'
''
'4

 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

a) Quy tắc cộng xác suất:
Nếu các biến cố A
1
, A
2
, …, A
n
liên quan đến phép
thử T và xung khắc từng đôi một, thì
∑
=






∪
=
=
n
i
ii
n
i

( )
( ) ( )
( ) ( )
.
n
n
kji
kji
ji
ji
n
i
ii
n
i
AAAPAAAPAAP
APAP
LL
21
1
1
1
1
−
<<<
=
=
−++
∑
+

Giải
A = “Ngày đó có mưa thật to”,
B = “Ngày đó có gió thật lớn”
⇒ AB = “Ngày đó có bão”.
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB)
=
365
80
365
20
365
40
365
60
=−+ . ☺
☺☺
☺ Ví dụ
Chọn ngẫu nhiên 3 người X, Y, Z. Tính xác suất để
trong đó có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh nhật.
Giải
A = “Có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh nhật” ⇒
A
= “Cả 3 người đều có ngày sinh nhật khác nhau”.

Ký hiệu x, y, z tương ứng là ngày sinh nhật của X,
Y, Z thì mỗi (x, y, z) với 1≤ x, y, z ≤ 365 là một kết
quả.

Có những biến cố mà sự xảy ra của chúng có ảnh
hưởng nhau.
Ví dụ Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 3 con.
Tính xác suất để gia đình này có hai con trai trong
mỗi trường hợp sau:
i) Nếu không biết số con gái của gia đình này;
ii) Nếu được thông báo gia đình này có đứa con
cả là con gái.
Giải
A
1
:= “Gia đình đó có đứa con cả là con gái”.
A
2
:= “Gia đình đó có 2 con trai”,
Ω = {TTT, TTG, TGT, GTT, TGG, GTG, GGT, GGG},
2
A
Ω
= {TTG, TGT, GTT},
nên P(A
2
) = 3/8.
Nếu biết rằng A
1
đã xảy ra thì không gian mẫu bây
giờ thu hẹp lại chỉ còn là


Trong bài toán này ta thấy rằng khả năng để gia
đình đó có hai con trai phụ thuộc vào việc biết biến
cố A
1
đã xảy ra hay chưa. Điều này dẫn tới khái
niệm xác sut có điu kin. Nhưng nên định nghĩa
xác suất có điều kiện như thế nào ?
Xem lại lời giải của ii) ta có
( )
( )
1
21
1
21
1
21
4
1
AP
AAP
A
AA
A
AA
=


1
)>0 thì xác suất có điều kiện của A
2

khi A
1
đã xảy ra, ký hiệu là
(
)
1
2
A
A
P
/
, được cho
bởi
( )
(
)
( )
1
21
12
AP
A
A
P
AAP =/ .


Ω
= {(i, j)| i và j ∈ {1, 2, 3, 4, 6}}.
Ω
AB
= {(2, 5), (5, 2)}
⇒P(A) =
(
)
AP
−
1
=
36
11
6
5
1
2
=






− và P(AB)
36
2
=
⇒

P
AAP =/ ,
ta suy ra

Quy tắc nhân xác suất
Nếu P(A
1
) > 0, thì P(A
1
A
2
) = P(A
1
)P(A
2
/A
1
). Mở rộng công thức P(A
1
A
2
) = P(A
1
)P(A
2
/A
1

)⋅⋅⋅P(A
n
/A
1
A
2
⋅⋅⋅A
n-1
). Chứng minh
Từ A
1
A
2
⋅⋅⋅A
n-1
⊂ A
1
A
2
⋅⋅⋅A
n-2
⊂ ⋅⋅⋅⊂ A
1
ta có

≤
<
−
−
KLL .
Vì vậy, ta có thể áp dụng công thức tính xác suất có
điều kiện để có:

P(A
2
/A
1
) = P(A
1
A
2
) / P(A
1
)
P(A
3
/A
1
A
2
) = P(A
1
A
2
A

/A
1
A
2
⋅⋅⋅A
n-1
) = P(A
1
A
2
⋅⋅⋅A
n
) / P(A
1
A
2
⋅⋅⋅A
n-1
) Từ đây ta suy ra
P(A
2
/A
1
)P(A
3
/A
1

kiểu mỗi lần rút không hoàn lại và kiểm tra. Nếu tất
cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô hàng được nhận.
Tìm xác suất để lô hàng này được nhận.

Giải
H = “Lô hàng được nhận”,
A
i
= “Sản phẩm rút ở lần thứ i là tốt”, (i = 1, 2, 3, 4)
H = A
1
A
2
A
3
A
4
⇒
P(H) = P(A
1
A
2
A
3
A
4
)

= P(A
1

☺