7

Pr{B}= 1- µΔt
Giả thiết Pr{C}= 0, với 1/µ là thời gian phục vụ trung bình (thực tế được
phân bố theo hàm mũ.
D là sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đến AND với sự kiện của 1 hoặc
nhiều sự đi trong khoảng Δt
Giả sử Pr{D}=0, (2-1)
Thực ra, nó chỉ ra rằng khi Δt nhỏ, sự kiện nhân (vừa đi vừa đến) là
không xảy ra.
Ngoài các giả thiết trên về đặc tính của tiến trình đến và tiến trình phục
vụ, còn có thêm các giả thiết sau:
 Tiến trình đến là tiến trình Poisson với tham số λ
 Khoảng thời gian đến phân bố theo hàm mũ với tham số 1/λ
 Thời gian phục vụ phân bố theo hàm mũ với tham số 1/µ
 Tiến trình đến là độc lập với tiến trình phục vụ và ngược lại
Để phân tích hệ thống hàng đợi cần hiểu khái niệm “Trạng thái hệ
thống”. Có thể định nghĩa thông qua biến thích hợp mô tả “ Sự phát
triển theo thời gian” của hệ thống hàng đợi. Để thuận tiện cho hệ thống
hàng đợi biến được chọn sẽ là số khách hàng trong hệ thống tại thời
điểm t.
Trạng thái hệ thống tại t = N(t)= Số lượng khách hàng tại thời
điểm t (2-2)
Tức là :
p
N
(t)=Pr{N(t)=N} (2-3)

N
(t)(1-λ Δt-µΔt)+p
N-1
(t)λΔt+ p
N+1
(t)µΔt,
N>0 (2-4)
ta luôn có điều kiện phân bố chuẩn:
0,1)( 


ttp
i
i
(2-5)
Tức là chuẩn hóa các pi(t), t≥0, thành các tính chất phân bố rời rạc
theo thời gian.
Ta có thể tính giới hạn khi Δt →0 và có hệ phương trình vi phân:
0),()()()(
)(
0),()(
)(
11
10
0



Ntptptp
dt


N
dt
tdp
N
dt
tdp
N
(2-8)
Vì vậy,
p
0
(t)=p
0
, với N=0
p
N
(t)=p
N
, với N>0 (2-9)
Định nghĩa ρ=λ /µ với ngụ ý rằng hệ thống hàng đợi ổn định với ρ <1,
ta có:
p
1
=ρp
0

p
N+1
(t)=(1+ρ)p

trong hệ thống từ phân bố trạng thái ổn định của hệ thống như sau:










1
)1(][
00 i
i
i
i
iipNE
(2-12)
Kết quả trên không áp dụng cho số trung bình khách hàng trong hệ
thống tại một khoảng thời gian ngắn t (arbitrary time t).
Số lượng trung bình của khách hàng trong hàng đợi
Chú ý rằng số lượng khách hàng trong hàng đợi thì bằng với số lượng
khách hàng trong hệ thống trừ đi 1. Sử dụng cùng các giả thiết ta có:







Chú ý rằng tổng bắt đầu từ i=1, do sự kiện khách hàng đợi chỉ đúng
khi có nhiều hơn 0 khách hàng trong hệ thống.
Chú ý rằng (i-1)!, do đang tìm số lượng khách hàng trung bình trong
hàng đợi.
Thời gian trung bình trong hệ thống
Thời gian này có thể được phân chia thành hai thành phần :
 Thời gian đợi
 Thời gian phục vụ
Tính toán các tham số hiệu năng này đòi hỏi những giả thiết thêm dựa
trên đặc tính của hệ thống hàng đợi :
 Quy tắc phục vụ khách hàng : Giả sử quy tắc “ first-come, first
served” là khách hàng được phục vụ theo thứ tự như khi đến hệ
thống
 Phân bố trạng thái ổn định p
k
, k=0,1,…, cũng giống như phân bố
xác suất của số lượng khách hàng trong hệ thống.
 Thời gian phục vụ dư trung bình của khách hàng sẽ dùng để phục
vụ khi tiến trình đến xảy ra với tốc độ 1/µ, cũng giống như vậy. Vì
vậy được gọi là đặc tính không nhớ.
Sử dụng các giả thiết cho thời gian trung bình trong hệ thống của
khách hàng :
 
)1(
111
000













k
k
Q
p
k
WE (2-15)
Chú ý rằng thời gian trung bình trong hàng đợi bằng với thời gian trung
bình hệ thống trừ đi thời gian phục vụ:


 
)1(
1
)1(
11






 WEWE


2.2. Nhắc lại các khái niệm thống kê cơ bản
2.2.1. Tiến trình điểm
Các tiến trình đến là một tiến trình điểm ngẫu nhiên, với tiến trình này
chúng ta có khả năng phân biệt hai sự kiện với nhau. Các thông tin về
sự đến riêng lẻ (như thời gian phục vụ, số khách hàng đến) không cần
biết, do vậy thông tin chỉ có thể dùng để quyết định xem một sự đến có
thuộc quá trình hay không.

