Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao tuyóỳn cuớa hai mỷt

Bi 12
GIAO TUYN CA HAI MT

I. KHI NIM
Giao tuyn ca hai mt l tp hp cỏc im chung ca hai mt dú

Dng ca giao tuyn :
_ Giao tuyn ca hai a din thng l mt hay nhiu ng gp khỳc kớn trong khụng gian -
tp hp cỏc on thng v cỏc im góy thuc cỏc mt v cỏc cnh ca a din
_ Giao tuyn ca a din vi mt cong i s bc n thng l mt hay nhiu ng gp khỳc
kớn trong khụng gian, tp hp cỏc cung ng cong phng i s bc
n v cỏc im góy
thuc cỏc mt v cỏc cnh ca a din
_ Giao tuyn ca mt cong i s bc m v mt cong i s bc n thng l ng cong
ghnh i s bc
m x n

II. TRNG HP BIT MT HèNH CHIU CA GIAO TUYN
Nu mt trong hai mt ó cho l lng tr chiu hoc tr chiu, thỡ:
_ Ta bit c mt hỡnh chiu ca giao tuyn thuc hỡnh chiu suy bin ca lng tr chiu hoc
tr chiu ú
_ v hỡnh chiu cũn li ca cỏc giao tuyn ta ỏp dng bi toỏn im, ng thuc mt cũn
li

Vớ d 1
Hóy v giao tuyn ca lng tr (abc) chiu bng vi lng tr xiờn (mnp); (Hỡnh 12.1a)

Gii
_ Vỡ lng tr (abc) P


Hỡnh 12.1a Hỡnh 12.1b
+
-
+
-++
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
2
3
2
6
2
4
2
2
2
1
1
2
1

2
b
2
a
2
1
2
p
2
n
2
m
2
p
2
a
2
c
2
b
2
a
2


Cỏc im góy: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; (Hỡnh 12.1a); trong ú:
+ m lng tr (abc) = im 1 mp(a, b) v im 5 mp(b, c)
+ n lng tr (abc) = im 2 mp(a, b) v im 4 mp(b, c)
+ b lng tr (m n p) = im 3 mp(n, p) v im 6 mp(m, p)
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK

_ Ghi tờn cỏc im va tỡm c dỳng nh v trớ trờn hỡnh chiu
_ Ni hai im cựng mt ụ
ắ Xột thy (+), khut (-) trờn tng hỡnh chiu ta thờm ch s
hỡnh chiu ú.

ắ
on no thuc hai mt phng thy thỡ thy trờn hỡnh
chiu ú (Hỡnh 12.1b) Vớ d 2
V giao ca mt cu tõm O vi lng tr (abc) chiu ng
(Hỡnh 12.2)
Gii
ắ
Hỡnh chiu ng ca giao tuyn l ng gp khỳc
4
2
2
2
1
2
7
2
thuc tam giỏc a
2
b
2
c
2

1
6
1
= I
1
6
1
=
I
2
7
2
)
_ 5
1
, 5
1
l cỏc tip im ca hỡnh chiu bng ca giao
tuyn vi ng trũn bao hỡnh chiu bng ca cu, chỳng
cng l cỏc im ranh gii thy khut hỡnh chiu bng
ca giao.
c
2
I
1
2
1
3
1
2

2
5
2
5
2
4
2
3
2
3
2
1
2

a
2
O
1
O
2
2
2
2
2
b
2
Hỡnh 12.2
ắ Hỡnh chiu bng ca giao tuyn l hai ng kớn: Elớp tõm I
1
v ng kớn 1

GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
73
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao tuyóỳn cuớa hai mỷt

ắ
Vỡ tr chiu bng nờn ta bit c hỡnh chiu
bng ca giao tuyn l cung trũn
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
thuc ng trũn hỡnh chiu
bng ca tr
ắ v hỡnh chiu ng ca giao tuyn ta gn cỏc
cung thuc cỏc mt ca a din:
_ mp(ABC) tr = cung trũn1D8, cú hỡnh chiu
ng l on thng ngang D
2

3
2
D
2
5
2
6
2
8
2
7
2
B
1
C
2
A
2
B
2
A
1
S
1
1
1
2
1
3
1

_
Vy hỡnh chiu ng ca giao tuyn l ng
kớn 1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
D
2
1
2
S
2
t
1

1
(C
1

1
5
1
4
1
5
2
5
2
2
2

1
2
_ Xột thy khut nh hỡnh 12.3 vi chỳ ý nhng
im thuc na trc tr thỡ thy hỡnh chiu
ng: 1
2
2
2
3
2
4
2
thy, cỏc cung cũn li khut
hỡnh chiu ng

Vớ d 4
V giao ca mt nún trũn xoay nh S vi mt tr chiu ng
(Hỡnh 12.4)

tuyn vi ng sinh bao hỡnh chiu bng ca tr, chỳng
cng l cỏc im ranh gii thy khut hỡnh chiu bng
ca giao.

