Chuyên đề : DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ
CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ
Phần I: MỞ ĐẦU
Thời gian gần đây,dạng bài tốn mạch dao động điện từ LC thường xuất hiện
trong các đề thi đại học,học sinh giỏi các cấp. Đây là loại bài tập vật lý khó,đòi
hỏi học sinh phải có kĩ năng tổng hợp được kiến thức phần điện học. Khi giải
các bài tốn về mạch dao động điện từ, học sinh thường gặp khó khăn bởi các lý
do sau :
+ Trong chương trình vật lý phổ thơng , thời lượng phân bố cho hệ đơn vị
kiến thức này chỉ trong 1 tiết , vả lại khơng có tiết bài tập để rèn luyện bài tập
loại này .
+ Tài liệu tham khảo viết về chun đề này còn rất hiếm .
+ Để giải được loại bài tập này , học sinh phải nắm vững các đơn vị kiến
thức vật lý11. Thực tế khi học xong chương Dao động điện -Dòng điện xoay
chiều (VL12) , sau đó chuyển tiếp qua chương Dao động điện từ , học sinh
thường rơi vào tâm lý lúng túng khi áp dụng kiến thức về dòng điện một chiều
và dòng điện xoay chiều để giải bài tốn Dao động điện từ.
+ Khi lập hệ hai phương trình vi phân, học sinh khơng tự tìm được
nghiệm bài tốn,đồng thời gặp khó khăn trong việc áp dụng các điều kiện ban
đầu để tìm lời giải cho bài tốn .
Nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy của GV và nghiên cứu của học
sinh trong các kì thi ĐH và HSG các cấp, chúng tơi viết chun đề “Dao động
điện từ” dưới một khía cạnh kinh nghiệm để vận dụng giải các bài tốn về mạch
dao động một cách thống nhất và xun suốt, tạo điều kiện tốt để ba đối tượng
học sinh trung bình, khá- giỏi đều có thể vận dụng được.
Trong chun đề này chúng tơi đưa ra hai chủ đề chính: Chủ đề I là kiểu bài
tốn mạch dao động LC thơng thường nhằm phục vụ luyện thi ĐH và HSG cấp
Tỉnh-Quốc gia. Chủ đề II là kiểu mạch dao động liên kết, đây là loại bài tốn
khó dùng để luyện thi học sinh giỏi quốc gia trở lên.
Trong xu thế hiện nay,với mục đích nâng cao trình độ HSG của đất nước ta lên
ngang tầm cấp khu vực, các giáo sư đầu ngành vật lý đã và đang đưa dạng bài

- Định luật KiếcSốp :
+ Định luật KiếcSốp I:
( ) ( )
∑∑
==
=
m
K
Ra
K
n
i
vao
i
ii
11
+ Định luật KiếcSốp II:
∑∑
==
=
m
K
K
n
i
ii
eRi
11
- Năng lượng điện trường :
C

=const
- Quan hệ giữa các đại lượng đặc trưng của sóng :







ω
π
=
λ
=λ=
2
T
T
fv
II.Phương pháp :
Khi giải bài tốn về mạch dao động,ta cần tn thủ thứ tự theo các bước mang
tính chất ngun tắc sau đây :
1) Ta phải chọn chiều dòng điện trong mạch và chiều tích điện của tụ
điện tại một thời điểm bất kì (thường ta chọn chiều dòng điện chạy
theo chiều thuận của mắt mạng).
2) Xác định được hiệu điện thế hai đầu tụ điện , hai đầu cuộn dây :
Ví dụ: Xét mạch bên :
C
q
u
AB






=
=
22
11
'
'
iL
C
q
iL
C
q
(2)
4)Bằng cách khử dòng điện qua các cuộn dây để đưa về dạng phương
trình vi phân hạng hai,thường phương trình vi phân hạng hai có dạng :
+Nếu đề thi ĐH hoặc HSG quốc gia theo chủ đề I thường là:
( )
ϕ+ω=→=ω+ tsinQq0q"q
0
(3)
+ Nếu đề thi HSG quốc gia trở lên theo chủ đề II có dạng hệ sau :

