Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng vồùi mọỹt mỷt

Bi 10 GIAO TUYN CA MT PHNG
VI MT MT

I. KHI NIM
_ Giao tuyn ca mt phng vi mt mt l tp hp cỏc im chung ca mt phng vi mt ú
_ Giao tuyn ca mt phng vi mt a din thng l mt hoc nhiu a giỏc phng trong ú:
+
Cỏc cnh ca a giỏc ny l giao tuyn ca cỏc mt ca a din vi mt phng ct
+
Cỏc nh ca a giỏc ny l giao im ca cỏc cnh ca a din vi mt phng ct
_ Giao tuyn ca mt phng vi mt mt cong bc n thng l ng cong phng bc n

1) i vi mt nún bc hai ng chun l Elipse hoc ng trũn
Giao tuyn cú th l:
_ Elipse
(hoc ng Trũn) Nu mt phng ct tt c cỏc ng sinh ca mt nún
_ Parabol
Nu mt phng song song vi mt ng sinh ca mt nún
_ Hyperbol
Nu mt phng song song vi hai ng sinh ca mt nún

(hai ng sinh ny l hai hng ca hai ng tim cn ca Hyperbol giao tuyn)

ắ Chỳ ý
Nu mt phng i qua nh nún - giao tuyn cú th l:
_ Mt im nh nún. Nu mt phng khụng ct ng chun ca nún
_ Mt ng sinh ca nún. Nu mt phng ct ng chun ca nún ti 1 im (tip xỳc)
_ Hai ng sinh ca nún: Nu mt phng ct ng chun ca nún ti 2 im


+
v giao tuyn c chớnh xỏc, ụi khi ta cn phi v thờm mt vi im trung gian na.

II. Trng hp bit mt hỡnh chiu ca giao tuyn
1) Nu mt ó cho l lng tr chiu hoc tr chiu (tc cnh lng tr hoc ng sinh tr
vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu)
cũn mt phng bt k, thỡ:
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
65
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng vồùi mọỹt mỷt
_
Ta bit c mt hỡnh chiu ca giao tuyn trựng vi hỡnh chiu suy bin ca lng tr hoc
tr chiu ú
_ v hỡnh chiu cũn li ca giao tuyn ta ỏp dng bi toỏn im, ng thng thuc mt
phng. Vớ d 1
Hóy v giao tuyn ca mt phng vi lng tr (abc)
chiu bng (Hỡnh 10.1)

Gii
- Gi A= a mp(); B= b mp(); C= c mp()
mp lng tr (abc) = Tam giỏc ABC
Vỡ a, b, c P
1

A
1
a

b
2
c
2
n


N
1
I
1
M
2
m


M
1
A
1

a
1
A
2
C
1
c
1
B

1
)
T
1
T
1
B
1
A
1
M
1
x
o
1
M
2
f
1
f
2
N
1
h
2
h
1
C
1
D

1
) trựng vi hỡnh chiu
bng ca tr - ng trũn (C
1
)
Ta bit rng trc di AB ca Elip (e) thuc
ng thng MN giao ca mt phng

vi
mt phng

i xng chung ca tr v mp

, trc ngn CD bng ng kớnh ca mt
tr
_ Vỡ trc t P
1
nờn () l mt phng chiu
bng cú hỡnh chiu bng suy bin thnh
ng thng (
1
) i qua t
1
; hn na mp()
mp nờn (
1
) i qua t
1
v vuụng gúc m


cao nht, thp nht ca giao tuyn (e)
_ T
2
, T
2
l cỏc tip im ca elip (e
2
) vi hai ng sinh bao hỡnh chiu ng ca tr; nú cng
l cỏc im ranh gii gia phn thy v phn khut ca elip (e
2
) - cỏch v chỳng bng cỏch
gn vo ng mt
f ; (Hỡnh 10.2)

GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
66
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng vồùi mọỹt mỷt
2) Nu mt phng ó cho l mt phng chiu cũn mt bt k, thỡ:
_ Ta bit c mt hỡnh chiu ca giao tuyn thuc hỡnh chiu suy bin ca mt phng chiu
ú
_ v hỡnh chiu cũn li ca giao tuyn ta ỏp dng bi toỏn im thuc mt

Vớ d 1
Hóy v giao tuyn ca mt phng chiu ng vi mt chúp (S.ABC) ; (Hỡnh 10.3)

