Đỗ Văn Hùng Rèn luyện và phát triển t duy toán học , TR. 28-36 28
GóP PHầN Rèn luyện và phát triển t duy toán học cho
sinh viên ngành s pHạM toán thông qua hoạt động
Huy động - Tổ chức vận dụng các kiến thức và kinh nghiệm

Đỗ Văn Hùng
(a)Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi đề cập đến vấn đề rèn luyện và phát triển
t duy toán học cho sinh viên đại học ngành s phạm toán trong quá trình dạy học
toán ở trờng s phạm dựa trên việc hớng dẫn sinh viên tham gia hoạt động Huy
động - Tổ chức vận dụng các kiến thức và kinh nghiệm. Đây là một trong những hoạt
động hữu hiệu để rèn luyện và phát triển t duy cho sinh viên trong quá trình dạy
học toán.

1. Đặt vấn đề
Rèn luyện và phát triển t duy nói chung, t duy toán học nói riêng cho sinh
viên s phạm trong quá trình dạy học toán là một yêu cầu, một nhiệm vụ quan
trọng, đợc đặt ra từ lâu trong các trờng s phạm. Đây không phải là vấn đề mới,
nó đã đợc nhiều tác giả quan tâm ở những mức độ khác nhau và cũng đợc nhiều
nhà khoa học chọn làm các đề tài nghiên cứu. Ngày nay, trớc sự đổi mới và phát
triển, trớc yêu cầu của xã hội, của khoa học công nghệ, đòi hỏi ngành giáo dục đào
tạo phải đáp ứng nguồn nhân lực có chất lợng cao, đào tạo ra những con ngời năng
động, sáng tạo hơn trong lao động và cuộc sống thì vấn đề này càng đòi hỏi các

trình gồm 4 bớc cơ bản: xác định đợc vấn đề (tìm đợc câu hỏi cần giải đáp); huy
động tri thức, kinh nghiệm, liên tởng hình thành giả thuyết và cách giải quyết vấn
đề, trả lời câu hỏi; kiểm nghiệm xác minh giả thuyết (chứng minh); nhận xét, đánh
giá kết quả, vận dụng.
Theo Từ điển Tiếng Việt (Hoàng Phê - chủ biên), t duy là giai đoạn cao của
quá trình nhận thức, đi sâu vào cái bản chất và phát hiện ra quy luật của sự vật
bằng những hình thức nh biểu tợng, phán đoán và suy lý.
Nh vậy, t duy giúp con ngời nắm đợc bản chất và quy luật vận động của
tự nhiên, xã hội và con ngời; t duy có tác dụng cải tạo lại thông tin nhận thức cảm
tính làm cho chúng có ý nghĩa hơn trong cuộc sống; t duy vận dụng những cái đã
biết để đề ra giải pháp giải quyết những cái tơng tự, do đó tiết kiệm đợc công sức.
T duy toán học đợc hiểu là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc
tính bản chất, phát hiện ra những mối quan hệ bên trong có tính quy luật của các
đối tợng toán học mà trớc đó ta cha biết. Sản phẩm của t duy toán học là những
khái niệm, những định lý, quy tắc, phơng pháp, suy luận, mang tính khái quát,
tính trừu tợng cao, có tính khoa học, tính lôgic chặt chẽ, các tri thức có mối quan hệ
mật thiết và hỗ trợ lẫn nhau, đợc biểu đạt chủ yếu bằng ngôn ngữ viết (ký hiệu,
biểu thức, công thức,).
Theo Phơng pháp dạy học đại cơng môn toán của tác giả Nguyễn Bá Kim
[3] thì: việc dạy học toán không chỉ dừng lại ở chỗ chỉ để ngời học lĩnh hội đợc tri
thức toán học, rèn luyện đợc các kỹ năng, kỹ xảo, mà đòi hỏi không ngừng nâng cao
yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của ngời học, buộc họ phải tích cực suy nghĩ,
phấn đấu nhằm đạt đợc mục tiêu, đồng thời qua đó hình thành và rèn luyện cho
ngời học những phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp t duy và phơng pháp làm
việc khoa học. Phát triển t duy toán học cho ngời học là một lĩnh vực vừa rộng lớn,
vừa khó khăn, ngời giáo viên dạy toán cần phải biết tích luỹ kiến thức, rút kinh
nghiệm một cách thờng xuyên và lâu dài, để từ đó vững vàng hơn về chuyên môn
nghiệp vụ, có những biện pháp rèn luyện và phát triển t duy toán học một cách
thích hợp cho từng loại học sinh trong quá trình giảng dạy.
Theo tác giả Nguyễn Duy Thuận [6] thì việc rèn luyện và phát triển t duy