( )
( )


và
2
q
có
thể là 1 phương trình điều hòa hoặc khơng điều hòa .
5)Từ điều kện ban đầu của bài tốn :
0t =
thì ta có được
)0(');0( qq
hoặc
)0(');0(');0();0(
2121
qqqq
,suy ra được
ϕ;Q
0
trong phương trình (3) được
21
;;B;A ϕϕ
trong phương trình (4). Sau đó dựa vào u cầu bài tốn , ta
có thể luận giải để được lời giải cho phù hợp .
B. ÁP DỤNG
DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ
I.BÀI TỐN THÍ DỤTHEO CHỦ ĐỀ I
Bài 1: (Trích Đề thi chọn HSG quốc gia THPT - năm 2005)
Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ. Hai tụ điện
21
C;C
giống nhau có cùng
điện dungC. Tụ điện

1
C
.
2.Gi
0
T
l chu kỡ dao ng ca mch
1
LC
v
2
q
l in
tớch ca bn t ni vi khúa
2
k
ca t
2
C
. úng khúa
2
k

thi im
01
Tt =
. tỡm biu thc ph thuc thi gian
t
ca cng dũng in chy qua cun dõyL v ca
2

C
q
0
Ti
0t =
:





=
=






=
=




=
=

2
0cos

LC
1
sinCUqq
01
(1)







=







+== t
LC
1
sin
L
C
U
2
t
LC

<<t
gia hai t
21
C;C
phúng in trao i in tớch v t n giỏ tr:
2
CU
2
Q
QQ
00
0201
===
(vỡ
21
C//C
v
21
CC =
)
- Ti
0
Tt >
, dũng in trong mch chy nh hỡng v :
+ Mt mng A(L)B(C
1
)A :
1
1
'Li





=
=+
⇒





=
=++
⇒







=++
=++
'
LC2
T
sinQqq
qq
0


Lúc
( )
0
Tt0T ==
thì :
( )
( )
2
'
0i
2
CU
Qq
01
0
0101
π
=ϕ⇒





=
==
- Vậy




LC
t
L
C
Uii
LC
t
CU
qq
L
Bài2: ( chun đề bồi dưỡng . . .Vũ Thanh Khiết)
Cho mạch dao động như hình vẽ. Tại thời điểm ban đầu khố K mở và tụ điện
có điện tích Q
0
, còn tụ kia khơng tích điện. Hỏi sau khi đóng khố K thì điện
tích các tụ điện và cường độ dòng điện trong mạch biến đổi theo thời gian như
thế nào? Hãy giả định một cơ hệ tương đương như mạch dao động trên. Coi C
1
= C
2
= C và L đã biết; Bỏ qua điện trở thuần của mạch.
HD:
- Xét tại thời điểm t, giả sử dòng điện có chiều và các
tụ tích điện như hình vẽ.
i = - q
1
/
= q
2
/

2
+ Lq
1
//
-
C
Q
0
= 0
⇒
q
1
//
+
LC
Q
LC
q
0
1
2
−
= 0 (4)
Đặt x =
LC
Q
LC
q
0
1

Chuyên đề : DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ
Hay x
//
+
LC
2
x = 0
⇒
x = X
0
.sin(
).
2
ϕ
+t
LC
⇒








+−=−=
++=
).
2
cos(

=
0
)0(
01
i
Qq
⇒








−=
+=
ϕ
ϕ
cos.
2
0
sin.
22
0
0
0
0
X
LC

0
0
0
0
2
cos0
sin.
22
π
ϕ
ϕ
ϕ
Vậy q
1
=
2
0
Q
+
2
0
Q
.sin(
LC
2
.t +
2
π
)


biến dạng.
Bài3: Cho mạch dao động như hình vẽ. Ban đầu tụ C
1
tích điện đến hiệu điện
thế U
0
= 10(V), còn tụ C
2
chưa tích điện, các cuộn dây
khơng có dòng điện chạy qua. Biết L
1
= 10mH; L
2
=
20mH; C
1
= 10nF ; C
2
= 5nF. Sau đó khố K đóng. Hãy
viết biểu thức dòng điện qua mỗi cuộn dây. Bỏ qua điện
trở thuần của mạch.
HD:
- Xét tại thời điểm t, bộ tụ được vẽ lại và dòng điện
qua các cuộn dây có chiều như hình vẽ.










