Chơng 5
ánh xạ tuyến tính
5.1 ánh xạ tuyến tính
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa: Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên
cùng một trờng K. ánh xạ f: E F đợc gọi là ánh xạ tuyến
tính, một đồng cấu hay một toán tử tuyến tính nếu:
(i) x,yE: f(x+y)=f(x)+f(y)
(ii) xE và tK : f(tx)=tf(x)
hoặc (iii) x,yE, t,sK: f(tx+sy)=tf(x)+sf(y)
f: EE gọi là tự đồng cấu hay phép biến đổi tuyến tính trên E.
f: EK gọi là dạng tuyến tính, hoặc phiếm hàm tuyến tính.
2. Các phép toán trên ánh xạ tuyến tính
f: E F và g: E F
Phép cộng: (f+g)x=f(x)+g(x)
Phép nhân với một số: (f)x=f(x)
Tích của các ánh xạ tuyến tính
Cho f: EE1, g: E1F khi đó (gof)(x)=g(f(x))
Tổng các ánh xạ tuyến tính, tích một số với một ánh xạ tuyến
tính, và tích các ánh xạ tuyến tính đều là các ánh xạ tuyến tính.
3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Cho I={e
1
,e
2
, ,e
n
} là một cơ sở trong E, W={
1
,
2
của hệ { f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
) } trên cơ sở W gọi là ma trận của ánh
xạ tuyến tính f trên {I,W}.
Ma trận của tự đồng cấu f:E E trên cơ sở {I,I} là ma trận
vuông.
Chú ý: Khi thay đổi cơ sở {I,W} ma trận của f sẽ thay đổi.
177
4. Biểu thức dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính
Định lý: Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng tr-
ờng K và dim(E)=n, dim(F)=m, khi đó trên mỗi cặp cơ sở {I,W]
mọi ánh xạ f(x) đều có dạng: f(x)=A.x
trong đó A là ma trận của f trong cơ sở {I,W}.
Ngợc lại mỗi ma trận A=(a
ij
)
m
ì
n
trên cơ sở {I,W} xác định duy
nhất một ánh xạ f(x)=Ax mà A là ma trận của f.
Hệ quả : Nếu A và B tơng ứng là ma trận của các ánh xạ f và
g khi đó:
1. Ma trận của f+g là A+B.
2. Ma trận của t.f là t.A.
0
e
2
=
0
1
0
e
3
=
1
R
2
3. Chứng tỏ các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận
của f trong cơ sở chính tắc, biểu diễn f dới dạng ma trận.
a. f(x,y,z)=(2x-y,x+3y-5z,y-z)
b. f(x,y,z)=2x-3y+5z
c. f(x,y)=(x+2y,2x-y,x+y)
d. f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+4z,x+y)
e. f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+z,x+y)
4.a. E=L[0,1]={x=x(t):x(t) hàm liên tục trên [0,1]}. Chứng tỏ:
f: ER: f(x)=
x t dt( )
0
1
là một phiếm hàm tuyến tính.
178
b. Trên P
3
(t)}={x(t)= a
0
+a
2
(t)={x(t)=a
0
+a
1
t+a
2
t
2
}
Tìm ma trận của chúng trên cơ sở {1,t,t
2
} và trên cặp cơ sở
I={1,t,t
2
} và W= {1,1+t,(1+t)
2
}.
6. Chứng tỏ các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của
chúng trên các cặp cơ sở tơng ứng.
a. f(a+bt)=a+b+(a-b)(1+t)+(a+2b)(1+t)
2
b. f(a+bt+ct
2
+dt
3
)=a-d+(b-c)(1+t)+(a+b+c+d)(1+t)
2
c. f(a+bt+ct
2
=
wvu
zyx
A
xác định bởi: f(a+bt+ct
2
+dt
3
)=
+
dcdc
baba
2
2
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính. Tìm ma trận của f.
8. Cho
+
acac
baba
2
2
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của f, biểu diễn f
dới dạng ma trận.
9. Cho
f: M
2x3
=
2
179
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của f.
10.Trên không gian
22ì
M
các ma trận cấp 2x2, với X=
uz
yx
, cho f(X)=
03
21
X . Tìm ma trận của f trên
cơ sở chính tắc.
dc
ba
xác định bởi:
a.
wvu
zyx
f
f
=
++
++
wvyz
yxvu
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của f.
12. Trong R
2
chứng tỏ phép quay một góc là một tự đồng
cấu, tìm ma trận của nó.
