Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

BI TÁÛP CHỈÅNG 3 :
CHUØN ÂÄÜNG QUAY CA VÁÛT RÀÕN
XUNG QUANH TRỦC CÄÚ ÂËNH

Ạp dủng 1 : (Trang 128) Liãn kãút trủ quay l tỉåíng (Hon chènh)
Váût ràõn (S) âỉåüc giỉỵ båíi hai trủ quay gáưn nhỉ l âiãøm åí A v B sao cho nọ
cọ thãø quay quanh trủc cäú âënh (AB) trong hãû quy chiãúu nghiãn cỉïu. Ta gi
thiãút ràòng cạc liãn kãút åí A v B l l tỉåíng (hon chènh) : cạc tạc âäüng cå
tiãúp xục m (S) tạc dủng lãn A v B tỉång ỉïng âỉåüc thu gn vãư cn hai
lỉûc :
1
R

âi qua A v
2
R

âi qua B.
2
R

B
1
R

Tênh cạc pháưn tỉí rụt gn tải A ca toọc-så cạc tạc âäüng cå tiãúp xục lãn (S).
Bi gii :

Tạc âäüng cå tiãúp xục lãn váût ràõn (S) gäưm hãû hai lỉûc





Ta tháúy
,A tiepxuc
M
AB⊥


: liãn kãút l l tỉåíng.
(Ghi chụ : Cho hai váût ràõn (S) v (
Σ
) tiãúp xục nhau. Tạc âäüng cå tiãúp xục tỉì (
Σ
) lãn (S) khi
thu gn vãư âiãøm I no âọ thäng thỉåìng bao gäưm lỉûc thu gn
R

v momen thu gn .
Khi âọ tạc âäüng cå tiãúp xục tỉì (
Σ
) lãn (S) âỉåüc biãøu diãùn bàòng mäüt tọocså ( .
,Itiepxuc
M

,
(, )
I tiepxuc
RM

(∆)
+ Mäüt âäüng cå chênh cọ cäng sút låïn dng âãø khåíi âäüng
vä làng (lm vä làng quay tỉì trảng thại âỉïng n).
+ Mäüt âäüng cå phủ âm bo cho välàng quay våïi váûn täúc
gọc
0
ω
khäng âäøi khi vä làng â âỉåüc khåíi âäüng.
1) Cho vä làng quay. B qua táút c cạc ma sạt.
a) Thỉìa nháûn ràòng âäüng cå chênh cọ cng cäng sút P âäúi våïi mi váûn täúc gọc ca âäüng cå,
tênh thåìi gian t
1
cáưn thiãút âãø khåíi âäüng välàng (âỉa välàng tỉì váûn täúc ban âáưu bàòng 0 âãún giạ
trë
0
ω
).
b) Thỉìa nháûn ràòng âäüng cå chênh thỉûc hiãûn mäüt ngáùu lỉûc cọ momen khäng âäøi v cọ cäng
sút l P khi välàng cọ váûn täúc gọc lm viãûc l
0
ω
. Tênh thåìi gian t
2
cáưn thiãút âãø khåíi âäüng
välàng trong nhỉỵng âiãưu kiãûn âọ. So sạnh t
2
v t
1
.


(t = t
1
) :
int
0
00
tt
t
ext
ii
t
ii
tt
EW W
=
==
∆= +
∑∑
⇒
1
1
2
0
0
1
2
tt
tt
t
t

0
= hàòng säú.
Ngáùu lỉûc ny cọ cäng sút l P khi välàng cọ váûn täúc gọc lm viãûc l
0
ω
, do âọ :
00
CP
ω
=
Ạp dủng âënh l vãư momen âäüng lỉåüng âäúi våïi trủc quay (∆) :
()⇒
ext
i
i
dL
MF
dt
∆
∆
=
∑


0
JC
ω
=

(1)

