1
C. V ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. ĐỊNH NGHĨA:
a. Định nghĩa:
Cho hai không gian vectơ E, F trên K.
Một ánh xạ
:
f
EF

 được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu
có các tính chất sau:
i.
,()()()
x
xEfxx fx fx
 
  

ii.
() ()
x
EK fxfx


    Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu không gian
vectơ.
 Tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính từ E đến F được ký hiệu

 Td2: Ánh xạ không

0:
0
F
E
F
x



 Td3: Ánh xạ

|
23
:
(, ) ( ,2, 3)
g
x
yxyxxy

  
 là một phép biến đổi tuyến tính của
3
 .
2
Vì:

    (,2,3)( ,2,3)
xy
xx
y
x
y
xx
y

 
    
() ()
g
u
g
v



2
(, )uxy

  


(0) 0
f
 vì () (0) 0()
f
O
f
O
f
OO

)
ii)
() ()
f
xfx

iii) 11
11
,, ,,
() ()
nn
nn
ii i i
ii
x
xE K
fx fx

, ,
n
bb là n vectơ nào
đó của F.
Khi đó, có một ánh xạ tuyến tính duy nhất f từ E vào F thỏa

()
1, ,
ii
f
ab
in






3
Chứng minh:

1
n
ii
i
x
Ex ta

 



thì :

1
11 1
,
() ( ) ( ) ()
n
ii
i
nn n
ii i i ii
ii i
xEx ta
gx g ta tga tb f x



 


 

Vậy
gf
 .

d. Mệnh đề 4:
Nếu
(, )

buv
f
cu.
Tính
(, ,)
f
x
y
z .
Bài làm:
a) ta có

110 110
101 0 11 10
012012
D 

nên a, b, c độc lập tuyến tính.
Mà
3
dim 3
, nên a, b, c là cơ sở của
3
 .

4
b)

3
(,,)uxyz 

f
       

(2)(22)[]( )
x
yzv x yzuv xyzu        (2 3 2 , 3 3 3 ,0)
xy
zx
y
z

3. ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.
a. Ảnh của ánh xạ tuyến tính.

Cho ánh xạ tuyến tính
(, )
f
Hom E F

.
Tập hợp
() {()/ }
f
EfxxE
được gọi là ảnh của ánh xạ
tuyến tính f.
Ký hiệu:

f
afa là một
họ sinh của
Im
f
.
Chứng minh:
Hiển nhiên
1
(), ,( )Im
n
f
afa f

.
Ngoài ra,
Im ( )
yf
xE
yf
x  
Vì
x
E nên
1
n
ii
i
x
a



Im
f
F

Thí dụ:
Cho phép biến đổi tuyến tính

33
:f (, ,) ( 2, , )
xy
zx
yy
zx
y
z



Tìm một cơ sở của
Im
f
.

() 21 1 011 011
()0 1 1 011 000
fe
fe
fe


 



,

suy ra một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của
12 3
(),( ), ()
f
efe fe là
12
(),( )
f
efe.
Đây là 1 cơ sở của
Im
f
.

 HẠNG CỦA AXTT:

Cho (, )

Ký hiệu:
ker
f

Thí dụ:
i)
ker0
E
 ,
ker 0
E
Id


ii) Cho ánh xạ tuyến tính

32
:
(, ,) ( , )
x
yz x y z y




(0,0,0) (0,0) 0 (0,0,0) ker



ker ( ) 0 (0) 0
x
ffx f x    
. Suy ra
ker 0
f


(
)

,()()()0
x
x E fx fx fx x

   ker 0 0
x
xf xx xx

  
.

 Hệ quả 9:
Cho (, )
f
Hom E F là một đơn cấu. Nếu

fa a f


  


1
00
n
ii i
i
ai




.
7
Vậy
1
( ), , ( )
n
f
afa
độc lập tuyến tính.

 Mệnh đề 10:
Cho
(, )
f

, ,
p
aa
đến một cơ sở
11
, , , , ,
p
pn
aab b

của E.
Ta cần chứng minh
1
( ), , ( )
pn
f
bfb

là cơ sở của
Im
f
.
Thật vậy:
 Vì
11
, , , , ,
p
pn
aab b


11
0() ()()
pp nni
f
bfbK


 
thì
11
0( )
p
pnn
f
bb



.
Suy ra

11
11 11
ker
pp nn
pp nn pp
bbf
bbaa



Do đó
dimIm dimker dim
ff
nppn E

  .