ý rèn luyện cho ngời học một số ý thức và kỹ năng nh: ý thức tự học, tự phát hiện
và giải quyết vấn đề; kỹ năng sử dụng các phơng pháp suy luận phân tích, tổng
hợp; kỹ năng vận dụng các thao tác t duy khái quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự và
quy nạp, trong quá trình giải quyết vấn đề. Cụ thể là:
- Phân tích bài toán một cách toàn diện dới nhiều khía cạnh, nhiều góc độ
khác nhau, chia bài toán thành nhiều bài toán nhỏ, xét các khả năng có thể xảy ra,
đa bài toán về dạng có thể sử dụng đợc các định lý, công thức, khái niệm đã biết,
trên cơ sở đó tìm ra mối quan hệ giữa các đối tợng, các khái niệm và từ đó huy động
các kiến thức, kinh nghiệm đã có để dự đoán cách giải quyết cho từng vấn đề, từng
trờng hợp.
- Chuyển từ việc nghiên cứu cách giải quyết những trờng hợp đơn lẻ, trờng
hợp cụ thể của bài toán sang giải quyết trờng hợp tổng quát hoặc ngợc lại, từ đó có
thể cho ta những gợi ý tốt để tìm phơng án, cách thức giải quyết và vận dụng
những kiến thức, kinh nghiệm đã có vào thực hiện giải quyết các vấn đề.
- Khai thác đánh giá cách giải quyết bài toán để phát hiện ra các sai lầm,
nguyên nhân sai lầm, tìm ra nhiều cách giải khác nhau, từ đó tìm đợc cách giải
quyết tốt hơn, rút ra phơng pháp giải chung cho lớp các bài toán tơng tự hoặc đề
xuất ra các vấn đề mới, bài toán mới.
- Tổng kết, đúc rút kinh nghiệm và tìm cách ứng dụng vào giải quyết các vấn
đề trong thực tiễn.
Thông thờng, trớc một vấn đề, một bài toán mới cần giải quyết, sinh viên
phải thực hiện một loạt các hoạt động trí tuệ:
1) Xác định yêu cầu, nhiệm vụ cần giải quyết, xác định các dữ kiện đã biết, từ
đó dùng các thao tác t duy phát hiện ra mối quan hệ giữa chúng và mối quan hệ với
kiến thức, kinh nghiệm đã có;
trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008


f
=
biết
(0) 5
( 1) 3. ( )
f
f n f n
=


+ =

với
n N

. Để giải quyết bài
toán này, sinh viên có thể thực hiện một loạt các hoạt động trí tuệ sau đây:
1). Xác định yêu cầu của bài toán là tìm
(100) ?
f
=
với dữ kiện
(0) 5
( 1) 3. ( )
f
f n f n
=


+ =


32
0
5, 3
u q
= =
. Nh vậy, các kiến thức và kinh nghiệm cần huy động, vận dụng ở đây
liên quan đến hàm số, tính giá trị của hàm số hoặc tìm số hạng của một cấp số
nhân, Vấn đề đặt ra là phải biểu diễn
( )
f n
bằng một biểu thức đơn giản hơn hoặc
dùng công thức tính số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
3). Lập kế hoạch giải quyết bài toán này là tìm cách biểu diễn
( )
f n
về dạng
hàm số
( ) 5.3
n
f n =
(bằng phơng pháp quy nạp) hoặc dùng công thức tìm số hạng
tổng quát của một cấp số nhân là
5.3
n
n
u = và từ đó có thể tính
(100)
f nhanh hơn.
4). Nhận xét u, nhợc điểm của cách giải này, sinh viên sẽ nhận thấy rằng:

=
biết
(0) 5
( 1) 3. ( ) 4
f
f n f n
=


+ = +

với
n N

. Để tìm kết quả bài toán này, sinh
viên có thể vận dụng kinh nghiệm đúc rút đợc từ cách giải bài toán trên bằng cách
biến đổi dữ kiện bài toán đã cho về dạng
[ ]
(0) 5
( 1) 2 3. ( ) 2
f
f n f n
=



