XÁC SUẤT THỐNG KÊ KINH TẾ
Đoàn Hồng Chương
1
1
Bộ môn Toán - TKKT, Đại học Kinh Tế - Luật
Chương 1
NHẮC LẠI VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
1.1 Qui tắc cộng
Nếu một công việc có thể thực hiện theo k phương án A
1
,A
2
,A
k
và mỗi
phương án có n
i
(i =1, 2, ,k) cách thực hiện thì số cách thực hiện công
việc là
n = n
1
+ n
2
+ + n
k
. (1.1)
Ví dụ 1.1. Một người muốn mua một đôi giày cỡ 39 hoặc 40.Cỡ39 có hai màu đen
và trắng, cỡ 40 có ba màu đen, trắng và nâu. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn
mua giày? (Đáp số: n =2+3=5).
Trang 1
1.2 Qui tắc nhân

Ví dụ 1.4. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn học sinh vào một bàn dài biết
rằng 2 bạn Hoa và Lan muốn ngồi cạnh nhau? Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau?
Giải. Nếu 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau thì ta có thể giải bài toán theo
2 bước sau đây:
• Bước 1: Xem 2 bạn Hoa và Lan như là 1 người. Khi đó số cách xếp là số
hoán vị của 4 phần tử
P
4
=4!=24.
Trang 3
• Bước 2: Đổi chỗ 2 bạn Hoa và Lan. Khi đó số cách xếp là số hoán vị của
2 phần tử
P
2
=2!=2.
Vậy số cách xếp là n = P
4
.P
2
=48.
Trường hợp 2 bạn Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau là phần bù của trường
hợp trên. Do đó số cách xếp là hiệu của số cách xếp tùy ý 5 người và số cách
xếp 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau
n = P
5
− 48 = 5! − 48 = 72.
1.4 Chỉnh hợp
Định nghĩa 1.2. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách xếp k phần tử
(1 ≤ k ≤ n) lấy từ n phần tử của tập hợp theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp
chập k của n.

3
6
− A
2
5
= 100.
Trang 5
1.5 Tổ hợp
Định nghĩa 1.3. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách chọn k phần tử
(1 ≤ k ≤ n) từ n phần tử của tập hợp gọi là một tổ hợp chập k của n.
Tính chất 1.3. Số tổ hợp chập k của n phần tử là
C
k
n
=
n!
k!(n −k)!
. (1.5)
Tính chất 1.4.
C
k
n
= C
n−k
n
. (1.6)
C
k
n
+ C

.
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là C
2
4
.A
2
5
= 120. 
1.6 Tổ hợp lặp
Định nghĩa 1.4. Tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm k phần tử
không phân biệt thứ tự, có thể trùng nhau được chọn ra từ n phần tử đã cho.
Chú ý:cóthểk<nhoặc k = n hoặc k>n.
Ví dụ 1.8. Một cửa hàng có 3 loại sản phẩm a
1
,a
2
,a
3
. Một khách hàng muốn mua
2 sản phẩm của cửa hàng. Vì không có điều kiện ràng buộc nên khách hàng đó có
Trang 7
thể mua 2 sản phẩm a
1
, hoặc 2 sản phẩm a
2
hoặc 1 sản phẩm a
1
và 1 sản phẩm a
3
.

k
n
= C
k
n+k−1
. (1.8)
Ví dụ 1.9. Có 4 loại bút bi: xanh, đỏ, tím, vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mua 6
chiếc bút? (giả sử số lượng bút bi mỗi loại lớn hơn 6).
Giải. Vì khách hàng chọn 6
chiếc bút trong 4 loại và có thể chọn cùng một
màu nên mỗi cách chọn là một tổ hợp lặp chập 6 của 4
. Số cách chọn là

C
6
4
= C
6
4+6−1
= C
6
9
=84.
Ví dụ 1.10. Giả sử có 8 viên bi màu hoàn toàn giống nhau. Nam muốn xếp các viên
bi này vào 5 ngăn kéo. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? (Đáp số: n =

C
8
5
= C

Ví dụ 1.4. Xét phép thử tung 2 đồng xu của ví dụ (1.1). Khi đó
• Biến cố "có ít nhất một mặt S" là A = {SS,SN,NS}.
• Các biến cố sơ cấp là A
1
= {SS},A
2
= {SN},A
3
= {NS},A
4
= {NN}.
• Biến cố Ω={SS,SN,NS,NN} là biến cố chắc chắn.
• Biến cố "có 3 mặt sấp" là biến cố không thể.
Trang 11
1.2 Quan hệ giữa các biến cố
1. Biến cố giao
Định nghĩa 1.6. Giao của hai biến cố A và B, kí hiệu A ∩B hoặc A.B, là biến
cố "A và B đồng thời xảy ra".
Ví dụ 1.5. Xét phép thử tung hai đồng xu. Gọi A là biến cố "xuất hiện mặt sấp
ở đồng xu thứ nhất", B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở đồng xu thứ hai". Khi đó
A ∩B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở cả hai đồng xu".
Ví dụ 1.6. Một lớp có 30 sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ Anh văn
hoặc Pháp văn, trong đó có 20 sinh viên giỏi Anh văn, 15 sinh viên giỏi Pháp văn.
Hỏi có bao nhiêu sinh viên giỏi cả hai môn. (Đáp số: n =5).
2. Biến cố hợp
Định nghĩa 1.7. Hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu A ∪ B, là biến cố "có ít
nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra".
Trường hợp A ∩ B = ∅ thì ta dùng kí hiệu A + B thay cho A ∪ B.
Trang 12
Ví dụ 1.7. Xét phép thử tung ba đồng xu. Gọi A là biến cố "xuất hiện đúng hai

