Giới hạn dãy số sinh bởi các trung bình
Ta sẽ khảo sát sự hội tụ của các dãy số trung bình cơ bản với định lí Toeplitz là cơ sở:
Định lý Toeplitz giả sử bộ số
nk
P
(
1;k n=
; n= 1,2,…) thỏa mãn các điều kiện sau:
(1)
0
nk
P ≥
(2)
1
1
n
nk
k
P
=
=
∑
(3)
lim 0
nk
n
P
→∞
=
Giả thiết rằng
lim

n
n
x a
→∞
=
nên
n∃
sao cho
2
n
x a
ε
− <
n N∀ >
và
0M∃ >
sao cho
;
n n
x M x a M n≤ − ≤ ∀
Từ (3) ta có
o
n N∃ >
sao cho
( )
0
1;
2
nk
P k n n n

P x a P x a P x a= − + − + + −
1 2 2
... ...
n n nN n nn n
P P x a P x a P x a= + − + + − + + −
( )
1
. ...
2 2 2 2
nN nn
MN P P
NM
ε ε ε ε
ε
+
≤ + + + < + =
0
n n∀ >
1
.
n
nk k
k
P x a
ε
=
⇒ − <
∑
0
n n∀ >

1, 2,...n =
cũng hội tụ và
lim lim
n n
n n
x
ε
→∞ →∞
=
Giải: Đặt
1
nk
P
n
=
*
( )n N∈
thì
nk
P
và
n
x
thoả mãn các điều kiện của định lí Toeplitz. Trong đó:
1
.
n
n nk k n
k
t P x

y y y
γ
=
+ + +
( )
*
n N∈
Cũng hội tụ và:
lim lim
n n
n n
y
γ
→∞ →∞
=
Giải;
Đặt
1 2
1
1 1 1
...
k
nk
n
y
P
y y y
=
+ + +
( )

n n
x x x x
→∞ →∞
=
Giải: Ta có
1 2
1 2
...
...
n
n
n n
x x x
x x x
n
ε
+ + +
≤ =
(1)
Có
1 2
1 2
1 1 1 1
... .
...
n
n
n
n
x x x

γ ε
→∞ →∞ →∞
= =
( bài 1 và bài 2)
1 2
lim ... lim
n
n n
n n
x x x x
→∞ →∞
⇒ =
4) Cho các dãy
{ }
1
u
và
{ }
1
v
được xác định như sau:
1 1
, .u a v b= =
1 1 1
;
2 2
n n n n
n n
u v u v
u v

 ÷
 
Giải: Ta có
1
2
n n n
v u v
−
= +
1 1 1 1
4 2 2 2
n n n n n n
v u v u v v
− − − −
⇒ = + = + +

1 1 1 1 2
4 3 3 2
n n n n n n
v v u v v v
− − − − −
= + = + −
( vì
2 2
1
2
n n
n
u v
u

=


Do đó
n
v
có dạng
( ) ( )
1 2
n n
n
v x y
λ λ
= +

1
.
4
n
n
v x y= +
Ta có
1 1
2 2
3
2
2 2 2 4
a b
b
u v a b a b

 
+
 
+ =
= −




( )
( )
1
2 1 4
.
3 4 3
2 1
1
3 2.4
n
n
n
a b
v b a
a b a
−
+
⇒ = + −
 
= + − +
 ÷

u a b a
a b a
− −
−
 
= + − + − −
 ÷
 
 
= + − −
 ÷
 
( )
2 2
lim lim
3 3
n n
n n
a b
u v a b a
→∞ →∞
+
⇒ = = + − =
Ta có mệnh đề sau: các dãy
{ }
n
u
và
{ }
n

u
và
{ }
n
v
được xác định như sau:
1 1
0, 0u a v b= > = >
1 1 1
;
2 2
n n n n
n n
u v u v
u v
− − −
+ +
= =
2n
∀ ≥
CMR:
lim lim
n n
n n
u v ab
→∞ →∞
= =
Giải: Khi n > 2 ta có:
1 1
1 1

− − − −
− −
− −
+
⇒ = =
+
1 1 1 1
...
n n n n
v u u v u v ab
− −
⇒ = = = =
n
∀