13. Cho các ánh xạ:
f:R
4
R
3
với f(x,y,z,u)=(x+y+u,x+y+z,y-z+u)
g:R
3
R
2
với g(x,y,z)=(2x+z,x-y+z)
3
)=(1,-1)
Vậy ma trận của f là:
180
2 1 1
1 0 1
Chú ý: Ta thấy ma trận của f có các hàng tơng ứng là các hệ
số của x,y,z trong biểu thức của các toạ độ kết quả
b. Ta có f(e
1
)=(2,1) =
1
+
2
=
1
1
f(e
A=
1 1 2
1 0 1
3.a. Viết vế phải thành véc tơ cột ta đợc
f(x,y,z)=
+
zy
zyx
yx
53
2
=
2 1 0
1 3 5
0 1 1
b. f(x,y,z)=(2 -3 5)
z
y
x
z
y
x
011
412
121
e. f(x,y,z)=
x t dt( )
0
1
+
y t dt( )
0
1
=f(x)+f(y)
181
nên f là một phiếm hàm tuyến tính trên E.
b. Trên cơ sở I={1,t,t
2
,t
3
} ta có:
f(1)=
dt
0
1
=1, f(t)=
tdt
0
1
=
2
1
1
)
5. a. Dễ dàng kiểm tra f là tự đồng cấu.
Trên cơ sở {1,t,t
2
} ta có:
f(1)=1+t=(1,1,0), f(t)=1+t
2
=(1,0,1), f(t
2
)=-t+2t
2
=(0,-1,2)
Vậy ma trận của f là:
A=
210
101
011
Trên cặp cơ sở I={1,t,t
210
521
320
6. a. Trên cặp cơ sở {1,t} và {1,1+t, (1+t)
2
} A=
21
11
11
b. Trên cơ sở {1,t,t
2
,t
3
} và {1,1+t, (1+t)
2
} A=
110
101
011
100
d. Trên cơ sở {1,t}và {1,t,t
3
} A=
32
11
11
e. Trên cơ sở {1,t,t
2
,t
3
++++
+++++
)'(2'''
)'(2'''
ddccddcc
bbaabbaa
=
+
dcdc
baba
2
2
+
+
dcdc
baba
2
2
=f(x)
hay f là ánh xạ tuyến tính. Ta có
f(1)=
000
101
f(t)=
200
000
Vậy trên cơ sở {1,t,t
2
,t
3
} và cơ sở chính tắc của các ma trận
cấp 2x3 ánh xạ f có ma trận
A=
021
010
001
183
9. A=
111000
001100
000111
10. Ta cã:
f(e
1
)=
2
)=
03
21
00
10
=
00
=
00
02
=2e
1
=(2,0,0,0)
f(e
4
)=
03
21
0030
0003
2010
0201
11. a.
110000
001100
001100
x
y
'
'
=
cos sin
sin cos
x
y
111
102
Vậy ma trận của gof là
A=G.F=
2210
3132
14. A=
)}
và dim(Im(f))=dim(L{f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
)}=r(A)
3. Cơ sở của Im(f) là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại
của {f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
)} hay hệ ứng với các cột cơ sở của A.
4. Hạng r(f)=dim(Im(f))=r(A).
185
2. Nhân của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 5.5: Nhân của ánh xạ tuyến tính f: EF:
Ker f={ xE| f(x)= F}
Hệ quả :
1. Nếu f có ma trận A thì: Ker f={ xE | Ax= F}
đó là tập các nghiệm của hệ phơng trình thuần nhất
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
n n
n n
m m mn n
r
rr
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
0
1
0
2
22
21
2
rr
r
r
r
x
x
1
2
0
0
1
với x
k
=(x
1k
,x
2k
, ,x
rk
) k=r+1,r+2, ,n , là nghiệm của hệ:
Định nghĩa: f: EF đợc gọi là đơn cấu nếu nó là một đơn
ánh hay từ f(x)=f(y)x=y.
Định lý: f: EF là một đồng cấu giữa hai không gian tuyến
tính hữu hạn chiều . Khi đó các mệnh đề sau tơng đơng:
1. f là đơn cấu
2. Ker(f)= { }
3. ảnh của mọi hệ véc tơ độc lập tuyến tính là một hệ
độc lập tuyến tính.
4. ảnh của một cơ sở là một hệ độc lập tuyến tính.
5. r(f)= dim(E).
Hệ quả : f có ma trận A, f là đơn cấu r(A)=dim(E).
3. Đẳng cấu
Định nghĩa: f: EF đợc gọi là một đẳng cấu nếu nó là toàn
cấu và đơn cấu.