1
.A
2
.A
3
∪ A
1
.A
2
.A
3
∪ A
1
.A
2
.A
3
.
Trang 14
2. "có đúng hai viên đạn trúng bia" là B = A
1
A
2
A
3
∪ A
1
A
2
A

A ∪B = A.B.
b)
A.B = A + B.
c)
A
1
∪ A
2
∪ ∪ A
n
= A
1
.A
2
A
n
.
d)
A
1
.A
2
A
n
= A
1
∪ A
2
∪ A
n

n(Ω)
=
2
4
=
1
2
.
Trang 17
Ví dụ 2.2. Một lô hàng có 50 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên
5 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để cả 5 sản phẩm đều tốt.
Giải. Gọi A là biến cố "5 sản phẩm đều tốt". Không gian mẫu của bài toán
trên là tập hợp các cách chọn tùy ý 5 sản phẩm trong 50 sản phẩm. Khi đó
n(Ω) = C
5
50
. Mỗi cách chọn được 5 sản phẩm tốt là một tổ hợp chập 5 của 47
sản phẩm tốt. Số cách chọn 5 sản phẩm tốt là n(A)=C
5
47
. Vậy xác suất chọn
được 5 sản phẩm tốt là P (A)=
C
5
47
C
5
50
=
1419

P (B)=
4320
7!
=
6
7
.
c) Với yêu cầu xếp 3 bạn nam không có ai
đứng cạnh nhau, chúng ta thực
hiện như sau:
Trang 19
• Bước 1: Hoán vị 4 bạn nữ, số cách xếp là 4! cách.
• Bước 2: Xếp 3 bạn nam vào các chỗ trống giữa hai bạn nữ hoặc hai
đầu dãy (minh họa bằng hình dưới, các ô tròn tượng trưng cho các
bạn nữ)
   
Vì yêu cầu các bạn nam không có ai xếp hàng cạnh nhau nên giữa
hai bạn nữ chỉ xếp được một nam và mỗi đầu dãy chỉ xếp được một
nam. Như vậy có 5 vị trí có thể xếp được các bạn nam vào đó. Do chỉ
có 3 bạn nam và các cách xếp phân biệt thứ tự nên số cách xếp 3 nam
vào 5 vị trí là A
3
5
cách.
Vậy số cách xếp 3 nam không có ai
đứng cạnh nhau là 4!×A
3
5
và xác suất
để 3 bạn nam không có ai

=
m
N
, số này gọi là tần suất của biến cố A.
Ví dụ 2.4. Xét phép thử tung một con súc sắc cân đối, đồng chất và A là biến cố
"xuất hiện mặt một chấm". Thực hiện phép thử 30 lần và 600 lần, ta thu được 2
bảng sau:
Trang 21
Số chấm 1 2 3 4 5 6
Tần số 4 5 4 7 4 6 n =30
Tần số 96 107 98 103 97 99 n = 600
Tần suất của biến cố A lần lượt trong hai lần thực hiện là f
A
=
4
30
≈ 0, 13 (tương
ứng với việc thực hiện phép thử 30 lần) và f
A
=
96
600
=0, 16 ≈
1
6
(tương ứng với
việc thực hiện phép thử 600 lần). Hai kết quả trên cho thấy việc thực hiện phép thử
càng nhiều lần thì tần suất của biến cố A càng gần với xác suất tính theo công thức
cổ điển. 
2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

giờ. Họ quy ước: người đến trước sẽ đợi 20 phút, nếu không gặp sẽ bỏ đi. Giả sử
việc đến điểm hẹn của mỗi người là ngẫu nhiên. Tìm xác suất hai người gặp nhau.
Giải. Gọi x, y (đơn vị: phút) là thời điểm đến điểm hẹn của người thứ nhất
và người thứ hai. Để đơn giản ta giả sử 0 ≤ x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60. Biểu diễn
Trang 23
x, y lên mặt phẳng tọa độ Oxy. Không gian mẫu là tập hợp các điểm
Ω={(x; y)

0 ≤ x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60}.
Đặt A là biến cố "hai người gặp nhau". Vì hai người chỉ gặp nhau khi thời
điểm đến điểm hẹn của cả hai không lệch quá 20 phút, nghĩa là |x −y|≤20,
do đó A chính là tập hợp các điểm trong phần tô đậm,
A = {(x; y) ∈ Ω

|x − y|≤20}.
Xác suất để hai người gặp nhau là
P (A)=
S(A)
S(Ω)
=
60
2
− 40
2
60
2
=
5
9
.