Hỡnh 12.4
-
Hỡnh chiu bng ca giao tuyn l ng cong phng bc bn khộp kớn: 1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
i xng qua ng thng
1

 Ví dụ
Hãy vẽ giao tuyến của mặt nón với mặt trụ bậc hai có chung đường chuẩn (C); (Hình 12.5) - mặt
phẳng đối xứng chung song song P
2

Giải
Hai mặt nón và trụ có chung nhau đường chuẩn (C), nên theo
định lý 1 chúng còn giao nhau theo một đường cong bậc hai
nữa. Vì mặt phẳng (β) đối xứng chung của hai mặt nón và trụ
song songP
2
nên mp (β) sẽ cắt hai mặt đó theo các đường sinh
mà ở hình chiếu đứng là các đường sinh biên, các đường sinh
này sẽ giao nhau tại các điểm thuộc giao tuyến; hơn nữa mp
(β) song songP
2
nên hình chiếu đứng của các đường cong bậc
hai giao tuyến suy biến thành các đoạn thẳng đi qua các giao
điểm của các đường sinh biên nói trên. Vì mặt trụ chỉ giới
hạn tới đường chuẩn (C) nên đường cong bậc hai giao tuyến
thứ hai chỉ là cung elip123; (Hình 12.5)Hình 12.5
β
1
(C
2
)
(C

(Hình 12.6). Hãy vẽ hướng các mặt
phẳng cắt mặt nón cho giao tuyến lá elip có hình chiếu bằng là đường tròn

Giải
-
Vẽ mặt trụ tròn xoay chiếu bằng có hình chiếu bằng là đường tròn tiếp xúc với hai đường
sinh bao của nón tại hai điểm T
1
và T’
1

-
Dễ thấy hai mặt nón và trụ tiếp xúc nhau tại hai điểm T,T’ nên theo định lý 2; hai mặt nón và
trụ giao nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm T, T’.
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
75
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao tuyóỳn cuớa hai mỷt
-
Vỡ mt phng i xng chung ca nún v tr song song P
2
nờn hỡnh chiu ng ca hai
ng cong bc hai giao tuyn s suy bin thnh hai on thng1
2
2
2
v 3
2
4
2
i qua T

2
2
1
2
S
2
T
1
T
1
Hỡnh 12.6
S
1
Ngi ta ng dng hng thit din Monj xỏc nh
ỏy ca mt nún, mt tr cú mt hỡnh chiu l ng
trũn; khi nún, tr ú cú mt phng i xng song song
mt mt phng hỡnh chiu 2) Hng thit din trũn
Hng thit din trũn l hng mt phng, ct mt bc hai cho giao tuyn l ng trũn

Vớ d
Cho mt nún bc hai cú ng chun l elip c xỏc nh bng cp trc AB, CD; (Hỡnh 12.7).
Hóy v hng cỏc mt phng ct mt nún cho giao tuyn l ng trũn

Gii

4
3
chớnh l cỏc hng mt phng ct nún cho giao tuyn
l ng trũn
Hỡnh 12.7
y
y
z
2
3
4
3
1
3
D
3
T
3

A
3
B
3
3
3
S
1
A
1
x
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
76
Baìi giaíng HÇNH HOAû Giao tuyãún cuía hai màût
¾ Định lý 3
Nếu hai mặt bậc hai cùng nội tiếp hay ngoại tiếp với một mặt bậc hai khác thì chúng sẽ giao
nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai giao điểm của hai đường tiếp xúc

 Ví dụ
Hãy vẽ giao tuyến của hai mặt tròn xoay nón và trụ cùng ngoại tiếp
cầu, có mặt phẳng đối xứng chung song song P
2
; (Hình 12.8) Giải
_ Gọi (v), (ω) là lần lượt là hai đường tròn tiếp xúc

2
4
2
đi qua T
2
≡T
2
’
_ 5
1
, 5’
1
, 6
1
, 6’
1
là các tiếp điểm của hình chiếu bằng
của giao tuyến với hai đường sinh bao hình chiếu
bằng của trụ và đồng thời cũng là các điểm ranh giới
thấy khuất ở hình chiếu bằng của giao
_ Hình chiếu bằng của giao tuyến là hai Elip lần lượt
nhận cặp 1
1
2
1
, 5
1
5’
1
và 3