+=
+=+=
)6(
)5(.
21
/
2
/
11
iii
LiL
C
q
b
- 6 -
Chuyeõn ủe : DAO ẹONG ẹIEN Tệỉ
T (6) ta suy ra: i
/
= i
1
/
+ i
2
/


- q

LLCC
LL
+
+
q = 0

q = Q
0
.sin[
2121
21
)(
)(
LLCC
LL
+
+
. t +

]
Ti t = 0




=
=




U
0
.sin [
2121
21
)(
)(
LLCC
LL
+
+
.t +
2

] (7)


i = - C
1
U
0
2121
21
)(
)(
LLCC
LL
+
+
cos[

LL
+
+
.t) (8)
T (5) L
1
i
1
/
= L
2
i
2
/


L
1
i
1
= L
2
i
2
v i
2
=
2
1
L

+
+
++
i
2
=
21
1
LL
L
+
i = C
1
U
0
).
)(
(sin.
))((
2121
21
22121
1
t
LLCC
LL
LCCLL
L
+
+

trong mch u l lớ tng .
a) úng khúa K , tỡm I
max
trong cun dõy
v U
1max
trờn t in C
1
.
b) Kho sỏt s bin thiờn in tớch ca t in khi úng khúa K .
HD:
+ Khi K m : cỏc t C
1
v C
2
cú in tớch :
- 7 -
Chuyeõn ủe : DAO ẹONG ẹIEN Tệỉ

1 2
01 02
1 2
C C
Q Q E
C C
= =
+

- Khi K úng :
Gi s chiu ca cỏc dũng in trong mch v

(5)
T (5)
1 2
' '
1 2 2
2 1
1 2 1 2 1
0 0
q q
i i C
i i
C C C C C
+ = + = =
(6)
T (5)
'
" "
1 1
1 1
0 0
L L
q i
Li Li
C C
+ = + =
(7)
T (6) v (1) suy ra :
2 1
1 1 1
1 1 2

i I Sin t

= +
- Ti t=0 thỡ
0 0
L
i

= =

'
0L L
i I Cos t

=
T (5) suy ra :
EtcosLI
C
q
L0
1
1
=+
- Ti t=0 thỡ
1 01
q Q=
nờn

01 2
0 0

I I
L C C
= =
+
Suy ra :
1
1
1 2
( )
LEC
u E Cos t
L C C

=
+
- 8 -


Chuyeõn ủe : DAO ẹONG ẹIEN Tệỉ

1
1
1 2
1 1 2
1max
1 2 1 2
( )
(2 )
( )
EC

q LC i LC Cos t
L C C
C C
q E Cos t
C C



= =
+
= =
+
=
+
Bi5 : (Trớch thi chn HSG quc gia THPT - nm
2003)
Trong mch in nh hỡnh v, t in cú in dung l
C, hai cun dõy L
1
v L
2
cú t cm ln lt l L
1
=L,
L
2
=2L; in tr ca cỏc cun dõy v dõy ni khụng
ỏng k. thi im t=0 khụng cú dũng qua cun dõy
L
2

i q=
(4)
o hm hai v ca (1) (2) v (3):
" " "
C 1 2
" "
1 2
"
C
1
i =i +i (1)
Li -2Li =0 (2)
iq
Li =+ =- (3)
C C









"
C C
3
i - i
2LC
=

i =I , i =0 i -2i =I (6)⇒
+
1 2 C 0C
i +i =i =I Sin(ωt+ )
ϕ
Giải hệ được :

01
1
0 1
2
'
0
1
2
Sin(ωt+ )
3 3
I
i Sin(ωt+ )-
3 3
2
L C.Cos(ωt+ )
3
C
C
C
AB
I
I
i

3 3 2
I I
i Cos t
LC
= +

1 1
2
3
3 2 3
I I
i Cos t
LC
= −
.II.BÀI TỐN LUYỆN TẬPTHEO CHỦ ĐỀ I
Bài 6: Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ. Hai tụ C
1
, C
2
có điện dung bằng
nhau: C
1
= C
2
= C ; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L; nguồn có suất điện
động E, bỏ qua điện trở dây nối và khố K. Ban đầu khố K ở chốt a, sau đó
đóng sang chốt b.
1) Viết biểu thức điện tích phụ thuộc thời gian trên các
tụ C
1