ω
ω
=
=
==
=
∫
∫
⇒
002
JCt
ω
=
⇒
0
2
0
J
t
C
ω
=
⇒
2
0
2
J
t
P
ω


⇒
2
cos
d
JC
dt
t
ω
=
Ω

⇒ ⇒
()
2
cosJd C t dt
ω
=Ω
∫∫
2
sin
C
Jt
ω
A
=
Ω+
Ω

Láúy gäúc thåìi gian l lục däüng cå phủ bàõt âáưu chảy : tải t = 0 thç


(Ghi chụ : Ta tháúy âãø âäü biãún thiãn
2
0
sin
C
t
J
ωωω
∆
=− = Ω
Ω
ca váûn täúc gọc cng bẹ khi
momen quạn tênh ca vä làng phi cng låïn. Tỉì âọ tháúy r tạc dủng ca vä làng hay cn gi
l bạnh â l lm cho chuøn âäüng ca mạy âỉåüc âãưu hån).

42
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
Ạp dủng 3 - Chuøn âäüng quay quanh trủc ca mäüt hçnh trủ cọ dàòn :
Trãn mäüt hçnh trủ âäưng nháút tám O, khäúi lỉåüng M, bạn kênh R, momen quạn tênh âäúi våïi trủc
(Oz) ca hçnh trủ bàòng :
2
1
2

M
Me=


l momen ca âäüng cå tạc dủng lãn hãû (S). Gi l hãû quy
chiãúu gàõn liãưn våïi hãû (S) sao cho màût phàóng
(,
(, , , )
xs ys z
Oe e e

, )
xs z
Oe e


trng våïi màût phàóng ABC.
+ Âäüng lỉåüng ca hãû (S) :
v( )
ys
PmC mRe
ω
==



+ Momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi âiãøm O :
2
0
(3 )


ca âäüng cå ; tạc
âäüng cå tiãúp xục khi thu gn vãư âiãøm O thüc trủc quay Oz :
,
(, )
O tiepxuc
RM


. Do liãn kãút trủ
quay l khäng cọ ma sạt nãn :
,O tiepxuc
M
Oz⊥

.
Ạp dủng âënh l vãư momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi âiãøm cäú âënh
O :
()
ext
O
Oi
i
dL
MF
dt
=
∑



(1)
2
,
R
ys dc z O tiepxuc ys
mRh e M e M mg e
ω
=+ +

 
Chiãúu (1) lãn trủc Oz :
Khäng cáưn dng âäüng cå âãø kẹo hãû nhàòm giỉỵ cho hãû cọ
váûn täúc gọc
ω khäng âäøi.
0
dc
M =
⇒
43
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng A



Cáu 2 :

a) Ạp dủng âënh l vãư däüng lỉåüng ca hãû (S), ta cọ :
ext
i
i
dP
F
dt
=
∑


.
Våïi
()
2
ys xs
dP
mR e mR e
dt
ωω ω
=×=−


v
3
ext
i

0( 3)
xs
ys
z
mR R
R
M
mg R
ω
⎧
−=
⎪
=
⎨
⎪
=+ +
⎩
⇒
2
0
(3)
xs
ys
z
RmR
R
R
Mm
ω
⎧


(Ghi chụ : Thnh pháưn
l do khäúi âiãøm tải C gáy ra).
R
ys
mg e


b) Khi thạo b khäúi âiãøm åí gàõn tải C :
0P
=

v
2
0
(3 )
z
LJmRe
ω
=+


.
Suy ra :
0
0
(2)
xs
ys
z

⇒ 0
O
dL
dt
=


⇒ Âënh l vãư momen âäüng lỉåüng ca (S) âäúi våïi O cho ta :
,
0
O tiepxuc
M
=

44
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
Ạp dủng 4 : Phn lỉûc trãn trủc ca mäüt con làõc :
Mäüt con làõc khäúi lỉåüng m, khäúi tám G, cọ thãø
quay tỉû do chung quanh mäüt trủc nàòm ngang Oz.
Con làõc âỉåüc th khäng váûn täúc âáưu tỉì vë trê nàòm
ngang