6
1
5
1
3
1
2
1
3
2
2
2
1
2
S
2
4
2
(
v
2
)
(
ω
2
)
(C
2
)
(C

Giải
_
Vì trụ ⊥ P
1
nên ta biết được hình chiếu bằng của giao tuyến là cung tròn: 1
1
3
1
5
1
thuộc đường
tròn hình chiếu bằng suy biến của trụ
_ Giao tuyến là đường gấp khúc kín gồm tập hợp các điểm gãy và các cung elip thuộc các cạnh
và các mặt của đa diện, được xác định như sau:
+ mp(a,b) ∩ trụ = Cung elip 12345, có hình chiếu đứng là cung elip 1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
; trong đó 2
2
, 4
2
là các tiếp điểm của hình chiếu đứng của giao với hai đường sinh biên ở hình chiếu đứng của
trụ, đồng thời cũng là hai điểm ranh giới thấy khuất ở hình chiếu đứng của giao tuyến

là các tiếp điểm của hình chiếu đứng của giao với hai đường sinh bao hình chiếu
đứng của trụ
+ mp(b,c) ∩ trụ = Cung elip 789, có hình chiếu đứng là cung elip 7
2
8
2
9
2
thấy ở hình chiếu
đứng
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
77
Baìi giaíng HÇNH HOAû Giao tuyãún cuía hai màût
_ Hình chiếu đứng của giao tuyến là đường kín 1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9

2
)
(C
1
)
b
1
a
1
S
1
S
2
5
2
4
2
≡ 4’
2
3
1
5
1
4
1
4’
1
2
1
1

5
2
4
2
2
2
1
2
4
1
≡ 6
1
5
1
7
1
2
1
≡10
1
b
1
c
1
a
1
c
2
b
2

2
3
2
thuộc hình chiếu đứng suy biến của lăng trụ
+ mp(a,b) ∩ nón = hai đoạn đường sinh 12 và1’2’ thấy ở hình chiếu đứng và hình chiếu bằng
+ mp(b,c) ∩ nón = cung tròn 232’, có hình chiếu bằng là cung tròn 21312’1. Vì mp(b,c)
khuất ở hình chiếu bằng nên cung tròn 21312’1 khuất
+ mp(a,c) ∩ nón = cung elip 1454’1’, có hình chiếu bằng là cung elip 1141514’11’1 nhận S1
làm một tiêu điểm
_ Hình chiếu bằng của giao tuyến là đường gấp khúc kín 1
1
2
1
3
1
2’
1
1’
1
4’
1
5
1
4
1
1
1

_ Vì mp β đối xứng chung của nón và lăng trụ song song P
2

1
3
1
4
1
5
1
4’
1
3’
1
2’
1
1
1
. Trong đó: 2
1
, 2’
1
là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao với
đường sinh bao hình chiếu bằng của trụ
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
78
Baìi giaíng HÇNH HOAû Giao tuyãún cuía hai màût
_
Vì mp β đối xứng chung của cầu và trụ song song P
2
nên hình chiếu bằng của giao tuyến đối
xứng qua đường thẳng (β
1

(
β
1
)
(β
1
)
4
1

2
2
≡ 2’
2
1
2
(C
2
)
(C
1
)
t
2
t
1
7
2
6
2
≡6’
2
5
2
≡5’
2
4
2
1
2

2’
1
1
1
Hình 12.11 Hình 12.12

_ Hình chiếu bằng của giao được vẽ bằng cách gắn vào đường sinh của nón; ta nhận được hình
chiếu bằng của giao tuyến là đường cong phẳng bậc 4 kín: 1
1
2’
1
3’
1
4
1
5
1
6
1
7
1
6’
1
5’
1
4
1
3
1
2

với lăng trụ (abc) chiếu bằng;
(Hình 12.13)
Giải
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
79
Baìi giaíng HÇNH HOAû Giao tuyãún cuía hai màût
_
Hình chiếu bằng của giao tuyến là đoạn 8
1
10
1
và đường gấp khúc 4
1
2
1
7
1
thuộc tam giác hình
chiếu bằng suy biến của lăng trụ (abc)
_ Để vẽ hình chiếu đứng của giao tuyến ta gắn các điểm thuộc các đường tròn của xuyến nằm
trong mặt phẳng vuông góc trục t. Kết quả nhận được hình chiếu đứng của giao tuyến là hai
đường hở 1
2
2
2
3
2
4
2
5


a
2
b
2
c
2
9
1

7
1
2
1
≡ 6
1
≡
a
1
3
1
≡ 5
1
4
1
c
1
b
1
Hình 12.13

=================
Mc lc 91
=================

GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
81