11

Mô tả tiến trình
Chúng ta xem xét qui luật của tiến trình điểm thông thường, nghĩa là
loại trừ các tình huống đến kép. Xét số lần cuộc gọi đến với cuộc gọi
thứ i tại thời điểm Ti :
0 = T0 < T1 < T2 < < …… < Ti < Ti+1< …… (2-19)
Lần quan sát thứ nhất tại T0 = 0.
Số các cuộc gọi trong nửa khoảng thời gian mở [0, t] là N
t
, ở đây N
t
là
một biến ngẫu nhiên với các tham số thời gian liên tục và thời gian rời
rạc, khi t tăng thì N
t
không bao giờ giảm.
Khoảng thời gian giữa hai lần đến là:

i
in
tXT
1

Điều này được biểu diễn bằng đẳng thức Feller - Jensen :




tTpnNp
nt
 với n = 1, 2,… (2-21)
Phân tích tiến trình điểm có thể dựa trên cả hai cách này, về nguyên
tắc chúng tương đương với nhau. Cách biểu diễn khoảng thời gian
tương ứng với việc phân tích chuỗi thời gian thông thường.
Cách biểu diễn số không song song với phân tích chuỗi thời gian. Số
liệu thống kê được tính toán trên mỗi đơn vị thời gian và ta có các mức
trung bình thời gian.
Đặc tính của tiến trình điểm
Phần này chúng xem xét đặc tính của nó thông qua cách biểu diễn số.
Tính dừng (tính đồng nhất thời gian)(Stationarity-time homogeneity) :
Tính chất này có thể mô tả là cho dù ở vị trí nào trên trục thời gian
cũng vậy, phân bố xác suất tiến trình điểm là độc lập với thời điểm
quan sát. Định nghĩa sau đây được sử dụng trong thực tế:

12

Tính độc lập (Independence)
Tính chất này thể hiện là: tương lai của tiến trình chỉ phụ thuộc vào
trạng thái hiện tại.
Định nghĩa: xác suất có k sự kiện (với k nguyên và lớn hơn
hoặc bằng 0) trong khoảng [t
1
, t
1
+t
2
] là độc lập với các sự kiện
trước thời điểm t
1
:




kNNpnNNkNNp
tttttt
 )(|)(
120112
(2-23)
Nếu điều này đúng với mọi t thì tiến trình này là tiến trình Markov: trạng
thái tiếp theo chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại, nhưng độc lập với
việc nó đã có được như thế nào. Đây chính là tính chất không nhớ.
Nếu tính chất này chỉ xảy ra tại các thời điểm nào đó (ví dụ thời điểm
đến), thì những điểm này được gọi là các điểm cân bằng hay các điểm
tái tạo. Khi đó tiến trình có nhớ giới hạn, và ta cần lưu lại điểm tái tạo
gần nhất.

 Tính đều đặn
Hai tính chất sau là tính chất cơ bản, từ đó tiến trình Poisson có cường
độ phụ thuộc thời gian.Từ các tính chất trên người ta có thể đưa ra các
tính chất khác đủ để biểu diễn tiến trình Poisson, đó là:
 Biểu diễn số: là số các sự kiện đến trong một khoảng thời gian với
độ dài cố định được phân bố theo tiến trình Poisson.
 Biểu diễn khoảng thời gian: là các khoảng thời gian X
i
giữa các sự
kiện liên tiếp nhau được phân bố theo hàm mũ.
Tiến trình đến Poisson sử dụng trong lưu lượng viễn thông của mạng
chuyển mạch gói và mạng máy tính. Thêm vào đó tiến trình Poisson
đã được sử dụng để mô tả các tiến trình nhiễu và để nghiên cứu hiện
tượng các hố điện tử xuất hiện trong chất bán dẫn, và trong các ứng
dụng khác …
Ba vấn đề cơ bản được sử dụng để định nghĩa tiến trình đến Poisson.
Xét một khoảng thời gian nhỏ
t

(với
0


t
), như Hình 2-7.

t

 Xác suất không có tiến trình đến nào trong khoảng thời gian
t

là
)t(ot1






 Tiến trình đến không có nhớ: một tiến trình đến trong khoảng thời
gian t

là độc lập với các tiến trình trước đó và các tiến trình trong
tương lai.
Nếu lấy một chu kỳ T, tìm xác suất p(k) của k tiến trình đến trong thời
gian T được cho bởi:


!
)(
k
eT
kp
T
k




k


hay:
TkE
k

 )(
2
(2-27)
Tham số

 là hằng số tỷ lệ, được xem là tham số tốc độ:
T
kE )(



Phương trình (2-25) mô tả tốc độ đến trung bình của tiến trình Poisson.
Bình thường giá trị trung bình E(k) tiến tới không tương đương với

