Chơng 2. Hàm Biến Phức
Trang 30 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Đ6. Hàm mũ

Hàm mũ phức
Hàm mũ phức
w = e
z
= e
x
(cosy + isiny), z (2.6.1)
có phần thực u = e
x
cosy và phần ảo v = e
x
siny thoả điều kiện (C - R) nên giải tích trên
toàn tập số phức, có đạo hàm
w(z) = e
z
(2.6.2)
Hàm mũ phức tuần hoàn chu kỳ T = 2i
e
z+i2

= e
z

và có các tính chất khác tơng tự nh hàm mũ thực.

Hàm mũ phức là hàm đa diệp
1

Suy ra
w = ln| z | + i(argz + k2) với k 9 (2.6.5)
Lập luận tơng tự nh hàm căn phức, điểm gốc là điểm rẽ nhánh của hàm logarit và để
tách nhánh đơn trị cần phải cắt mặt phẳng phức bằng một tia từ 0 ra .

Imz=0

Imz=2


argw=2


argw=0

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 2. Hàm BiếnPhức

Hàm lợng giác phức
Kí hiệu
cosz = )ee(
2
1
iziz
+ sinz = )ee(
i2
1
iziz
tgz =
zcos
zsin
(2.7.1)
Các hàm biến phức w = cosz, w = sinz và w = tgz gọi là các hàm lợng giác phức.
Hàm lợng giác phức đơn trị, tuần hoàn, giải tích, có đạo hàm
(cosz) = - sinz (sinz) = cosz, (2.7.2)
và có các tính chất khác tơng tự hàm lợng giác thực.

Chú ý Với z = x 3, cosz =
2
1
(e
ix
+ e
-ix
)

cosx. Tuy nhiên cos(i) =
2



Ngoài ra, ta có các liên hệ giữa hàm lợng giác và hàm hyperbole
chiz = cosz cosiz = chz shiz = isinz siniz = ishz (2.7.5)

Ví dụ Tìm ảnh của miền -
2

< Rez <
2

qua ánh xạ w = sinz
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e

e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 2. Hàm Biến Phức
Trang 32 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Ta có w = sin(x + iy) = sinxcosiy + cosxsiniy = sinxchy + icosxshy
Suy ra u = sinxchy và v = cosxshy

Để giải bài toán trên ngời ta thờng sử dụng các kết quả dới đây, gọi là các nguyên
lý biến hình bảo giác. Việc chứng minh các nguyên lý biến hình bảo giác là rất phức tạp
và phải sử dụng nhiều kết quả khác. Ơ đây chúng ta chỉ trình bày sơ lợc các ý tởng
của các phép chứng minh. Bạn đọc quan tâm đến các phép chứng minh chi tiết có thể
tìm xem ở phần tài liệu tham khảo.



a

b



1

-
1


/2


/2


Click to buy NOW!
P
D
F

c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u

1
D
2. Cho biết w
0
= f(z
0
) và arg f(z
0
) = với z
0
D
0

Chứng minh
Kí hiệu
U = { z : | z | < 1}, S = { g H(D, ) : z D, | g(z) | < 1} và a D
Ta công nhận
f
a
S sao cho | f
a
(a) | =
Sg
Max

| g(a) |
Khi đó hàm giải tích f
a
là phép biến hình bảo giác biến miền D thành miền U.
Có thể tìm đợc vô số hàm giải tích f : D U nh vậy. Tuy nhiên ta có liên hệ

à =
z
Min | f(z) - b | với = B
N
B
[f(z) - b] là số không điểm của hàm f(z) - b trong hình tròn B(a, R)
Với w B(b, à) tuỳ ý, ta có
f(z) - w = f(z) - b + b - w và | f(z) - b | > à > | b - w| với z B(a, R)
Theo định lý Rouché (Đ8, chơng 4)
N
B
[f(z) - w] = N
B
[f(z) - b] = 1
Do đó z B(a, R) sao cho w = f(z) G.
Vì điểm w tuỳ ý nên B(b, à) G và suy ra tập G là tập mở
Nguyên lý tơng ứng biên
Cho D, G là các miền đơn liên giới nội, hàm f : D liên
tục trên
D
, giải tích trong D và biến hình bảo giác D
+
thành G
+
. Khi đó hàm f biến
hình bảo giác miền D thành miền G.
Chứng minh

r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w

[f(z) - b] =

2
1


G
(w - b) = 1
Do đó a D sao cho b = f(a).
Lập luận tơng tự với b
G

N
D
[f(z) - b] =

2
1


D
[f(z) - b] =

2
1


G
(w - b) = 0
Suy ra hàm f biến hình bảo giác miền D thành miền G.

G
1
. Khi đó
có hàm giải tích f : D
1
D
2
biến hình bảo giác miền D
1
D
2
thành miền G
1
G
2

với G
2
là miền đối xứng với G
1
qua cung .
Chứng minh
Xét trờng hợp L và là các đoạn thẳng nằm trên trục thực. Khi đó hàm
f
2
: D
2
, z f
2
(z) =

D
1


L và f(z) = f
2
(z), z

D
2

là hàm giải tích biến hình bảo giác miền D
1


D
2
thành miền G
1


G
2
.

Trờng hợp tổng quát, chúng ta dùng hàm giải tích biến các cung L và

thành các
đoạn thẳng nằm trên trục thực.


i

z + b (2.9.2)
Suy ra phép biến hình tuyến tính là tích của các phép biến hình sau đây.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c

w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m