2/19/2019

Chương 4

Yêu cầu
•
•
•
•
•

Biến ngẫu nhiên hai chiều
rời rạc

nguyenvantien0405.wordpress.com

1

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Phân phối xác suất đồng thời
Phân phối lề (tính từ ppxs đồng thời)
Phân phối xác suất điều kiện
Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên
Các tham số đặc trưng

Khái niệm

Ví dụ 1

• Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu


…

ym

∑

x1

p11

p12

…

p1j

…

p1m

p1●

x2

p21

p22

…

…
pn2

…
…

…
pnj

…

xn

…
pn1

…

…
pnm

…
pn●

∑

p●1

p●2



 x , y A

p X ,Y  x, y  ,

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

4

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

Hàm khối xác suất đồng thời

ii )

2

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

AS
5

Y

nguyenvantien0405.wordpress.com



ij

i 1 j 1

1

p X  x    p X ,Y  x, y   P  X  x  , x  S1
y

m

n

j 1

i 1

iii ) pi   pij ; p j   pij

• Phân phối lề của Y:
pY  y    p X ,Y  x, y   P Y  y  ,

y  S2

x

nguyenvantien0405.wordpress.com

7


S  1,1 , 1, 2  ,  2, 2 

a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời.
b) Hai biến ngẫu nhiên X, Y có độc lập?

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

9

nguyenvantien0405.wordpress.com

The Trinomial Distribution

10

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Ví dụ 3

• Sinh viên đọc thêm

X: chiều dài (mm)
Y:
chiều
rộng
(mm)



2


2/19/2019

Ppxs có điều kiện

Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy)

• Giả sử bnn 2 chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng
thời và các hàm khối xác suất thành phần:

• Kỳ vọng của X với điều kiện Y=y (còn gọi là hồi quy
của X theo Y khi Y=y)

p X ,Y  x, y  ;

pX  x  ;

pY  y 

E  X | Y  y    x. p X | y  x    X | y

• PPXS điều kiện của X khi cho Y=y là:
pX  x | y  

x

p X ,Y  x, y 


V  X | Y  y    x2 . pX | y
y

X: chiều dài (mm)

 .p  x
 x     

V  X | Y  y    x  X y

Y:
chiều
rộng
(mm)

2

X |y

2

X y

2
X y

• Tương tự cho Y.

nguyenvantien0405.wordpress.com

16

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Ví dụ 5

Ví dụ 6

• Chọn ngẫu nhiên 2 cục pin, không hoàn lại, từ 12
cục pin, trong đó bao gồm 3 cục mới, 4 cục đã sử
dụng và 5 cục bị hỏng.
• Gọi X là số pin mới được chọn.
• Gọi Y là số pin đã sử dụng được chọn.
• Lập bảng ppxs đồng thời của (X,Y)
• Tìm E(X), E(Y)

• Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác
suất:

Y

X
1
2

1

2

3


Ví dụ 8

• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên
(X,Y) cho bởi bảng sau:

• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên
(X,Y) cho bởi bảng sau:

Y

X

1

2

3

X

6
0,10
0,05
0,15
7
0,05
0,15
0,10
8


Y

20

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

Ví dụ 9

Ví dụ 9

• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y
(triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồng
thời như sau:

• Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì chi
phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu?

Y

X

500
700
900
(400-600) (600-800) (800-1000)

30


• Lãi suất cổ phiếu tính trên 100 USD khi đầu tư vào hai
ngân hàng A và B trong 1 năm tương ứng X, Y )(đơn vị %)
có ppxs đồng thời như sau:

Y
X

-1
4
8

-2

5

10

0,10
0,15
0,05

0,05
0,20
0,05

0
0,05
0,35


0
0,05
0,35

X

-1
4
8

• B) Khi Y=5% tính lãi cổ phần trung bình của X?
• C) X và Y có độc lập nhau không
• D) Lập bảng ppxs của T=X+Y. Tìm E(T), V(T)

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

24

4


2/19/2019

Kỳ vọng của hàm theo X,Y

Ví dụ 11

• Cho X,Y có phân phối đã biết. Đặt Z=h(X,Y) là biến

0,25

0,15
0,20

0,1
0,2

• Tìm kỳ vọng của h(X,Y)=X.Y2

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

25

Ví dụ 12

(0;0)
0,1

26

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Hiệp phương sai (Covariance)

• Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau:

(X,Y)

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Tính chất Covariance 1

Ví dụ 13

1) cov  X , Y   cov Y , X 
2) cov  X , X   V  X 
3) cov  X  X ', Y   cov  X , Y   cov  X ', Y 

Y
X

4) cov  kX , Y   k cov  X , Y 

-1
4
8

5) cov  aX  c, bY  d   ab cov  X , Y 

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

29

nguyenvantien0405.wordpress.com

-2

hiệu Corr(X,Y) và định nghĩa bởi cơng thức:

6) Nếu X và Y độc lập thì cov  X , Y   0,
ngược lại không chắc đúng.

Corr  X , Y  

7) V  X  Y   V  X   V Y   2 cov  X , Y 
8) V  aX  bY   a 2V  X   b 2V Y   2ab cov  X , Y 
9) cov  X , Y    V  X  .V Y 
2

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

  X ,Y  ; r  X ,Y 

31

nguyenvantien0405.wordpress.com

  X ,Y nếu ab>0
iii )  aX  c ,bY  d  
  X ,Y nếu ab0
nếu a
tính càng chặt.
• Khi |ρX,Y| càng gần 0 thì mức độ quan hệ tuyến
tính càng yếu.
• Khi ρX,Y = 0 ta nói X và Y khơng tương quan.

ii ) Nếu X và Y độc lập thì  X ,Y  0.

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Ý nghĩa

i )  1   X ,Y  1 với mọi X, Y.

1
1

 XY

• Hệ số tương quan còn ký hiệu là:

Tính chất

 X ,Y  

cov  X , Y 

35