[cos(
2
4
−=− tt
LC
CE

µ
c
2) i = q
1
/
= -
t
LCLC
CE
.
2
sin)
2
(
2
)

∫
=−=∆
4
0
2)(4
T

;L=54mH, o in ó v trớ a trong mt thi gian
di. Bõy gi nú c gt sang v trớ b.
a) Hóy tớnh tn s ca dũng dao ng.
b) Tớnh biờn ca dao ng dũng in.
ỏp s a) f=0,275kHz
b)I
ma x
=0,364A
Bi9: Bn c a cho mt cun cm L=10mH v hai tC
1
= 5,0
à
F vC
2
= 2,0
à
F. Hóy kờ ra cỏc tn s dao ng cú th cú bng cỏch ni cỏc yu t ú theo
cỏc t hp khỏc nhau.
ỏp s: (LC
1
) 712 Hz; (LC
2
) 1125Hz; (L,C
1
ntC
2
) 1331Hz; (L,C
1
song songC
2

à
F v t ang c np.
a) Hi nng lng tng cng trong mch bng bao nhiờu?
b) Hi in tớch cc i trờn t in?
c) Hi dũng cc i?
d) Nu in tớch trờn t in c cho bi q = Qcos(
+t

) thỡ gúc pha


bng bao nhiờu?
e) Gi s cỏc d kin vn nh vy, tr thi im t = 0 , t ang phúng
in. Khi ú gúc pha

bng bao nhiờu?
ỏp s:a)W=1,98
J
à
b)Q=5,56
C
à
c)I=12,6mA.
d)
0
9,46=
e)
0
9,46=
Bi12: Mt mch ni tip gm cun cm L

F mới đầu được nạp
đến 100V và tụ điện C
2
=100
µ
F khơng có điện tích.
Hãy mơ tả chi tiết làm thế nào để nạp tụ điện C
2
đến
300V nhờ các khố S
1
và S
2
.Biết L=10H.
Bài14: (Trích đề thi chọn HSG QG năm 1992 – 1993)
Một mạch dao động gồm 1 tụ điện và 1 cuộn dây thuần cảm. Mạch được nối
qua khố K với một bộ pin có suất điện động (E,r)(HV). K đóng và dòng điện
đã ổn định thì người ta mở khố K, trong mạch LC có dao động điện với chu kỳ
T. Biết rằng hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ lớn gấp n lần suất điện động
bộ pin. Hãy tính theo T và n điện dung C của tụ và độ tự cảm L của cuộn
dây.
HD:Đối với bài này mạch LC đã dao động điều
hồ nên chỉ cần áp dụng định luật bảo tồn năng
lượng: C =
rn
T
π
2
và L =
π

L
C
.

max1
)(u
=
0
3
4
U
.
2) q
1
= CU
0
-
t
LC
U
C 1
cos
3
0
q
2
=q
3
=
t

= L .Tại thời
điểm khi điện tích của tụ là Q và cường độ dòng điện qua cuộn dây là I thì
người ta mắc thêm cuộn dây thuần cảm L
2
= 2L song song với cuộn L
1
.
a) Tìm qui luật biến thiên điện tích của tụ.
b) Khi q
max
thì dòng điện qua hai cuộn cảm có chiều như thế nào và có giá
trị bằng bao nhiêu ?
DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ LIÊN KẾT
I.BÀI TỐN THÍ DỤTHEO CHỦ ĐỀ II
- 13 -
Chuyeõn ủe : DAO ẹONG ẹIEN Tệỉ
Bi 1:
Hai t in cú in dung
CC;C2C
21
==
, ban u mi cỏi c tớch in n
hiu in th
0
U
, sau ú ghộp ni tip vi nhau , bn õm t
1
C
c ni vi bn
dng t








=
===
==
==
C
q
u
C2
q
'Lieu
'Li2eu
'qi;'qi
2
MB
1
11AM
22AB
2213
- Xột mt mng :
A(L
1
)M(C
1