Nếu F=E thì f đợc gọi là một tự đẳng cấu trên E.
Định nghĩa: Hai không gian tuyến tính E và F đợc gọi là đẳng
cấu nếu tồn tại một đẳng cấu f từ không gian này lên không gian
kia.
Định lý: E và F đẳng dim(E)=dim(F).
Hệ quả
1. f: E F đẳng cấu f biến cơ sở của E thành cơ sở của F.
2. Nếu đẳng cấu f: EF có ma trận A thì det(A)0 và nghịch
đảo f
-1
cũng là một đẳng cấu và có ma trận A
-1
.
4. Không gian véc tơ đối ngẫu
a. Không gian các ánh xạ tuyến tính L(E,F)
Với E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng một trờng
ij
)
mxn
trong đó phần tử
a
ij
=1, các phần tử còn lại bằng không.
b. Không gian véc tơ đối ngẫu
Nếu F=K thì L(E,K) đợc gọi là không gian véc tơ đối ngẫu
của của E và ký hiệu: E*=L(E,K)
Giả sử dim(E)=n và U={u
1
,u
2
, ,u
n
} là một cơ sở của E, ký
hiệu: W={
i
(x
1
,x
2
, ,x
n
)=x
i
} (i=1,2, ,n)
Định lý: Tập W gồm n ánh xạ tuyến tính
i
n
)=x
i
,i=1,2,,n}
là phép chiếu thứ i trong R
n
.
Theo định nghĩa cơ sở đối ngẫu ta có: p
i
=
i
(i=1,2, ,n).
Nh vậy n phép chiếu trong R*
n
tạo thành cơ sở đối ngẫu của cơ
sở chính tắc trong R
n
do đó mọi phiếm hàm tuyến tính trên E
đều biểu diễn duy nhất qua hệ P các phép chiếu.
B. Bài tập
1. Tìm cơ sở của dim(f) và Ker(f) của các ánh xạ tuyến tính
sau:
a. f(x,y,z)=(2x+3y-z,y+z,2x+4y)
b. f(x,y,z)=(2x-y,x+3y-5z,y-z)
c. f(x,y,z)=2x-3y+5z
d. f(x,y)=(x+2y,2x-y,x+y)
e. f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+4z,x+y)
f. f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+z,x+y)
Phân loại toàn cấu, đơn cấu và đẳng cấu của các ánh xạ đó.
2. Cho : f(x
xxxy
xxxxy
b.
+=
+=
+++=
4213
3212
43211
33
2
xxxy
xxxy
xxxxy
4 c.
++=
+++=
43212
543211
22
352
xxxxy
+=
+=
+=
=
+=
3215
3214
3213
212
3211
63
22
52
3
xxxy
xxxy
xxxy
xxy
xxxy
6 Phân loại toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu của các ánh xạ đó.
3. Ký hiệu M
nxm
là không gian các ma trận cấp nxm trên R.
Xét các ánh xạ xác định nh sau:
12
20
12
X
8 c. f:M
2x2
M
2x2
: f(X)=
24
12
X
Tìm ma trận của f, chiều và một cơ sở của Im(f) và Ker(f).
Phân loại toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu của các ánh xạ đó.
4. Cho ánh xạ f: P
3
(t)P
1
(t) xác định bởi:
f(a
0
P
3
(t): f(a,b,c)=a+bt+ct
2
+(a+b+c)t
3
b. f :R
3
P
3
(t): f(a,b,c)=a-b+(b-c)t+(c-a)t
2
+(a+b+c)t
3
c. f : P
2
(t) R
4
: f(a+bt+ct
2
)=(a+b,b+c,a+c,a+b+c)
d. f : P
3
(t) R
3
: f(a+bt+ct
2
+dt
3
)=(a-d,b-c+d,a+b-d)
=
wvu
zyx
A
189
xác định bởi: f(a+bt+ct
2
+dt
3
)=
+
dcdc
baba
2
2
Tìm cơ sở của Im(f) và cơ sở của Ker(f).
7. Cho các ánh xạ
a. f: P
+
+
aba
bac
c. f: P
2
(t) P
2x2
: f(a+bt+ct
2
)=
0
0
ab
ba
d. f: P
2
(t) U
2x2
ba
=c+(a+b)t+(d-c)t
2
f. f: M
2x2
P
2
(t): f
dc
ba
=c+d+(a+b+c)t+(d+c)t
2
Tìm ma trận của f, chiều và một cơ sở của Im(f) và của Ker(f).