+ + = +


và đặt

+ + + +
là các số nguyên tố.
2). Huy động các kiến thức liên quan, các kinh nghiệm đã có về số nguyên, số
nguyên tố, phơng pháp chứng minh một biểu thức là số nguyên tố, biến đổi biểu
thức thành nhân tử, từ đó định hớng tìm cách giải.
3). Lập kế hoạch giải và thực hiện các bớc giải: biến đổi các biểu thức thành
nhân tử với hệ số nguyên, cho các thừa số bằng 1 tìm n và xét các điều kiện còn lại
trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 33
của bài toán, từ đó tìm ra các giá trị thích hợp. Ta có:
).21).(.21(.2)1(1
222224
nnnnnnn +++=+=+ , nhận thấy các nhân tử không
có hệ số nguyên, do đó phải tìm trực tiếp và sinh viên có thể tìm đợc nhiều giá trị,
chẳng hạn:
1; 2; 6;
n
=

Mt khác
4 3 2 2 2 2 2
4 6 4 5 .( 1) 4 .( 1) 5.( 1)
n n n n n n n n n
+ + + + = + + + + + =





=
+ + =


.
Kiểm chứng cả hai trờng hợp ta thấy chỉ có
2

=
n thoả mãn điều kiện
1
4
+n và
4 3 2
4 6 4 5
n n n n
+ + + +
là các số nguyên tố.
4). T cách giải bài toán, thấy rằng vấn đề cốt lõi ở đây là sinh viên biết cách
biến đổi các biểu thức thành nhân tử, biết chọn biểu thức thích hợp và vận dụng
khái niệm số nguyên tố.
5). Thay đổi các biểu thức dữ kiện của bài toán hoặc thay đổi cách diễn đạt ta
có các bài toán mới, chẳng hạn: Cho Zn

, chng minh rng
1
4

những biểu thức nào?
D

C

B

F

A

G

M

E

Hình 1

Đỗ Văn Hùng Rèn luyện và phát triển t duy toán học , TR. 28-36 34
(
.
. . 1
.

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
dt ECF dt EFB
EB dt ECB dt ECF dt EFB
dt EMD
dt ECG dt EAG
EA dt ECA dt ECG dt EAG
dt EMD
+
+
= = =


.
á
p dụng công thức tính diện tích tam giác qua 2 cạnh và sin của góc xen giữa,
ta có:
( ) .
( ) .
dt ECF EF EC
FEC DEG EMD
dt EMD ME MD
= =

=
và
( ) .
( ) .
dt ECG EC EG

EB EF EC DE EB ME
dt EMD dt EMD
ME MD DM DE
dt ECG dt EAG EC EG EA EG
EA EG EC DE EA ME
dt EMD dt EMD ME MD DM DE
+
+
+
= = =


.
Mt khác
. .
EC ED EA EB
=
,
trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 35
nên
. .( ) . .
. .( ) . .
EB EF EB EA EM EF EB MA
EA EG EA EB EM EG EA MB

Tích luỹ kinh nghiệm để có thể lựa chọn, vận dụng các thao tác t duy một
cách linh hoạt, hợp lý và khoa học; tránh sai lầm trong vận dụng các thao tác t duy
vào các trờng hợp cụ thể; đây là công cụ, cơ hội để phát triển t duy làm cho t duy
ngày càng phát triển.
3. Kết luận
Việc rèn cho sinh viên có thói quen thờng xuyên biết lựa chọn những kiến
thức cần thiết, những kinh nghiệm phù hợp trong rất nhiều kiến thức và kinh
nghiệm đã tích luỹ đợc, đồng thời biết vận dụng chúng vào giải quyết các vấn đề,
các bài toán cụ thể, là thớc đo về hiệu quả của việc hiểu thấu và nắm vững kiến
thức, của việc thờng xuyên đơc thực hành và vận dụng kiến thức, cũng nh của
việc đúc rút tích luỹ kinh nghiệm trong quá trình học toán. Chính vì vậy, nó có ảnh
hởng rất lớn và trực tiếp trong việc rèn luyện và phát triển t duy toán học cho
sinh viên.

Đỗ Văn Hùng Rèn luyện và phát triển t duy toán học , TR. 28-36 36
Tài liệu tham khảo[1] Jean - Marie Monier, Đại số 1 (Giáo trình toán - Tập 5), NXB GD, Hà Nội, 2000.
[2] Jean - Marie Monier, Hình học (Giáo trình toán - Tập 7), NXB GD, Hà Nội, 2000.
[3] Nguyễn Bá Kim, Phơng pháp dạy học đại cơng môn toán, NXB ĐHSP, Hà
Nội, 2006.
[4] Hoàng Kỳ (chủ biên), Đại số sơ cấp và Thực hành giải toán, NXB ĐHSP, Hà Nội,
2005.