Gii
Gi tam giỏc DEF = mp (S.ABC).
Vỡ mp P
2
nờn D

2
O
2
A
1
B
1
S
1
(C
1
)
(
C
2
)
(

2
)
S
2
O
1
(
e
2
)
(e
1

1
S
1
A
1
B
1
C
1 Hỡnh 10.3 Hỡnh 10.4
Vớ d 2
Hóy v giao tuyn ca mt phng chiu ng vi mt nún trũn xoay trc t P
1
(Hỡnh 10.4)

Gii

B
1
lm trc di; C
1
D
1
lm trc ngn
(vỡ AB CD v CD // P
1
). C
1
, D
1
c v bng cỏch gn vo ng trũn v tuyn nm ngang
thuc nún

ắ Chỳ ý
Ngi ta ó chng minh c rng mt phng ct nún trũn xoay cho giao tuyn l elip chiu lờn
mt phng vuụng gúc vi trc ca nún trũn xoay ú l elip nhn hỡnh chiu ca nh nún lm
mt tiờu im

Vớ d 3
_
Hóy v giao tuyn ca mt phng chiu ng vi mt
cu tõm O bỏn kớnh R (Hỡnh 10.5)GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
67
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng vồùi mọỹt mỷt

D
1
= A
2
B
2
= AB [AB l ng kớnh ca
ng trũn ()], cú th v C
1
, D
1
bng cỏch gn C,
D vo ng trũn v tuyn nm ngang; (Hỡnh 10.5)
+ Trc ngn A
1
B
1

_ T
1
, T
1
l cỏc tip im ca elip (
1
) vi ng trũn bao
hỡnh chiu bng ca cu; nú cng l cỏc im ranh gii
gia phn thy v phn khut ca elip (
1
)


Gii
1. oỏn dng giao tuyn

- Qua nh nún S, v mp // mp, bng cỏch v ng mt f

// f

; ri v vt bng F = f

P
1

m

qua F
1
v song song m


- D thy rng m

khụng ct ng chun (C) ca nún nờn mp ct nún cho giao tuyn l Elip
(e)

2. v cỏc im ca giao, ta dựng cỏc mt phng ph tr l cỏc mt phng chiu bng cha
trc
t ca nún ( ct nún theo cỏc ng sinh) v cỏc mt phng bng ( ct nún theo cỏc
ng trũn cú hỡnh chiu bng cng l ng trũn), c th nh sau:



=

mpmp
= )(

mpn
m
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
68
Baỡi gia ỹt mỷt ớng HầNH HOAỷ Giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng vồùi mọ
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
69

O
2
A
2
f
2

h
2

(
2
)
N
2
S
2
(C
1
)
f
1

(
1
)
N
1
F
2

M
2
B
2
(e
1
)
m


F
1
+ mp chiu bng i xng chung ca nún v mp cho hai im A,B l hai u mỳt ca trc
di Elip giao tuyn - A l im cao nht; B l im thp nht; (Hỡnh 10.6)
+ mp // P
1
i qua trung im O ca AB, cho hai im C, D l hai u mỳt ca trc ngn Elip
giao tuyn
+ mp // P
2
i qua trc t ca nún, cho hai im T, T thuc giao, cú hỡnh chiu ng T
2
, T
2
l
cỏc tip im ca
ca elip (e
2
) vi hai ng sinh bao hỡnh chiu ng ca nún, nú cng l
cỏc im ranh gii gia phn thy v phn khut ca elip (e

ắ Chỳ ý
Cú th s dng phộp thay i mt phng hỡnh chiu ng a mp tr thnh mt phng
chiu ng trong h thng mi thỡ vic gii bi toỏn ny c d dng hn

Vớ d 2
Hóy v giao tuyn ca mt phng (m

, n

) vi mt cu tõm O, bỏn kớnh R ; (Hỡnh 10.7)

Gii
Mt phng cu = ng trũn ()
_ v cỏc im ca giao, ta dựng cỏc mt phng ph tr l cỏc mt phng bng, cỏc mt
phng mt ( ct cu theo ng trũn cú hỡnh chiu bng, hỡnh chiu ng cng l ng
trũn); c th nh sau:
_ Dng mp chiu bng i xng chung ca cu v mp, v cỏc giao tuyn ph:
mp mp = MN
mp cu = ng trũn (v) bng ng trũn ln ca cu
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng vồùi mọỹt mỷt
_
v cỏc giao im A,B = MN (v); ta quay mp cha MN v (v) quanh trc chiu bng t
i qua tõm O cu, n v trớ mi //P
2
. Lỳc ny hỡnh chiu ng mi (v
2
) trựng vi ng trũn
bao hỡnh chiu ng ca cu, MN cú v trớ mi MN . V A,B= MN (v)
_ Tr v v trớ ban u bng cỏch quay ngc tr li ta c A,B thuc giao; trong ú: A l
im cao nht; B l im thp nht; (Hỡnh 10.6).

