102
Chương VIII
SAI SỐ VÀ CÁCH XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM TRONG
PHÂN TÍCH ĐỊNH LƯNG

VIII.1. SAI SỐ TRONG PHÂN TÍCH ĐỊNH LƯNG
VIII.1.1. Các loại sai số
Trong quá trình phân tích đònh lượng, dù ta tiến hành hết sức thận trọng thì
kết quả cũng không cho ta một giá trò thực, nghóa là kết quả không đúng hoàn toàn
với hàm lượng thực của chất cần xác đònh. Hay nói cách khác, khi tiến hành phân
tích bao giờ ta cũng phạm sai số. Xác đònh sai số này thường phức tạp, đòi hỏi
nhiều nổ lực, sáng tạo và cả trực giác. Những kết quả phân tích được hoàn thành
với độ tin cậy chưa biết sẽ không có giá trò khoa học. Ngược lại, những kết quả
phân tích không rất chính xác cũng có thể rất quan trọng nếu có thể xác đònh được
giới hạn sai số với độ tin cậy cao.
Không có một phương pháp tổng quát, đơn giản và chính xác nào để đánh
giá cho dù là đònh tính những kết quả thực nghiệm. Vì vậy xử lý kết quả thường là
một nhiệm vụ không kém phần phức tạp so với việc thu được những kết quả đó.
Căn cứ vào nguyên nhân ta có 3 loại sai số:
1. Sai số hệ thống
Do những nguyên nhân cố đònh lặp đi lặp lại trong mọi lần thí nghiệm
không phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên. Sai số hệ thống là một đại lượng
không đổi, luôn luôn theo một chiều (có dấu trừ hay cộng) nghóa là các giá trò thực
nghiệm thu được nằm về một phía so với giá trò thực.
Sai số hệ thống có thể loại trừ được bằng cách dựa vào các số hạn hiệu
chỉnh. Ví dụ như dùng các thí nghiệm trắng. Các nguyên nhân có thể là.
- Do phương pháp: sai số này phụ thuộc vào đặc điểm của phương pháp đem
dùng. Ví dụ: do phản ứng không hoàn toàn, do kết tủa không hết, do cộng kết, do
đặc tính của chất chỉ thò được dùng…Đây là nguyên nhân quan trọng nhất làm kết
quả phân tích bò sai.

vạch đo thể tích, làm đổ quá nhiều dung dòch, dụng cụ đo bò hỏng bất thường, tính
toán nhầm…sai số này nhiều khi không phát hiện được.
Trong tính toán, dó nhiên phải loại trừ các kết quả thí nghiệm nào mắc sai số
thô bạo. Phương pháp thống kê toán học sẽ giúp ta đánh giá xem giá trò sai số thực
nghiệm nào phạm sai số thô bạo.
VIII.1.2. Độ tin cậy, Độ chính xác của các kết quả phân tích
1. Độ tin cậy
Được đặc trưng bởi độ lệch của kết quả phân tích so với giá trò thực, điều
này nói lên mức độ đúng đắn của phương pháp, chính là biểu thò của sai số hệ
thống, kết quả càng đúng, sai số hệ thống mắc phải càng nhỏ.
2. Độ chính xác.
Chỉ mức độ lặp lại hay mức độ phân tán của các kết quả phân tích, được đặc
trưng bởi độ lệch của các kết quả phân tích quanh giá trò trung bình với các lần thí
nghiệm cùng một phương pháp. Độ chính xác chính là biểu thò các sai số ngẫu
nhiên. Các kết quả thí nghiệm càng chính xác nếu các lần thí nghiệm có kết quả đo
được khác nhau càng ít. Cần phân biệt rằng độ chính xác cao không có nghóa là kết
quả phân tích đúng mà chỉ nói lên cách thực hiện phân tích tốt. Ví dụ kết quả của
nhiều lần phân tích theo phương pháp phân tích khối lượng đối với một chất có thể
rất gần nhau (độ lặp lại rất tốt) nhưng kết quả đó không hoàn toàn đúng vì trong
phương pháp này ta đã tách chất cần phân tích dưới dạng kết tủa chưa được hoàn
toàn. 104
VIII.2. CÁCH XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM TRONG PHÂN TÍCH ĐỊNH
LƯNG
VIII.2.1. Một số đại lượng thống kê toán học
1. Giá trò trung bình cộng
Giảù sử ta tiến hành đo một mẫu với n lần đo cho n kết quả riêng biệt Xi:
X1, X2, X3, …Xn.

iX
S
k
=
−
=
∑
(7.2)
k: số bậc tự do. Nếu chỉ có một đại lưiợng cần đo X thì k = n – 1.
Giá trò căn bậc hai của phương sai gọi là sai số bình phương trung bình cộng của
từng phép xác đònh riêng lẽ hay còn gọi là độ lệch tiêu chuẩn. (S).
()
2
1
n
i
X
iX
S
k
=
−
=
∑

3. Độ lệch tiêu chuẩn của giá trò trung bình cộng hay gọi tắt là độ lệch tiêu chuẩn
trung bình (
X
S
).