Mệnh đề 11:
Cho (,)
f
Hom E F và dim dim
E
Fn

 .
Khi đó, 3 điều sau tương đương:
i)
f đơn cấu
ii)
f toàn cấu
iii)
f đẳng cấu.

8
Chứng minh:
Ta biết
dimIm dim dimker
f
Ef
, do đó:








Giải:

3
(,,)uxyz 

ker ( , , ) 0uxyz


 

0
0
xy
yz










Ký hiệu:
E
F

b. TÍNH CHẤT:
E
E
EF FE
E
FFG EG



9
c. Mệnh đề 12:
Cho 2 không gian vectơ E và F.
dim dim
E
FEF 
.

5. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.

a. Định nghĩa:
Cho
(,)
f







Khi đó, ma trận 11 12 1
21 22 2
12
n
n
mm mn
tt t
tt t
A
tt t












12 3
(1,1,0), (0,2,2), (2,0,2)aa a 
của
3
 và cơ sở

12
(1,1), (1, 1)bb
của
2
 .
Bài làm:
Ta có :
12 3
( ) (2,0), ( ) (4, 2), ( ) (4,2)fa fa fa

 
Và
10

112
212
312
()
() 3
()3
f
abb
f
abb

1
( ) : , ,
n
aa a
là một cơ sở của E,

1
( ) : , ,
m
bb b là một cơ sở của F.
Giả sử ma trận của
f đối với cơ sở ()a và cơ sở ()b là

11 12 1
21 22 2
12
n
n
mm mn
tt t
tt t
A
tt t








1
m
y
Y
y













Khi đó ta có : Mệnh đề 13 : ()yfx YAXChứng minh
:
11











 ,
1
m
y
Y
y











 ,
ta có :


, 1, ,
n
ijij
j
yxtim




YAX


.

Thí dụ :
Cho phép biến đổi tuyến tính f của
3
 có ma trận đối với cơ sở
chính tắc của
3
 là :

10 1
21 0
10 0
A





Suy ra tọa độ của
()yfu

đối với csct là

10 12 1
21 0 3 7
10 0 1 2
YAX

  
  
 
  
  
  

12
Vậy
() (1,7,2)
f
u 
.

b)
Tương tự, tọa độ của (, ,)
xy
z đối với cơ sở chính tắc
là
x



Vậy
() ( ,2 ,)
f
uxzx
y
x  .

c)
Họ vectơ

1
2
3
() (1,2,1)
()(0,1,0)
( ) ( 1,0,0)
fe
fe
fe




là họ sinh của
Im
f
.
Và vì

sang
()

là T
o ma trận của f đối với cơ sở ()

là A.
o ma trận của f đối với cơ sở ()

là B.
Khi đó, ta có :

Mệnh đề 14 :

1
BT AT



13

Thí dụ :
Viết ma trận của phép biến đổi tuyến tính

33
:
(, ,) ( , , )
f
x
yz x y zy z xy

123
,,aa a
: 12 3
(, ,) ( ) ( ) ( 3 2)
x
yz z ya x y za x y za   
Do đó :
Vậy
12 1
(,()) 1 1 1
464
Mf a



























 Ma trận chuyển từ cơ sở ()
i
e sang cơ sở ()
i
a là
14

110
111
211
T






12 1
(,( )) 1 1 1
464
i
Mf a B T AT







  






6. KHÔNG GIAN VECTƠ
(,)
E
F
L
.
Mệnh đề 15 :



Mệnh đề 16 :
Cho 2 không gian vectơ
E và F trên trường K, với dim
E
n

,
dim
F
m . Khi đó:

(,) (,)
K
E
FMatmn
LChứng minh:
Chọn 1 cơ sở
1
( ) : , ,
n
aa a của E và 1cơ sở
1
( ) : , ,
m
bb b của F.


15

(,)
ij K
A
tMatmn

 


Đặt
1
, 1, ,
m
jiji
i
utbjn



.
Khi đó
!(,)(),
jj
f
EF f a u j  
L
,
Hiển nhiên
(,(),())


.
Cho vectơ
\0uE và số
K


.
Vectơ
u được gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị
riêng

nếu ()
f
uu


.

