Chơng 3. Tích Phân Phức
Trang 50 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Hệ quả 2 Cho đờng cong đơn, kín, trơn từng khúc, định hớng dơng và hàm f liên
tục trên

D , giải tích trong D

.
a D

,



dz
az
)z(f
= 2if(a) (3.4.4)
Chứng minh

Suy ra từ công thức (3.4.3)
Ví dụ Tính tích phân I =


1z
dz
2
với là đờng tròn định

1
= 2if(-1) = -i
Hàm g(z) =
1
z
1
+
thoả mn công thức (3.4.4) trong đờng tròn | z - 1 | = 1 suy ra
I
2
= 2ig(1) = i
Vậy I = -i + i = 0

Đ5. Tích phân Cauchy

Cho đờng cong định hớng đơn, trơn từng khúc và hàm f liên tục trên .
Tích phân
F(z) =






d
z
)(f

1

1

3

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d

e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 3. Tích Phân Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 51
Với mọi a D tuỳ ý
a
z
)a(F)z(F


=


Giả sử hàm F có đạo hàm đến cấp n - 1 trong miền D
Với mọi a D tuỳ ý

az
)a(F)z(F
)1n()1n(



=



=
=







d
)z()a(
)z()a(
)(f
i2
)!1n(
nn
1n

trong miền D.
(n, z) ì D, f
(n)
(z) =


+




D
1n
d
)z(
)(f
i2
!n
(3.5.3)
Chứng minh
Nếu D là miền đơn liên thì biên D là đờng cong định hớng dơng, đơn, kín và trơn
từng khúc. Theo công thức (3.4.3) ta có
z D, f(z) =






D

=
!
n
i2

f
(n)
(a) (3.5.4)
Chứng minh
Suy ra từ công thức (3.5.3)

Ví dụ Tính tích phân I =


+
3
z
)1z(
dze
với là đờng tròn | z | = 2 định hớng dơng
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n

F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k

F(z) =


z
a
d)(f với z B
xác định đơn trị trong hình tròn B và F(a) = 0.
Ngoài ra với mọi (z, h) D ì sao cho [z, z + h ] B

)z(f
h
)z(F)hz(F

+
=
( )

+

hz
z
d)z(f)(f
h
1
sup{| f() - f(z) | : [z, z + h]}




h

intit
n
dte)Rea(f
R2
!n
(3.6.1)
Chứng minh
Tham số hoá đờng tròn S =

B
+
(a, R)

(t) = a + Re
it
, dz = iRe
it
dt với t

[0, 2

]
Ap dụng công thức (3.5.4)
f
(n)
(a) =

+



B

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 3. Tích Phân Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 53
Hệ quả 1 (Bất đẳng thức Cauchy) Cho hàm f giải tích trên miền D.
n , R > 0 : B(a, R) D, | f
(n)
(a) |
n
R
M!n
với M = sup

B
|
f(z)

Hệ quả 2 (Định lý Liouville) Hàm giải tích và bị chặn trên tập số phức là hàm hằng.
Chứng minh
Giả sử hàm f giải tích và bị chặn trên tập . Khi đó
(a, R) ì 3
+
, B(a, R)
Theo công thức (3.6.2) với n = 1
| f(a) |
R
M





+R
0 với M = sup

| f(z) |
Suy ra a , f(a) = 0. Vậy hàm f là hàm hằng.

Hệ quả 3 (Định lý DAlembert - Gauss) Mọi đa thức hệ số phức bậc n có đúng n không
điểm phức trong đó không điểm bội k tính là k không điểm.
Chứng minh
Giả sử P
n
(z) = a
0
+ a
1









++

n
01n
z
a

z
a
1

Suy ra
z : | z | r =






+
=
k

, z




Khi đó


z



,
|
P
n
(z)
|


m hay
|
g(z)
|
=
|)z(P|
1
n



n-1
= n - 1.
Lập luận tơng tự phân tích P
n-1
(z) và tiếp tục phân tích cho đến khi
P
n
(z) = (z - z
1
)(z - z
2
) (z - z
n
)


Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V

h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

sao cho
|
f(a)
|
= Max
D

|
f(z)
|

Nếu a

D
0
thì a là điểm cực đại địa phơng và khi đó

B(a, R)

D sao cho

t

[0, 2

],
|
f(a)
|
>


Đ7. Hàm điều hoà

Hàm thực u(x, y) liên tục trên
D
, thuộc lớp C
2
trong D gọi là hàm điều hoà trong nếu
nó thoả mn phơng trình Laplace. Tức là
(x, y) D, u =
2
2
2
2
y
u
x
u


+


= 0 (3.7.1)

Định lý
Phần thực, phần ảo của hàm giải tích là hàm điều hoà.
Chứng minh

Cho hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) giải tích trên miền D. Khi đó hàm f(z) có đạo hàm mọi


= 0 và v =
yyxx
vv


+


=
xyyx
uu


+


= 0

Sau này chúng ta gọi cặp hàm điều hoà và thoả mn điều kiện Cauchy - Riemann là
cặp hàm điều hoà liên hợp.
Định lý Cho hàm thực u(x, y) điều hoà trong miền D đơn liên. Khi đó có hàm phức f(z)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h

P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a