7
CHƯƠNG 12: HÌNH HỌC KHỐI LƯỢNG
I. KHỐI TÂM CỦA CƠ HỆ.
Xét hệ chất điểm
1
M
,
2
M
, ,
n
M
có khối lượng tương ứng là
1
m
,
2
m
, ,
n
m
, có các
vectơ định vị tương ứng là
1
r
r
,
2
r
r

C
KK
C
mx
x
M
my
y
M
mz
z
M

=




=



=



∑
∑
∑
(12.2)

hướng, được xác định theo công thức:
2
zKK
Jm.d
=
∑
. (12.3)
Trong công thức trên
K
m
là khối lượng chất điểm
K
M
,
K
d
là khoảng cách từ chất điểm
K
M
đến trục z.
Gọi
K
x
,
K
y
,
K
z
là tọa độ chất điểm

đại lượng vô
hướng, được xác định theo công thức:
2
OKK
Jm.r
=
∑
. (12.5)
O
X
Y
Z
1
M

2
M

n
M

C
1
r
r

2
r
r


là khối lượng chất điểm
K
M
,
K
r
là khoảng cách từ chất
điểm
K
M
đến điểm O.
3. Mối liên hệ giữa mômen quán tính của vật đối với điểm và
trục.
Ta có
2222222
xyzKKKKKKKKKKO
JJJm.(2x2y2z)2m.(xyz)2m.r2J
++=++=++==
∑∑∑
.
Hay là:
()
Oxyz
1
JJJJ
2
=++
(12.6)
III. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT ĐỒNG CHẤT.
1. Đối với thanh mỏng đồng chất.

2
Ay
0
.lM.l
J.xdx
33
γ
=γ==
∫
(12.7)
2. Đối với vòng tròn, vỏ trụ tròn đồng chất.
Xét vòng tròn hoặc vỏ trụ tròn đồng chất có khối lượng M
và bán kính R. Chia vòng tròn hoặc vỏ trụ tròn làm nhiều phần tử
nhỏ. Xét phần tử thứ K có khối lượng của nó là
K
m
.
Mômen quán tính của vòng tròn hoặc vỏ trụ tròn với trục
z qua tâm và vuông góc với mặt phẳng của nó là:
22
zK
Jm.RM.R
==
∑
(12.8)
Chú ý
()
Ozxyz
1
JJJJJ

là khối
lượng một đơn vị diện tích tấm.
Mômen quán tính của tấm tròn hoặc khối trụ tròn với trục z
qua tâm và vuông góc với mặt phẳng của nó là:
23
zkkKKk
J.2.r.r.r2.r.r
=γπ∆=πγ∆
∑∑
(12.10)
Chuyển tổng này qua giới hạn ta nhận được:
R
42
3
z
0
RM.R
J2.r.dr2.
42
=πγ=πγ=
∫
(12.11)
k
X

k
X
∆

A

(12.12)
4. Đối với khối cầu đồng chất.
Xét khối cầu đồng chất có khối lượng M và bán
kính R. Chia khối cầu làm nhiều tấm tròn mỏng song song
với mặt phẳng Oxy. Xét tấm tròn thứ K có bán kính
K
r
, bề
dày tấm tròn
K
z
∆
. Khối lượng của tấm tròn là
2
kKk
m r.z
=γπ∆
, với
3
M3.M
V4.R
γ==
π
là khối lượng một
đơn vị thể tích.
Mômen quán tính của tấm tròn với trục z là:
222
KKKkK
z
m.r r.z.r

zK
R
182
J Rz.dz RMR
2155
−
=γπ−=γπ=
∫

(12.13)
Vì tính đối xứng nên ta có :
2
xyz
2
JJJMR
5
=== .
Mặc khác
()
Oxyz
1
JJJJ
2
=++ nên
22
O
323
JMRMR
255


Jm.r
=
∑
;
2
zCKK
Jm.r
=
∑
.
Xét tam giác ABM
K
ta có:
222
1KKK
rrd2.d.r.c
os
=+−α
mà
KK
r.cx
os
α=

⇒
222
1KKK
rrd2.d.x
=+− thay vào ta có:
(


Y

X

Z

1
Z

A

B

k
M

k
r
r

1k
r
r

α

d
k
x

,,
αβγ
có biểu thức xác định là:
xyzxyyzzx
JJcJcJc2.Jc.c2.Jc.c2.Jc.c
222
ososososososososos
∆
=α+β+γ−αβ−βγ−γα

(12.16)
Trong đó
22
xKKK
22
yKKK
22
zKKK
Jm.(yz)
Jm.(xz)
Jm.(xy)

=+

=+


=+

∑

TrụcOz được gọi là trục quán tính chính tại O nếu thỏa mãn điều kiện:
zxzy
JJ0
==
(12.17)
TrụcOz được gọi là trục quán tính chính trung tâm nếu nó là trục quán tính chính và
đi qua khối tâm của vật rắn.
Mômen quán tính của vật đối với trục quán tính chính được gọi là mômen quán tính
chính, và đối với trục quán tính chính trung tâm được gọi là mômen quán tính chính trung
tâm.
Chú ý: Người ta đã chứng minh được rằng : Tại mỗi điểm của vật có ba trục quán
tính chính vuông góc với nhau.
2. Các định lý.
a, Định lý 1: Trục quán tính chính của vật rắn tại điểm O, không đi qua khối tâm của
vật thì nó chỉ là trục quán tính chính của vật tại điểm O.
Chứng minh: Giả sử Oz là trục quán tính chính
của vật tại O. Ta sẽ chứng minh nó không phải là trục
quán tính chính của vật tại điểm O
1
nào đó. Ta lấy O
1

trên Oz và cách O là d. Gắn vào O, O
1
các hệ trục tọa
độ như hình vẽ. Vì Oz là trục quán tính chính của vật
rắn tại O nên
zxzy
JJ0
==

k
M

k
x

k
y

k
y
′

k
x
′11
Vì Oz không đi qua khối tâm C nên
C
x0
≠
, vậy
zx
J0
′′
≠
. Rõ ràng trục Oz không
phải là trục quán tính chính của vật rắn tại O

, có tọa độ
(
)
KKK
x,y,z
thì tương ứng
sẽ có phần tử
K
M
′
đối xứng với
K
M
qua trục z.
K
M
′
có khối lượng
K
m
, có tọa độ
(
)
KKK
x,y,z
−− .Ta có :
(
)
()
yzKKKKKKKKKKKK

K
M
′
đối xứng với
K
M
qua mặt phẳng Oxy.
K
M
′
có khối lượng
K
m
, có tọa độ
(
)
KKK
x,y,z
− .Ta có :
(
)
()
yzKKKKKKKKKKKK
zxKKKKKKKKKKKK
Jm.y.zm.y.zm.y.zm.y.z0
Jm.z.xm.z.xm.z.xm.z.x0

=+−=−=