Thí dụ :

 Cho

33
:
(,,) ( , , )
f
x
yz x yy zz x



Ta thấy :

(1, 2)v  là 1 vectơ riêng của g vì
( ) (1,2) (3,6) 3(1,2) 3
g
v
g
v. Giá trị riêng tương ứng là
3

 .
16
NHẬN XÉT :
Giả sử
1
( ) : , ,
n
aa a
là 1 cơ sở của E và
(,())
A
M
f
a
.
Nếu
uE
là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng







 







. Thí dụ :
Cho
211
020
112
A






, vectơ
3

thì
1
, ,
k
uu
độc lập tuyến tính.

c. ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA MA TRẬN VUÔNG

 Cho ma trận vuông A cấp n. Khi đó :
Đa thức
() det( )
n
PAI



 được gọi là đa thức đặc
trưng của ma trận
A.
17
Thí dụ :
Đa thức đặc trưng của
12
10
A






.
Vậy hệ phương trình thuần nhất
()0
n
AIU




có
nghiệm không tầm thường (vì 0
u

), suy ra
det( ) 0
n
AI



, nghĩa là


là nghiệm của đa thức đặc
trưng
() det( )
n
P
AI


là giá trị riêng của A.
o
Giải hệ thuần nhất
()0
n
AIU




. Nghiệm khác 0
của hệ này là vectơ riêng của
A.
Tất nhiên, ta chỉ cần xác định họ nghiệm cơ bản của
hệ là đủ để xác định tất cả vectơ riêng của
A.

Thí dụ :
Tìm vectơ riêng của
001
010
100
A







.

 1:


Xét hệ phương trình

10 1
000 0()
10 1
x
yI
z









()
xt
Iyr
zt






101
020 0()
101
x
yII
z







() 0
x
t
II y
zt












TAT


.
Như vậy 2 ma trận của cùng 1 phép biến đổi tuyến
tính luôn luôn đồng dạng.

 MA TRẬN CHÉO :

Ma trận chéo là một ma trận vuông có dạng 11
22
00
00
00
nn
a
a
a












Thí dụ :
Ma trận
001
010
100
A











là chéo hóa được, vì theo trên
20
ta có
12
(1,0,1), (0,1,0)uu


,
3
(1, 0, 1)u



   


   




   


21
BÀI TẬP CHƯƠNG 5
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1.
Cho E và F là các không gian vectơ trên trường K và ánh xạ
:
f
EF

 .
Chứng minh 3 mệnh đề sau tương đương:
a.
f là ánh xạ tuyến tính.
b.

  2.
Chứng minh các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính:
a.

32
:f |
(, ,) ( , )
x
yz x y zx z

 
b.

34
:f 

|
(, ,) (, , , )
x
yz zy z xx y


c.


Trong các ánh xạ trên, cái nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu?

3.
Cho các vectơ
12 3 4
(1,1,1), (2, 1,1), (0,3,1), (0,1,1)aa a a 
và
các vectơ
12 3 4
(2,1,1), (5,2,0), ( 1,0,2), (1,2,0)bb b b 
trong
3
 .
Chứng minh có một phép biến đổi tuyến tính duy nhất
f
của
3

mà:
() , 1,2,3,4
ii
fa b i .

4.
Tìm hạng của các ánh xạ tuyến tính ở câu 2).

5.
Cho ánh xạ
33
:f 

( 1,1,0), (0, 1,1), (1,0,1)aa a   
của
3
 .
6.
Cho phép biến đổi tuyến tính f của
4
 . Biết f biến cơ sở chính tắc
1234
,,,ee e e của
4
 thành các vectơ
12
( ) (1,0,1,0), ( ) (1,1,1,1)fe fe ,
3
()(0,1,0,1)fe

và
4
( ) ( 2,1,0,1)fe 
.
a.
Tìm hạng của f.
b.
Cho
4
(,,,)uxyzt
. Hãy xác định
()
f

a
   

của
4
 .

7.
Cho phép biến đổi tuyến tính

|
(, ,)
33
2
:
(, , )
xyz
f
x
yzxmyzxymz




trong đó m là một tham số thực.
A)
a.
Viết ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của
3


13 1
35 1
33 1
A






 







.
1. Tính
(, ,)
f
xyz
.

2.
Chứng minh f là một đẳng cấu.
3.
Viết ma trận của f đối với cơ sở
(1,1,1), (1,1,0), (1,0, 3)ab c .









,
201
110
113






,
51725
2916
159










  




 .