Phân loại toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu của các ánh xạ đó.
8. Cho các ánh xạ:
a. f: M
2x2
D
2x2
: f
dc
ba
=
+
c
dab
0
c. f: D
2x2
M
2x2
: f
c
ba
0
=
++ cbca
b 0
ánh xạ nào là toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu?
9. Cho f: E E
190
a. Chứng tỏ rằng nếu {
1
, ,
p
} là cơ sở của Ker(f) và
{
1
, ,
p
t+a
2
t
2
+ +a
n
t
n
} cho f: P
n
(t)P
n-1
(t)
là phép lấy đạo hàm:
x(t)=a
0
+a
1
t+a
2
t
2
+ +a
n
t
n
x(t)=a
1
+2a
2
n
(t)={x(t)=a
0
+a
1
t+ +a
n
t
n
} với x(t)=a
0
+a
1
t+ +a
n
t
n
cho: f: P
n
(t) P
n+1
(t) là phép lấy tích phân:
f(x())=
t
dx
0
)(
= a
là tập các
ma trận các tam giác trên cấp ba.
D
3x3
=
=
fec
edb
cba
X
Cho f:D
3x3
U
3x3
xác định bởi:
191
f(X)=
+
+++
f
edd
cbabaa
00
0
Chứng tỏ f là một đẳng cấu từ D
3x3
vào U
3x3
, tìm ma trận của f
-1
trong F thì f là một đơn cấu.
c. Nếu hệ {f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
)}là một cơ sở của F thì f là một
đẳng cấu.
d. Hạng {e
1
,e
2
, ,e
n
} hạng {f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
)}.
17. Chứng minh rằng phép lấy chuyển vị của ma trận:
A=(a
ij
)
m
ì
n
A=(a
với f(x,y)=(x+y,x-2y,2x+y)
g: R
3
R
4
với g(x,y,z)=(x-z,y+z,x+y,x+y+z)
192
Tìm một cơ sở của Im(gof) và một cơ sở của Ker(gof), gof có là
đơn cấu không?
21. Cho các ánh xạ:
f: M
2x2
M
2x2
với f(X)=
X
42
21
g:M
2x2
D
2x2
R
3
với f(x,y,z,u)=(x+y+z,x+y+u,y+z+u)
g: R
3
R
2
với g(x,y,z)=(x-y,y+z)
Tìm một cơ sở của Im(f)Ker(g).
23. Cho các ánh xạ tuyến tính:
f: R
2
R
3
với f(x,y)=(x+2y,x-y,2x+y)
g: R
3
R
4
với g(x,y,z)=(x+y,2x+y-z,x-z,y+z)
Tìm một cơ sở của Im(f)Ker(g).
24. Cho các ánh xạ tuyến tính:
f: M
2x2
D
2x2
với
ba
g ++++++=
Tìm một cơ sở của Im(f)Ker(g).
C. Lời giải hớng dẫn hoặc đáp số
1. a. Trên cơ sở chính tắc f có ma trận:
A=
2 3 1
0 1 1
2 4 0
Vì r(A)=2, và hai cột bất kỳ đều là các cột cơ sở nên hai véc
tơ tơng ứng bất kỳ đều là cơ sở của Im(f).
x
x
=
0
0
0
cã mét nghiÖm c¬ së lµ u=(-2,1-1), vËy Ker(f)= L{u} vµ
dim(Kerf)=1.
b. dim(Im f)=3, c.s cña Im f lµ mét c¬ së bÊt kú cña R
3
.
Kerf={θ}, f lµ tù ®¼ng cÊu.
c. A=(2 -3 5) c.s Im(f):(2) c.s Ker(f):
−
11
12
21
c.s Im(f):
1
2
1
,
1
2
1
−
1
1
2
−
1
2
1
−
1
1
2
−
0
−
1
1
1
− 2
2
2
−
−
3
1
2
−
−
1
1
1
0
1
c.s Ker(f):
0
0
2
5,3
− 2
0
0
5,0
1
d. A=
−−
−
1
2
2
2
−
221
521
013
111
c.s Im(f):
3
1
1
3
1
−
1
2
5
0
1
Ker(f)={θ}
3. a. Trªn c¬ së chÝnh t¾c cña M
3x2
ta cã:
=
00
00
20
00
01
00
f
=
01
00
00
f
=
− 01
02
101000
010100
200020
020002
, r(A)=4 nên f là toàn
ánh. Một cơ sở của Im(f) là cơ sở bất kỳ của D
2x2
. Dim(Kerf)=2,
một cơ sở của Kerf là:
0210
1002
0020
2000
0210
1002
, r(A)=4, f là đơn ánh, Kerf={}.
c. A=
1111
0111
r(A)=2 vậy dim(Imf)=2, dim(Kerf)=2.