(
v
1
)
t
1
t
2

m

n


f
2
k
1
f
1
(
1
)
x
h
2
(
2
)
k

)
(
1
)
E
1
T
1
T
1
N
2
N
2
N
1
N
1
D
1
F
1
C
1
B
1
M
2
M
1

1
l cỏc
tip im ca
ca elip (
1
) vi ng trũn bao hỡnh chiu bng ca cu, nú cng l cỏc im
ranh gii gia phn thy v phn khut ca elip (
1
)
+ mp // P
2
i qua tõm cu O, cho hai im T, T thuc giao, cú hỡnh chiu ng T
2
, T


2
l cỏc
tip im ca
ca elip (
2
) vi ng trũn bao hỡnh chiu ng ca cu, nú cng l cỏc im
ranh gii gia phn thy v phn khut ca elip (
2
)
_ Hỡnh chiu bng ca giao tuyn l elip (
1
) nhn A
1
B

V. MT VI V D GII SN

Vớ d 1
Cho mt nún trũn xoay nh S v mp; (Hỡnh 10.7). Hóy v giao tuyn ca mp vi mt nún
trũn xoay ú
Gii
_
Vỡ mp l mt phng chiu cnh nờn ta s dng hỡnh chiu cnh v giao tuyn
_ Mt phng ct ton b ng sinh ca nún nờn giao tuyn l Elớp v hỡnh chiu cnh ca
giao tuyn l on thng 1
3
3
3
thuc on thng suy bin (
3
) ca mp. Tr v hỡnh chiu
ng v hỡnh chiu bng, ta nhn c:
_ Hỡnh chiu ng ca giao tuyn l cung elip 1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
, trong ú cung 2
2
3
O
y
z
(
3
)
4
2
5
3
2
3
4
3
1
3

3
3
3
2
2
2
1
2
5
2
5

tht ca giao tuyn ú
Gii
_
Gi ABC = mp lng tr (abc)
_ v giao tuyn ca mp vi lng tr (abc), ta xỏc nh cỏc nh A, B, C l giao im ca
cỏc cnh ca lng tr vi mp bng cỏch dựng mt phng ph tr chiu ng cha cnh
ca lng tr ú, ta nhn c:
C = c mp
mp(a,c) mp = CI [trong ú I l giao im ca m

vi cnh ỏy ca mp(a,c)]

AC = mp(a,c) mp ;
tng t AB = mp(a,b) mp ; (Hỡnh 10.8)
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
71
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng vồùi mọỹt mỷt
_
v hỡnh tht ca giao tuyn, ta gp mp quanh vt bng m

, hỡnh gp l A
1
B
1
C
1

_ Kt lun: A
1
B

N
2
A

1
B
1
b
2
c
2

2
g
2
n


m


n


A
2
A
1
B
2

1
J
1
O
Vớ d 3
Cho mp v hỡnh chiu ng S
2
ca im S mp; (Hỡnh 10.9). Hóy v trong mp ng
thng i qua im S v nghiờng vi mt phng hỡnh chiu bng gúc
B
1
A
1
A
2
B
2


h
2
x
n


m


h
1

+ Nu = : Bi toỏn cú 1 nghim
+ Nu > : Bi toỏn cú 2 nghim

Hỡnh 10.9
Vớ d 4
Cho mp v im A; (Hỡnh 10.10). Hóy v ng thng qua im A song song vi mp ng
thi nghiờng vi mt phng hỡnh chiu bng gúc

Gii
_
ng thng cn dng qua im A song song mp nờn ng thng ú thuc mp song
song vi mp. Mt phng c v nh sau :
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
72
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng vồùi mọỹt mỷt
_
Qua A v ng bng h

// mp;

V vt ng H = h

mpP
2
Vt ng n

i qua
H
2
v song song n



n


m


n


I
2
H
1
J
2
I
1
J
1
h
1

h
2

A
2
A


i qua F
1

- Theo bi, mp ct nún cho giao tuyn l Parabol
nờn m

qua F
1
v tip xỳc vi ng trũn ỏy ca
nún.
- Vỡ mp // mp m

// m

; (Hỡnh 10.10)

Hỗnh 10.10
ắ Chỳ ý
_
Nu m

khụng ct ỏy nún thỡ mp ct nún cho giao tuyn l Elip

F
1
F
2
S
1

GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
73