BÀI TẬP CHUONG III
1. Cho
 
2 2
2
,
2
xy
f x y
x y


. Tính








2
2,1 ; 1,3 ; ,2 ; ,
f f f x x f x h y k
  
.
2. Cho


2
, , ln sin





, ln
f x y x x y
 
d)
 
2 2
9
,
x y
f x y
x y
 



e)
 
, cos
x
f x y arc
y

f)
 



2 2
2
, sin
2
x y
f x y y
y
 
 b)
 
 
2
2 2
,
x y
f x y
x y




c)
 
2 2
2 2
,
1 1
x y
f x y
x y

3
3
,
x y
f x y
y x
 

e)
 
2
, arctan
1
y
f x y
x


f)
 


2 2
, ln
f x y x x y
  
g)






,
xy
f x y ye
 b)




2 2
, ln 3 1
f x y x y
  

c)




, sin
x y
f x y e x y

 
d)
 
2 3
, ,
f x y z x y z

2
3
3 4
1,03
0,98. 1,05
d)
     
2 2 2
3,02 1,99 5,98
 
8. Tính đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau
a)


3 2
, 2
f x y x y x y
  b)




2
, cos 2 3
f x y x y
 
c)
 
 
3

, ,
xyz
f x y z e
 , tính
yzy
f

c)


, , sin
xy
f x y z e z
 , tính
zyx
f
d)




2 2 2
, , ln 2 3
f x y z x y z
   , tính
xyz
f

10. Trong các hàm số sau, hàm số nào thỏa mãn phương trình
0

u x y x xy
 
e)
 
2 2
, ln
u x y x y
 
f)


, cos cos
x y
u x y e y e x
 
 
11. Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình
2
tt xx
u a u

a)






, sin .sin
u x t kx akt

,
u x y
thỏa mãn phương trình
0
xy
u

.
13. Dùng quy tắc lấy đạo ham của hàm số hợp, tính
dz
dx
.
a)
3 3
z u v
 
, trong đó
2
, 1
x
u x v e
  

b)
2
1
z u v
 
, trong đó
, cos

c)
3
u v
z e

 , trong đó
2 2
,
u x y v xy
 
15. a) Chứng minh rằng hàm số
2 2 2
u x y z
  
thỏa mãn phương trình
2
xx yy zz
u u u
u
  
.
b) Chứng minh rằng hàm số


2 2
ln
z y x y
  thỏa mãn phương trình
2
1 1

  , tính
', ''
y y
b)
cos cos 1
x y y x
 
, tính
'
y

c)
1 0
y x
xe ye
  
, tính
'
y
d)


2
sin 0
xy x y y
   
, tính
'
y


y x
xe yz ze
  
, tính
,
x y
z z

17. Tìm cực trị của các hàm số
a)


2 2
, 2 2 2 2
f x y x y xy x y
    
b)


, sin
f x y x y

c)
   
1
, 47
2 3 3
x y
f x y xy x y
 

f x y xy x y
  
h)
   
2
2
, ln
f x y x x y
 
 
 

i)
   
, sin sin cos ,0 ,
4
f x y x y x y x y

     

j)




,
xy
f x y x y e
 
18. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số

2 6 4
2,1 , 1,3 , ,2
3 19 1 8
x
f f f x x
x

   

,
 


2 2 2 2
2 2 2
,
2 2 4 2
xy kx hy hk
f x h y k
x y hx ky h k
  
  
    
.
2.
2
1, , 2
4
g e


x y y x


c)
 


2 2
, 4 4
x y x y
 
d)
 


 


, 1 , 1
x y x x y y
   

e)
 


 


, 0 , 0

2 2
, 1 4
x y x y
  

i)
 


2 2 2
, , 1
x y z x y z
  
j)
 
, , 1
1 2 3
x y z
x y z
 
  
 
 

4. a) 1 b) Không tồn tại giới hạn
c) 1 d) Không tồn tại giới hạn
e) 2
5. a)
4 2 5
5 2



c)
2 2
2
x
xy
f
x y



 
2
2 2
2 2
2
ln
y
y
f x y
x y
  


d)
2
3
4
2

y
f x y e
 
  
f)
2
3 2
3
x
x y
f
y x
 

3
4
3 1
y
x
f
y x
  

g)
 
2
2 2
2
1
x

y
y
f
x y x x y

  

i)
 
 
2
1
tan 2
cos 2
xy xy
x
f ye x y e
x y
  


 
 
2
1
tan 2 2
cos
xy xy
y
f xe x y e

y
y y
f e xz e
x x x
 
sin
xyz
z
y
f e xy
x

l)
 
2
cos
x
zy y
f
x z
x z
 



cos
y
z y
f
x y x z

2
x y dx xydy
df
x y
 



c)


2
1
xy
df e y dx xy dy
 
  
 
d)
2 2
2 6
3 1
xdx ydy
df
x y


 

e)


h)






y x y z z x
df e ze dx xe e dy ye e dz
 
     
7. a) 9.99 b)
0.03

c) 1.05 d) 3.037 e) 1.027 f) 6.989
8. a)
2
6
xx
f xy
 ,
2
1
6
xy
f x y
y
  ,
3


2 2
2 2
3. 2
xx
x y
f
x y



,
2 2
3
xy
xy
f
x y


,


2 2
2 2
3 2
yy
x y
f
x y

    

9. a)
2
6 120
y xy
 b)


2
3 5
4 2
xy
y xy e

c)




2
cos sin
y y y y
a ax e e e a ax e
    d)


2 3 2
2
xyz






, ; ,
u x y f x g y f g
  là hai hàm số khả vi bất kì.
13. a)


7 2
6 3 1 2
x x x
x e e e
   b
 
2
2
sin cos
1 1 cos
1 cos
x
x
xe x x
x e x
x


  

z x y x xy y x y xy
 
   
 
;



 


 
2 2 2 2
4 sin 2 cos
y
z x y x xy x x y xy
 
   
 

b)
 


   


2 2
2 2 2 2
cos cos 2 sin sin 2

d)


2
6 2
2
1
y
x
y
x e x
z
x e



;
3
6 2
1
y
x
y
x e
z
x e



e)

2 2
2 4
3 1
xy x
y x


 

c)
'
x y
y
x y



,


 
2 2
3
2
''
x y
y
x y



y z
z
x y



,
y
x z
z
x y



h)


x
x y z
z
z x
 
 

,
y
y x
z
z x


y e

 

,
y
y
x
xe z
z
y e

 

k)
1
2
x
y z
z
y z
 

 
,
1
2
y
z
y z



0,2 2
f
 

f) Không có cực trị g) Cực đại
1 1 1
,
3 3 27
f
 

 
 

h) Cực tiểu


1, 0 0
f

i) Cực đại
3
,
6 6 2
f
 
 



Bài tập ứng dụng
1. Cho biết tổng chi phí để sản xuất một loại sản phẩm là
2
4000
( ) 1000C q q q
q
= + +

a. Tìm chi phí biên tế.
b. Xác định q để chi phí trung bình nhỏ nhất. So sánh chi phí biên tế và chi phí trung bình tại
giá trị trên.
2. Hàm cầu của một loại hàng theo giá có phương trình
400 2
D
Q p
= -
Tại điểm
40
p = khi giá tăng, doanh thu giảm hay tăng? Tìm mức giá để loại hàng trên không
co giãn.
3. Một xí nghiệp sản suất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm chi phí sản xuất:
1
4800
3
D
Q p
= - ;
2
4000 225

= -

Giá bán trên thị trường quốc tế là:
310
p =
Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để thu được nhiều thuế nhất.
6. Một công ty sản xuất độc quyền một loại hàng và có hai thị trường tiêu thụ tách biệt. Biết hàm
cầu trên hai thị trường và hàm tổng chi phí là:
1
1
380
D
Q P
= -
;
2
2
1
300
3
D
Q P
= - ;
2
20 90
C Q Q
= + +
a. Tìm mức sản lượng và lượng hàng phân phối trên các thị trường để xí nghiệp có lợi nhuận tối
đa.
b. Tìm lượng hàng phân phối trên các thị trường để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa, nếu xí nghiệp

( , ) 3 6 4
C C q q q q q q q q
= = + + + + +

Tìm mức sản lượng hai loại sản phẩm trên để công ty có lợi nhuận tối đa.
9. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại hàng hóa. Biết hàm cầu của xí nghiệp về hai loại
trên là:
1
1 2
1
(290 3 2 )
7
D
Q P P
= - + ,
2
2 1
1
(650 3 )
7
D
Q P P
= - +
a. Tìm mức sản lượng của xí nghiệp về hai loại hàng trên sao cho xí nghiệp có lợi nhuận tối đa,
nếu biết hàm tổng chi phí của xí nghiệp là:
2 2
1 2 1 1 2 2
( , )
C Q Q Q Q Q Q
= + + .

11. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là:
1
1 2
800 2
D
Q P P
= - +
;
2
1 2
960
D
Q P P
= + -

và hàm tổng chi phí:
1 2 1 2
( , ) 320 480 300
C Q Q Q Q= + +
a. Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.
b. Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa với điều kiện hạn
chế về chi phí
166700
C =
.
12. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ trên hai thị trường tách
biệt. Biết hàm cầu trên từng thị trường là:
1
1
310