108

Phụ lục 3: Phương pháp bình phương nhỏ nhất
trong phân tích hồi quy
1. Mô hình tuyến tính
Mô hình hồi quy tuyến tính có dạng:
baxxfy
+
== )(
.
Theo phương pháp bình phương nhỏ nhất, các hệ số hồi quy
a và b
trong phương trình trên được tìm sao cho tổng bình phương sai số bằng
∑
=
−−=
n
k
kk
baxyE
1
2
)(

cực tiểu. Lần lượt lấy đạo hàm biểu thức này theo
a , b và cho bằng
không, ta được hệ phương trình sau đây để xác định
a và b :
∑∑∑
===

==
===
−
−
=
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
k
n
k
k
xnx
yxnyx
a
1
22
1
111
)(

(20)

1
11
2
11
)(

, (21)
hay hệ số
b còn có thể tính theo công thức:
n
xay
b
n
k
k
n
k
k
∑∑
==
−
=
11

. (22)
2. Mô hình đa thức
Phương pháp bình phương nhỏ nhất cũng có thể áp dụng để tính các
hệ số hồi quy đa thức dạng
m
n

====
===
n
k
kk
n
k
n
k
kk
n
k
k
n
k
kk
n
k
n
k
kk
n
k
k
n
k
k
n
k
k


(23)
Về nguyên tắc ta có thể sử dụng phương pháp này để tìm phương
trình đa thức bậc bất kỳ. Tuy nhiên trong thực tế phương pháp trở thành
không ổn định khi bậc đa thức lớn hơn vì các sai số làm tròn số trong máy
tính.
3. Mô hình phi tuyến
Phương pháp bình phương nhỏ nhất có thể áp dụng cho hàm bất kỳ,
nhưng hệ các phương trình để tìm các hệ số có thể phi tuyến, và do đó
không thể giải được bằng cách sử dụng các phương trình tuyến tính. Tuy
nhiên, trong một số trường hợp, một hàm phi tuyến có thể chuyển thành
một hàm tuyến tính. Thí dụ về một hàm có thể tuyến tính hoá là
a
xbxf )( = (24)
Nếu lấy loga hai vế của phương trình này, ta có
bxaxf lnln)(ln
+
= . (25)
Nếu ký hiệu
)(ln)( xfxg =
(26)
bb ln
~
=
(27)
xx ln
~
=
(28)
yy ln

kk
n
k
k
n
k
k
xnx
yxnyx
a
1
22
1
111
~
)
~
(
~~

~

~
(31)
∑∑
∑∑∑∑
==
====
−
−

~
(
~

~

~~

~
~
(32)
Vậy công việc tính toán gồm: chuyển đổi các giá trị số liệu
k
x và
k
y
theo các công thức (28), (29), tính các tổng, kết quả thế vào các phương
trình (31), (32) để tìm
a và b
~
. Giải phương trình (27) đối với b và đặt vào
phương trình (24).
mm
xaxaxaay
1
2
22110
min
δ

Lần lượt lấy đạo hàm biểu thức trên theo
m
aaaa , , , ,
210
và cho các
đạo hàm bằng không, ta có hệ
1+m phương trình để xác định các hệ số
a

[
][]
[
]
[
]
[] [ ] [ ] [ ] [ ]
[] [ ] [ ] [ ] [ ]
[] [ ] [ ] [ ] [ ]
mmmmmmm
mm
mm
mm

110

1

2

21

10
(33)
Hệ phương trình này gọi là hệ phương trình chính tắc để xác định các
hệ số hồi quy. Dưới dạng ma trận ta viết hệ này như sau:
[
]
[
]
[
]
[] [ ] [ ] [ ]
[] [ ] [ ] [ ]
[] [ ][ ] [ ]
⎟
⎟
⎟

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
mmmmmmm
m
m
m
b
b
b
b
a
a
a
a
xxxxxxx
xxxxxxx


Để tìm các hệ số hồi quy
m
aaaa , ,,,
210
ta phải giải hệ phương
trình chính tắc theo phương pháp loại biến Gauss hoặc phương pháp căn
bậc hai đã mô tả trong phụ lục 2 vì ma trận hệ số của các phương trình
chính tắc là ma trận đối xứng. Dưới đây dẫn hai thủ tục hỗ trợ cho việc lập
hệ phương trình đại số tuyến tính chuẩn tắc (34) − SUBROUTINE
LHPTCT và giải hệ phương trình đó bằng phươ
ng pháp loại biến Gauss −
SUBROUTINE GAUSS.

SUBROUTINE LHPTCT (Y, X, A, N, M)
INTEGER N, M, I, J, K
REAL Y (10000), X (10000, 50), A (0 : 50, 0 : 51)
A (0, 0) = N
DO J = 1, M
A (0, J) = 0.0
DO K = 1, N
A (0, J) = A (0, J) + X (K, J)
END DO
END DO
A (0, M + 1) = 0.0
DO K = 1, N
A (0, M + 1) = A (0, M + 1) + Y (K)
END DO

111

DO J = I + 1, M
R = ABS (A (J, I))
IF (AMAX .LT. R) THEN
AMAX = R
K = J
END IF
END DO
IF (K .NE. I) THEN
DO J = I, M + 1
AMAX = A (I, J)
A (I, J) =A (K, J)
A (K, J) = AMAX
END DO
END IF
DO J = I + 1, M + 1
A (I, J) = A (I, J) / A (I, I)
END DO
DO J = I + 1, M
DO K = I + 1, M + 1
A (J, K) = A (J, K) - A (J, I) * A (I, K)
END DO
END DO
END DO
X (M) = A (M, M + 1) / A (M, M)
DO I = M - 1, 0, -1
X (I) = A (I, M + 1)
DO J = I + 1, M
X (I) = X (I) - A (I, J) * X (J)
END DO
END DO