Im(f)=L{1+t ,-1+t}={(a-b)+(a+b)ta,bR}.
Vì hai cột đầu là hai cột cơ sở nên để tìm các véc tơ cơ sở của
Ker(f) ta đi giải các hệ:
Với k=3 chọn x
3
=-1, x
4
=0 đợc hệ:
196
=+
=
1
1
21
21
xx
xx
có nghiệm x
3
hay Ker(f)=L{-t-t
2
,1+ t-2t
3
}={b+(b-a)t-at
2
-2bt
3
a,bR}
5. a. A=
111
100
010
001
, r(A)=3 nên f là đơn ánh. dim(Im f)=3,
011
, r(A)=3 nên f là đơn ánh. dim(Im f)=3,
một c.s của Imf là {1-t
2
+t
3
,-1+t+t
3
,-t+t
2
+t
3
}, hoặc {1,-1+t, -t+t
3
},
Kerf ={}.
c. A=
.
197
e. A=
110
011
, r(A)=2, f là toàn ánh. dim(Im f)=2.
dim(Kerf)=1, một cơ sở của Im f là {1+t+t
2
}.
6. Ta có
f(1)=
000
200
000
Vậy trên các cơ sở {1,t,t
2
,t
3
} và cơ sở chính tắc của các ma
trận cấp 2x3 ánh xạ f có ma trận:
A=
000
210
,
101
000
,
200
000
7. a. A=
10
10
,
10
01
. Kerf={}.
b. A=
, f(t
2
)=
00
00
vËy ma trËn
cña f lµ A =
( )
011 −
, r(A)=1, f lµ toµn cÊu. C¬ së cña Im
f lµ
− 01
10
, dim(Kerf)=2, mét c¬ së cña Kerf lµ {1+t, t
10
01
, vËy ma trËn cña
f lµ A=
111
011
100
, r(A)=2, f kh«ng ®¬n cÊu , kh«ng toµn
cÊu. dim(Im f)=2, mét c¬ së cña Im f lµ
00
10
=t, f
01
00
=1-t
2
, f
00
11
.
f. A=
1100
0111
1100
, r(A)=2, dim(Im f), mét c¬ së cña Im f lµ
{t,1+t+t
2
}. dim(Kerf)=2, mét c.s cña Kerf lµ
−
01
10
00
01
, f
=
00
01
00
10
,
=
01
10
10
00
f có ma trận A=
0100
1001
0010
, r(A)=3, vậy f là toàn ánh.
b. A=
101
011
010
, r(A)=3, f là đơn ánh.
d. A=
110
101
010
, r(A)=3, f là song ánh.
9. a. Vì
1
, ,
p
Kerf nên
r(f)=r{f(
1
), ,f(
p
),f(
p+1
3120
1302
1211
2111
r(A)=2, dim(imf)=2, và một cơ sở của im(f) là
Hệ phơng trình
200
3120
1302
1211
2111
0
0
0
0
có hệ nghiệm cơ sở là :
1
=
0
1
1
3
,
2
20
01
31
13
vì hai hàng bất kỳ của B đều là hàng cơ sở nên có thể bổ xung
hai véc tơ bất kỳ trong hệ chính tắc của R
4
vào {
1
,
2
} để đợc cơ
sở của R
4
, và mọi ảnh của cặp véc tơ bổ xung đều là cơ sở của
Im(f), đó là hai véc tơ cột bất kỳ của A.
10. a. Giả sử dim(Imf kerg)=k và Imf kerg có một cơ sở
là u
1
, ,u
k
thuộc W.
Do u
=+++++ )
1
1
1
1
k
k
s
s
xxvv
Ta có:
=++
k
k
uu
1
1
do đó
0
1
===
k
và do {
s
vv , ,
1
} độc lập tuyến tính ta có:
0
yker(g.f) g.(f(y))= f(y)Ker(g)
Do f(y) cũng thuộc Im(f) f(y)Im(f)Ker(g).
Vậy dim(Ker(g.f))=s+k =dimKerf+dim(ImfKerg)
b. Vì Im(f)Ker(g)Ker(g)
c. r(gof)=dim(E)-dim(Ker(gof))=
201
Copyright: Tài liệu đại học ©