độ lệch tiêu chuẩn trung bình đặc trưng cho độ chính xác của một phươn pháp phân
tích.
VIII.2.2. Biên giới tin cậy
Để đánh giá độ chính xác của kết quả phân tích đònh lượng ta đi tìm khoảng
biên giới tin cậy.
Giả sử qua n lần phân tích hàm lượng chất X nào đó và ta thu được n kết quả
đo là: X1, X2, X3, …Xn. Và sự khác nhau giữa các giá trò này chỉ do ngẫu nhiên
(không có sai số hệ thống) thì giá trò trung bình:
1
123
n
i
X
i
XX X Xn
X
nn
=
++++
==
∑
được coi là gần với giá trò thực
(
μ
) nhất. Và phép phân tích cho kết quả X sẽ mắc sai số.

X
ε
μ
=

X
μ
→
. Tuy nhiên
trong thực tế không thể làm một số lần thí nghiệm quá lớn như vậy vì tốn kém thời
gian và vật tư và chỉ làm được một số lần hữu hạn, rồi từ các số liệu thực nghiệm
thu được mà ước lượng khoảng giá trò của
μ
với xác suất đã chọn.
Theo một quy luật rất gần với đònh luật chuẩn (mà số phép đo là lớn), ta có
thể xác đònh được biên giới tin cậy tức là độ chính xác của kết quả phân tích như
sau:

.
.
X
tS
St
n
ε
=± =±

Hay
.tS
X
n
μ
=±
(4)
Nếu biểu diễn

10
11
12
13
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
63,657
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012

2,878
2,861
2,845
2,707
2,750
2.704
2,660
2,671 Ví dụ: chuẩn độ dung dòch HCl bằng Na
2
CO
3
với chỉ thò mêtyl dacam, thực
hiện 18 lần phân tích, ta tính được 18 giá trò của N
HCl
(nồng độ đương lượng của
dung dòch HCl) như sau:

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9
N
HCl
1,142 1,132 1,135 1,144 1,135 1,142 1,136 1,145 1,132
N 10 11 12 13 14 15 16 17 18
N
HCl
1,139 1,138 1,134 1,133 1,137 1,138 1,139 1,132 1,142
18
1

107

. 1,1375 0,001.2,11 1,375 0,0021
HCl
X
NXSt=+ = ± = ±

nghóa là: 1,375 – 0,0021 < N
HCl
< 1,375 + 0,0021 Hay 1,375 < N
HCl
< 1,375 và
sai số tương đối của N
HCl
là:
100
0,18%
X
tS
Xn
δ
=± =±

Nghóa là ta đã xác đònh được N
HCl
= 1,1375 với độ chính xác ± 0,18%.
VIII.2.3. Loại trừ các kết quả sai
Trong một dãy phép đo có thể thu được một số kết quả sai lầm, có hai
trường hợp.
- Nguyên nhân của sai sót được biết rõ, trong trường hợp này sự loại trừ kết

= 0,017 với p = 95%, tra bảng ta được t = 2,179. Vậy
.
X
XSt±
= 13,511 ± 0,037.
Do đó phải loại trừ các kết quả nằm ngoài giới hạn 13,475 < Xi <13,548, nghóa là
phải loại kết quả số 10 và chỉ còn 12 phép đo là đáng tin cậy.
VIII.2.3. Đánh giá độ đúng đắn của phương pháp (sai số hệ thống)
Giảù sử ta xác đònh lượng thành phần trong một mẫu của một sản phẩm theo
một phương pháp mới, mà thành phần của mẫu phân tích đó đã biết trước (có thể
biết được nhờ vào một phương pháp chuẩn nào đó có độ chính xác cao và hầu như

108
không bò sai số hệ thống, hoặc mẫu phân tích là mẫu chuẩn). Để biết phương pháp
mới có mắc sai số hệ thống hay không ta tiến hành như sau:
Giả sử X là giá trò đúng của thành phần cần xác đònh. Dựa vào phương pháp
mới, ta tiến hành n lần xác đònh, cho ta kết quả trung bình
X
và độ lệch tiêu chuẩn
S, ta tính được hiệu d = X -
X
và độ tin cậy thực nghiệm.

tn
d
t
s
=
, với xác suất p, tra bảng biết được t. Theo quy luật thống kê toán
học:

tn
< t thì hiệu d đó không phải là do sai số hệ thống mà chỉ là do sai
số ngẫu nhiên, và cho phép ta kết luận rằng phương pháp mới cho kết quả đồng
nhất (với phương pháp chuẩn hay với mẫu chuