Bài 4.
Bài 4.
HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN VÉC TƠ,
HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN VÉC TƠ,
HẠNG CỦA MA TRẬN
HẠNG CỦA MA TRẬN

4.1. Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ.
4.1. Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ.
4.2. Hạng của ma trận.
4.2. Hạng của ma trận.
4.3. Cách tìm hạng của ma trận.
4.3. Cách tìm hạng của ma trận.

4.1 Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ
4.1 Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ
a. Định nghĩa.
a. Định nghĩa.
Cho một hệ gồm m véc tơ của không gian
Cho một hệ gồm m véc tơ của không gian
véc tơ V, m≥1. Số véc tơ của hệ con độc
véc tơ V, m≥1. Số véc tơ của hệ con độc
lập tuyến tính tối đại được gọi là hạng của
lập tuyến tính tối đại được gọi là hạng của
hệ véc tơ đã cho.
hệ véc tơ đã cho.
Hệ con độc lập tuyến tính tối đại

S
đều biểu thị
đều biểu thị
tuyến tính được qua hệ
tuyến tính được qua hệ
T
T
.
.

b. Hệ quả.
b. Hệ quả.
-
Hệ quả 1. Nếu thêm vào một hệ hữu hạn
Hệ quả 1. Nếu thêm vào một hệ hữu hạn
véctơ đã cho một tổ hợp tuyến tính của hệ
véctơ đã cho một tổ hợp tuyến tính của hệ
thì hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã
thì hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã
cho.
cho.
-
Hệ quả 2. Hai hệ hữu hạn véc tơ tương
Hệ quả 2. Hai hệ hữu hạn véc tơ tương
đương có cùng hạng.
đương có cùng hạng.

Định nghĩa: Hai hệ hữu hạn véc tơ của một
Định nghĩa: Hai hệ hữu hạn véc tơ của một
không gian véc tơ V được gọi là tương









=
aaa
aaa
aaa
mnmm
n
n
A

21
22221
11211
( )
( )
aaa
aaa
aaa
mnmmm
n

Hạng của ma trận bằng cấp cao nhất của
Hạng của ma trận bằng cấp cao nhất của
các định thức con khác 0 của nó.
các định thức con khác 0 của nó.
d. Hệ quả. Hạng của ma trận bằng hạng của
d. Hệ quả. Hạng của ma trận bằng hạng của
hệ vec tơ cột của nó.
hệ vec tơ cột của nó.

4.3. Cách tìm hạng của ma trận
4.3. Cách tìm hạng của ma trận
Tìm định thức con cấp cao nhất khác 0
Tìm định thức con cấp cao nhất khác 0
-
Giả sử đã tìm được định thức con D cấp s khác
Giả sử đã tìm được định thức con D cấp s khác
0.
0.
-
Xét tất cả các định thức con cấp s+1 chứa D.
Xét tất cả các định thức con cấp s+1 chứa D.
-
Nếu tất cả các định thức này đều bằng 0 thì
Nếu tất cả các định thức này đều bằng 0 thì
hạng của ma trận bằng s.
hạng của ma trận bằng s.
-
Nếu có một định thức con cấp s+1 khác 0 thì ta
Nếu có một định thức con cấp s+1 khác 0 thì ta
lại tiếp tục làm như trên cho tới khi tìm được một

6341
D

0
112
101
707
112
101
341
=
−
−
−
=
−
−

010
01
107
012
101
1007
012
101
641
≠−=
−
−

−=−=
−−−
=
−
−

Vậy hạng(D)= 3
Vậy hạng(D)= 3