âiãøm O cäú âënh :
()
ext
i
i
dP
ma G F
dt
==
∑




⇒ våïi G l khäúi tám ca con làõc.
()ma G mg R=+



y
O
x

G
mg

θ
⊕
R


eee

2
cos
sin
0
xs
ys
z
ma mg R
ma mg R
R
θθ
θθ
⎧
−= +
⎪
=− +
⎨
⎪
=
⎩


2
cos
sin
0
xs
ys


(1)
Têch phán hãû thỉïc (1) theo t :
2
1
cos
2
Jmga
θ
θ
=

⇒
2
2cos
mga
J
θ
θ
=

v
sin
mga
J
θ
θ
=−



θ
θ
=− +
⇒
2
sin 1
ys
ma
Rmg
J
θ
⎛⎞
=
−+
⎜⎟
⎝⎠

Tọm lải :
2
22
2
3
2cos1
ma ma ma
Rmg
JJ J
θ
⎛⎞⎛
=++−
⎜⎟⎜

1
) quay âãưu våïi váûn täúc gọc ω
0
. (S
2
) âỉïng n. Gi J
1
v J
2
láưn lỉåüt l momen
quạn tênh ca (S
1
) v (S
2
) âäúi våïi trủc (zz’).
Vo thåìi âiãøm t cho trỉåïc, ta cho âéa D
1
tiãúp xục våïi âéa D
2
(âéa D
1
gàõn cỉïng våïi S
1
, âéa D
2

gàõn cỉïng våïi S
2
). Sau mäüt khong thåìi gian nháút âënh no âọ, do ma sạt giỉỵa âéa D
1

2
). Tạc âäüng cå tiãúp xục lãn trủc quay thu gn vãư A
thüc trủc zz’ bao gäưm lỉûc
R

v
,A tiepxuc
M

. Do liãn kãút l l tỉåíng (khäng ma sạt)
:
,
'
A tiepxuc
M
zz⊥


Momen ca cạc ngoải lỉûc tạc âäüng lãn hãû âäúi våïi trủc quay zz’ bàòng 0
⇒ momen âäüng lỉåüng
ca hãû âäúi våïi trủc quay zz’ âỉåüc bo ton. Momen âäüng lỉåüng tải t = 0 :
10
J
ω
, momen âäüng
lỉåüng tải t âang xẹt :
12
()JJ
ω
+

t
ext
ii
t
ii
tt
EW W
=
==
∆= +
∑∑
⇒
22
12 10
11
()
22
masat
JJ J W
ωω
+− =

Våïi :
l täøng cäng ca cạc tạc âäüng cå tiãúp xục tỉì âéa (D
masat
W
1
) lãn âéa (D
2
) v tỉì âéa (D


46
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
Bi táûp 1 (Trang 137) : Dao âäüng ca mäüt con làõc nghiãng :
Mäüt váût ràõn AOBC, hçnh chỉỵ T, khäúi lỉåüng m, khäúi tám G cọ thãø quay khäng ma sạt quanh
trủc AOB nghiãng mäüt gọc α so våïi trủc nàòm ngang
(trong hãû quy chiãúu trại âáút gi sỉí l Galilã). Hçnh v
mä t vë trê cán bàòng ca váût ràõn trong màût phàóng
thàóng âỉïng (AO = OB ; OG = b). Momen quạn tênh
ca váût ràõn âäúi våïi trủc AOB bàòng J. Tênh chu k T
ca cạc dao âäüng nh ca váût ràõn (hay con làõc)
quanh vë trê cán bàòng ca nọ.
g

B
C
G
•
•
α
A
O

Bi gii :
Chn hãû trủc ta âäü
nhỉ hçnh v sao
cho :
nàòm trong màût phàóng thàóng âỉïng chỉïa trủc quay;
(, ,
xy

y
JOGmg
θ
=×





Våïi :
OG
cos
0
sin
b
b
θ
θ
⎧
⎪
=
⎨
⎪
−
⎩

;
cos
sin
0



(Ghi chụ :
(
() ()
ext
Oi O
ii
)
M
F M mg OG mg==
∑∑

 

×

. Chiãúu lãn trủc AOB :
()
()
A
By
i
M
mg OG mg e=×
∑


)
Khi

y
N
hçn theo hỉåïng mi tãn
mg


z
B
C
G
•
•
α
α
x

A

O
C
x

g
b
B
b
O
G
a A
Tênh chu ky
ì T ca cạc dao âäüng nh
ca hãû quanh vë trê cán bàòng.

