao
cho (r, n) → n, ta dễ dàng chứng minh được θ là một đẳng cấu nửa vành
nên R(S/R) = R(N) = {0}. Vì thế p(R(S)) ⊆ R(S/R) = {0}. Với mọi
x = (r, n) ∈ R(S), p(r, n) = (r, n) = (0, 0) hay (r, n) + (r
1
, 0) = (r
2
, 0). Do đó,
n = 0 và x = (r, 0) ∈ R. Vậy R(S) ⊆ R. Suy ra R(R) = R(S). 
3. Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nửa vành cộng giản
ước
Ta có Định lý Hopkins về căn Jacobson trong vành Artin như sau: Cho S
là vành Artin trái. Khi đó, căn Jacobson R(S) vừa là ideal trái lũy linh lớn
nhất vừa là ideal phải lũy linh lớn nhất của S (xem [6]). Tuy nhiên, theo Mệnh
đề 2.5 thì R

∗
= S. Từ nửa vành S
∗
cộng giản ước ta xây dựng được
vành sai phân

S chứa S
∗
như một nửa vành con. Cụ thể như sau:
Cho S là nửa vành cộng giản ước (tức là S
∗
= S). Khi đó S × S = {(x, y) |
x, y ∈ S} cùng với 2 phép toán cộng (x, y) + (x

, y

) = (x + x

, y + y

) và nhân
(x, y)(x

, y

) = (xx

+ yy

, xy


, y + y

) và nhân
(x, y).(x

, y

) = (xx

+ yy

, xy

+ x

y) với phần tử không 0

S
= (0, 0), và phần tử
(x, y) có phần tử đối là (y, x). Bây giờ, xét ánh xạ ϕ : S →

S sao cho x → (x, 0),
ta thấy ϕ là một đơn cấu nửa vành vì ϕ(x) = ϕ(y), tức là (x, 0) = (y, 0), suy
ra x + a = y + b, a = b hay x = y. Do đó, ta có thể đồng nhất x ∈ S với
(x, 0) ∈

S, vì thế S là một nửa vành con của

S. Mặt khác, với mọi (x, y) ∈

⊇ ⊇ I
n
⊇
các S− nửa môđun con của S− nửa môđun phải

S. Khi đó,
ϕ
−1
(I
1
) ⊇ ϕ
−1
(I
2
) ⊇ ⊇ ϕ
−1
(I
n
) ⊇
là dãy giảm các S−nửa môđun con của S−nửa môđun phải S
2
, mà S
2
S
là
Artin nên tồn tại n ∈ N sao cho ϕ
−1
(I
n
) = ϕ

S. Khi đó R(S) = R(S
∗
) = R(

S) ∩ S
∗
= R(

S) ∩ S (xem [5]).
Suy ra R(S) ⊆ R(

S). Vì vậy, để chứng minh R(S) lũy linh, ta chỉ cần chứng
minh R(

S) lũy linh. Nhưng

S là một vành nên theo Định lý Hopkins về căn
Jacobson trong lý thuyết vành (xem [6]) ta cần chứng minh

S−môđun phải

S
là Artin. Xét dãy
J
1
⊇ J
2
⊇ ⊇ J
n
⊇


S−môđun phải

S là Artin, do
đó ∃n ∈ N : R(

S)
n
= {0} mà R(S) ⊆ R(

S) suy ra R(S)
n
= {0} hay R(S) là
lũy linh.
Bây giờ ta chứng minh S thỏa mãn điều kiện ACC trên các ideal phải cô
lập. Do

S là một vành Artin phải nên

S cũng là vành Noether phải (xem [6]).
Xét dãy
I
1
≤ I
2
≤ ≤ I
n
≤
các ideal phải cô lập của S. Đặt K(I
i

n
),
do đó x viết được dưới dạng x = a − b, với a, b ∈ I
n
. Khi đó, a = x + b. Vì
a, b ∈ I
n
, I
n
là cô lập nên x ∈ I
n
. Suy ra I
n+i
⊆ I
n
, hay I
n
= I
n+i
. Vậy, S thỏa
mãn điều kiện ACC trên các ideal phải cô lập. 
Chú ý. Cho S là nửa vành cộng giản ước. Nếu S
n+k
(k ≥ 0) là S−nửa
môđun phải Artin thì S
n
cũng là S−nửa môđun phải Artin. Thật vậy, vì ánh
xạ ϕ : S
n+k
S

(tập các
số thực không âm) khi đó S là một nửa trường với hai phép toán cộng và nhân
thông thường. Đặt T =

i∈N
S
i
với S
i
= S, khi đó T là nửa vành giao hoán cộng
giản ước với phép toán cộng (x
i
)+(y
i
) = (x
i
+y
i
) và nhân (x
i
)(y
i
) = (x
i
y
i
). Xét
tập R = {(0, 0, , 0, )}

{(x

1
⊃ I
2
⊃ I
3
⊇ ⊇ I
n
⊇ là một dãy không dừng; vì thế R
2
R
không
Artin.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] S. BOURNE, The Jacobson radical of a semiring, Proc. Nat. Acad. Sci.,
37(1951), 163 − 170.
[2] S. BOURNE and H. ZASSENHAUS, On the semiradical of a semiring,
Proc. Nat. Acad. Sci., 44(1958), 907 − 914.
[3] J. S. GOLAN, The theory of semirings with applications in mathematics
and theoretical computer science, Longman scientific and Technical, London,
1992, 318pp.
161
[4] U. HEBISCH and H. J. WEINERT, Radical theory for semirings, Quaes-
tiones Mathematicae, 20(1997), 647-661.
[5] K. IIZUKA, On the Jacobson radical of a semiring, Tohoku Math. J.,
2(1959), 409 − 421.
[6] T. Y. LAM, A First Course in Noncommutative Rings, Grad. Texts in
Math. no. 131, Springer-Verlag, Berlin, Heildeberg, New York, 2001.
[7] H.M.AL-THANI, The Jacobson radical of type (3,1), International Jour-
nal of Modern Mathematies, 2(2007), 27-33.
[8] H.M.AL-THANI, Characterizations of the Jacobson radical of type (3,1),