T
lớn:
TkE
k
./1)(/


với nghĩa là


(
t
N
= Số cuộc gọi đến hệ thống tại thời điểm t.
t

= Số cuộc gọi đi đến hệ thống trong khoảng thời gian từ (0,t).
t

= Số cuộc gọi rời khỏi hệ thống trong khoảng thời gian từ (0,t).
i
T
= Thời gian của cuộc gọi thứ i trong hệ thống (thời gian phục vụ).
Như vậy:
t
N - Số lượng cuộc gọi trung bình đến hệ thống trong (0,t) là :


t
tt
dtN
t
N
0
1

t

- Mật độ cuộc gọi trong khoảng (0,t) là :
t


t
t
t
t
t
t
TTNN

 lim;lim;lim


Có công thức sau:
T
N


(2-28)
Công thức trên có tên gọi là Định lý Little
Số cuộc gọi trung bình trong hệ thống bằng tích mật độ cuộc gọi
với thời gian chiếm kênh trung bình.
2.3.2. Chứng minh công thức Little
Chứng minh công thức Little bằng phương pháp hình học theo như
minh họa dưới đây.
Hình 2-8

Xét trong khoảng (0,t) :

i
Ti

1

t
i
i
t
o
t
t
t
T
t
dtN
t







1
1

tức là :
ttt
TN

Tiến trình đến
Nếu các khách hàng đến vào các thời điểm t1, t2 … tj

thì các biến số
ngẫu nhiên Pj=tj-tj-1 được gọi là các thời điểm giữa các lần đến. Các
thời điểm này thường được giả thiết là các biến số ngẫu nhiên độc lập
và được phân bố đồng nhất IID (Independent and Identycally
distributed). Các tiến trình đến thông dụng nhất là :
M: Tiến trình mũ (là tiến trình Markov hay tiến trình không nhớ)
Er: Tiến trình Erlang bậc r
Hr: Tiến trình siêu số mũ bậc r
D: Tiến trình tất định (deterministic)
G: Tiến trình chung
Tiến trình phục vụ
Thời gian mà mỗi công việc tiêu tốn cần thiết tại server gọi là thời gian
phục vụ. Các thời gian phục vụ thường giả thiết là các biến số ngẫu
nhiên IID. Các tiến trình phục vụ thông dụng nhất cũng giống như thời
gian đến.
Số lượng các bộ server: Số lượng các server phục vụ cho hàng đợi
Dung lượng hệ thống
Kích thước bộ nhớ đệm cực đại
Qui mô mật độ
Số lượng các công việc đến tại hàng đợi. Qui mô mật độ luôn là hữu
hạn trong các hệ thống thực. Tuy nhiên phân tích hệ thống với qui mô
mật độ lớn sẽ dễ dàng hơn nếu giả thiết rằng qui mô mật độ là vô hạn.
Qui tắc phục vụ
Thứ tự mà theo đó các công việc trong hàng xếp được phục vụ. Các
qui tắc phổ biến nhất là đến trước phục vụ trước FCFS (First Come
First Served), đến sau phục vụ trước LCFS (Last Come First Served),
theo vòng tròn RR (Round Robin), thời gian xử lý ngắn nhất phục vụ

n

: Tốc độ của lần đến n
n
 : Tốc độ của lần đi
P
n
: Xác suất ổn định trạng thái n của quá trình sinh – tử tại trạng thái n
P
n
=
n
n

21
110 
.P
0
(2-29)
P0 - xác suất ở trạng thái 0, Pn - xác suất ở trạng thái n
2.4.3. Hàng đợi M/M/1
Lược đồ trạng thái

18

Pn: Xác suất ổn định trạng thái n
P0: Xác suất ổn định trạng thái 0

: Mật độ lưu lượng

=



Trong trường hợp này số kênh phục vụ bằng 1, chỉ có 1 server
Các công thức tính toán:
 Xác suất có n khách hàng trong hệ thống
P
n
= (1-

)
n

; n=1,2, (2-31)
P
0
= (1-

) (2-32)
 Số lượng trung bình các khách hàng trong hệ thống
L=E(n)=


1

W
S
=

1
=


(2-36)
 Thời gian trung bình của khách hàng trong hàng đợi

19

W
q
= W- W
S
=
)1(



-


=
)1(




1
=


1
2
(2-40)
Ví dụ: Cho Switch nhận các bản tin đến tốc độ 240bản tin/phút. Độ dài
bản tin có phân bố hàm mũ với chiều dài trung bình là 100 ký tự. Tốc
độ truyền bản tin đi khỏi hệ thống là 500 ký tự/giây. Tính các tham số
sau :
 Thời gian trung bình của bản một tin trong hệ thống
 Số bản tin trung bình trong hệ thống
 Tính chiều dài hàng đợi và thời gian đợi trung bình

Bài giải: Xét hệ thống M/M/1:
Tốc độ đến 4
60
240


bản tin/giây
Tốc độ phục vụ 5
100
500



 Chiều dài hàng đợi L
q 20

L
q
= 2,3
8,01
8,0.8,0
1
2






bản tin
 Thời gian đợi trung bình W
q

W
q
=
8,0

12 

k

(2-42)
L =
1
1
1
)1(
1






k
k
k




(2-43)
Xác suất khách hàng đến hệ thống bị từ chối là P
K

Tốc độ thực tế đến hệ thống