1
v q
2
:

( )
( ) ( )















+=








=++
=+
212
121
1212
2121
21
2
21
1
21
2
1
21
2
sin.2
sin.
02
4
1
'"2
0
1
""
0
24
"
0
24
3

q
LC
q
LC
q
q
LC
q
qq
- Gi thit cho :
0t
=
thỡ
0)0(';0)0(';)0(;2)0(
210201
==== qqCUqCUq
.Thay tt
c iu kin ban u vo (4) ta c:
10
sin.3

ACU =
(a)
- 14 -
(4)
Chuyên đề : DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ


thay vào (4) ta
được :
















+=








+=
2
sin

2
'
''
01
1
21231
=⇒−=−−−=−=
b)Vậy khi
LC
24
T
t
π
==
thì dòng
21
i;i
cực đại.
Bài 2: (Trích Đề dự bị thi Olympic VL Châu Á 2004)
Cho một mạch điện gồm 2 tụ điện, mỗi tụ có điện
dung C, nối với 3 cuộn cảm, một cuộn có độ tự
cảm L
0
, còn hai cuộn kia mỗi cuộn có độ tự cảm L
(Hình vẽ bên ).
Ban đầu trong các đoạn mạch đều khơng có dòng
điện và các tụ tích điện như sau: bản A
1
mang điện
tích Q

thức i
1
, i
2
khi đó.
3. Với giá trị của Q
2
như thế nào để ta ln có i
1
= i
2
= i
3
/2 .
Bài giải:
- Gọi q
1
, q
2
là điện tích lần lượt trên các bản A
1
và B
2
và dòng điện có chiều
như hình vẽ tại thời điểm t:
i
1
= - q
1
/

3
/
= 0 (4)
(MB
2
NM) :
C
q
2
- Li
2
/
- L
0
i
3
/
= 0 (5)
+ Ly (4) tr (5) : (q
1
q
2
)
C
1
+ L (i
2
/
- i
1

LC
) (6)
+ Ly (4) cng (5) : (q
1
+ q
2
)
C
1
- L(i
1
/
+ i
2
/
) 2L
0
i
3
/
= 0
Thay (1), (2) v (3) vo ta c: (q
1
+ q
2
)
C
1
+ L(q
1

2
) = 0


q
1
+ q
2
= B.Sin(
2
0
.
)2(
1

+
+
t
CLL
) (7)
T (6) v (7)

- i
1
+ i
2
=
1
.
1

LC
t
+
1

) +
2
B
Sin(
)2(
0
LLC
t
+
+
2

) (10)
q
2
= -
2
A
.Sin(
LC
t
+
1

) +

+
cos(
)2(
0
LLC
t
+
+
2

) (12)
i
2
=
LC
A
2
cos(
LC
t
+
1

) -
)2(2
0
LLC
B
+
cos(

i
Qq
Qq
Thay vo (10), (11), (12), (13) ta c:
- 16 -
Chuyeõn ủe : DAO ẹONG ẹIEN Tệỉ











+
=
+
=
+=
+=
)(cos
)2(2
_cos
2
0
)(cos
)2(2

aSin
B
Sin
A
Q




T (a), (b) v (c), (d) ta cú h:









+
=
=
+
=
=
)(cos
)2(
0
)(sin0
)(cos.

2
2


=
v B = 2Q
T (c
/
) v (d
/
) ta c A = 0
Thay kt qu trờn vo (12) v (13):
i
1
= i
2
= -
2
)2(
cos(.
)2(
00

+
++ LLC
t
LLC
Q
)
i


+
++ LLC
t
LLC
B
) = 0
Mun vy B = 0














+=
+=
+=
+=
)sin(
2
)sin(
2

Chuyeõn ủe : DAO ẹONG ẹIEN Tệỉ







=
=
=
=
0)0(
0)0(
)0(
)0(
2
1
2
1
i
i
Qq
Qq







LC
A
Sin
A
Q
Sin
A
Q


Q
1
= - Q
2

2
1


=
Vi Q
1
= Q

Q
2
= - Q

A = 2Q
1

i
b) i
1
= i
2
=
2
3
i
thỡ :
-
LC
A
2
cos(
LC
t
+
1

)-
2
B
cos(
)2(
0
LLC
t
+
+

1
= i
2
= -
2
B
cos(
)2(
0
LLC
t
+
+
2

)
Ap dng iu kin ban u :