Bi gii :

Cạch 1 : Phỉång phạp âënh l momen âäüng lỉåüng :

Xẹt hãû (S) gäưm hai âéa cán v ân cán. Xẹt hãû tải vë trê m ân cán håüp våïi âỉåìng thàóng nàòm
ngang mäüt gọc bàòng α. Ta cáưn viãút phỉång trçnh chuøn âäüng cho hãû.

+ Ta cọ :

2
112
() v() v(
Oz
LJmaeOGMGOGMG
α
=+ + × + ×
 
2
)


våïi
//Oz
LJJe
=
Ω= Ω



v
0
O
L
⊥
=


vç váût ràõn phàóng qua O v vng gọc våïi trủc Oz

⇒
2
,
()
O doncan z
LJmae
α
=+





Cạc âéa chuøn âäüng tënh tiãún trn, nãn :
1
v( ) v( )GA
=
;
2
v( ) v( )GB
=





e
α

O
G
B
G

⎦
 




Màût khạc:
v( ) v( )
B
Abe
α
α
=− =
 
⇒
48
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng


2
11111
v( ) . . .sin( ) sin . . .
z
OG M A e OG M b AG O OG AG O M b bMb Mb
α
αα
⎡⎤



⇒

22
(2
Oz
dL
Jma Mb
dt
)
α
=+ +


+ Ta cọ :
() sin
ext
Oz i
i
MF mg
α
=−
∑


+ Ạp dủng âënh l vãư momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi trủc Oz cäú âënh:
()
ext
Oz

T
mg
π
π
ωα
++
==

Cạch 2 : Phỉång phạp nàng lỉåüng :

22 2 2
12
111
() v()v()
222
K
E
Jma m G m G
α
=+ + +


+ Âäüng nàng ca hãû (S) :
(Ghi chụ : Ân cán chuøn âäüng quay xung quanh trủc cäú âënh nãn :
2
,
1
()
2
K doncan

22
(2
K
EJmaMb
α
=+ +


+ Do thãú nàng ca táûp håüp hai âéa khäng thay âäøi trong quạ trçnh chuøn âäüng
thãú nàng
ca hãû bàòng thãú nàng ca ân cán :
⇒
cos
P
E mag hangso
α
=
−+
.
+ Do b qua táút c cạc ma sạt
⇒
cå nàng ton pháưn ca hãû âỉåüng bo ton :
KP
E E E hangso=+=
⇒
222
(2)cosJ ma Mb mag hangso
αα
++ − =


(Ghi chụ : Ạp dủng âënh l âäüng nàng cho hãû (S) :
int ext
Ki
ii
EW W∆= +
i
∑
∑
våïi v
láưn lỉåüt l cäng ca näüi lỉûc v ca ngoải lỉûc. Cäng
int
i
i
W
∑
ext
i
i
W
∑
int
i
i
W
∑
ca näüi lỉûc trong hãû (S)
chênh l täøng cäng ca cạc tạc âäüng cå tiãúp xục giỉỵa cạc âé a cán v ân cán. Do b qua táút
c cạc ma sạt nãn
. Ngoải lỉûc chè gäưm cọ lỉûc trng trỉåìng nãn cäng
ca ngoải lỉûc chênh bàòng âäü gim thãú nàng :

KP
EE∆+=
KP
E
E hangso
+
=
).

49
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng Tài liệu tham khảo :
[1] Cơ học vật rắn, Năm thứ hai, MP-MP*-PC-PC*-PT-PT*, Hachette Supérieure, Nxb. Giáo
dục Hà Nội 2002
[2] Mécanique des solides, Deuxième année, MP-MP*-PC-PC*-PT-PT*, Hachette
Supérieure, 1999
[3] Lơng Duyên Bình (chủ biên), Vật lý đại cơng, Tập I : Cơ- Nhiệt, Nxb. Giáo dục Hà Nội
1998 50