=
=
=
=
0)0(
0)0(

cos
)2(2
0
sin.
2
sin.
2



LLC
B
B
Q
B
Q
2

=
2

v Q
1
= Q
2
; B = 2Q
1

1. Kí hiệu q
1
, q
2
, q
3
lần lượt là điện tích của bản A
1
, A
2
, A
3
của tụ điện; i
1
, i
2
, i
3
lần lượt là cường độ dòng điện đi từ các bản A
1
, A
2
, A
3
của tụ điện tới A (chiều
dương được chọn là chiều của mũi tên trên hình vẽ).
a) Viết phương trình cho mối quan hệ giữa cường độ dòng điện i
k
. (k = 1, 2, 3. .
.)

1)a. Theo hình vẽ ta có: i
1
= -
dt
dq
1
(1) ; i
2
= -
dt
dq
2
(2) ; i
3
= -
dt
dq
3
(3)
b. Ta có:
u
AB
= V
A
– V
B
=
C
q
1

→
i
2
= - i
1
– i
3
(7)
(4) và (5) cho ta :
C
q
1
- Li
1
/
=
C
q
2
(8)
(5) và (6) cho ta :
C
q
3
- Li
3
/
=
C
q

q
2
+
C
K
Lấy đạo hàm theo thời gian hai vế của phương trình này ta được phương trình
vi phân :
Li
2
//
= -
C
i
2
3
- 19 -
Chuyên đề : DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ

→
i
2
//
+
LC
3
i
2
= 0 (10)
Chứng tỏ i
2

3
(14) ta có : i
4
= -
dt
iid )(
31
−
Lấy đạo hàm (13) theo thời gian ta được phương trình (vi phân) :
Li
4
//
+
C
i
4
= 0
→
i
4
//
+
LC
1
i
4
= 0 (15)
Rút ra: i
4
= A.cos(

ϕω
+t
) (18)
i
3
= - ½ (i
2
+ i
4
) = -
2
A
cos(
11
ϕω
+t
) -
2
B
cos(
22
ϕω
+t
) (19)
với
LC
1
1
=
ω

2
= -2q
1
= - 2q
3
, khi đó có sự đối xứng giữa hai đoạn mạch có cuộn cảm.
+ Trường hợp đặc biệt thứ hai: i
1
(t) = - i
3
(t).
Trong trường hợp này i
2
(t) = 0. Như vậy đoạn mạch khơng chứa cuộn cảm
khơng tham gia vào dao động điện. Và khi đó, có thể coi cả hệ như một
mạch kín AA
3
BA
1
A (mạch này gồm 2 cuộn cảm nối tiếp 2C và hai tụ nối
tiếp với điện dung tương đương bằng C/2), mạch này có dao động điện với
tần số góc
LC
1
1
=
ω
, và ln ln có q
1
= - q

==
, hai cuộn
dây thuần cảm có độ tự cảm
L2L;LL
21
==
,một
nguồn điện(E,r) và hai khố K
1
,K
2
mắcphối hợp như
hình vẽ. Ban đầu khố K
2
đóngvà K
1
mở. Cùng một
lúc người ta đóng K
1
và và mở khố K
2
.
a)Tìm tần số dao động của mạch.
b)Viết biểu thức dòng điện qua mỗi cuộn cảm và biểu
thức điện tích trên mỗi tụ.
- 21 -
Chuyên đề : DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ
Phần III: KẾT LUẬN
Với kinh nghiệm đã trình bày trong chun đề này, chúng ta có thể áp dụng
kiến thức về dòng điện một cách thành thạo để giải một bài tốn về mạch dao

7. Tạp chí vật lý và tuổi trẻ .
8. Một số tài liệu chun mơn khác.
- 23 -
Chuyeõn ủe : DAO ẹONG ẹIEN Tệỉ
MC LC
- 24 -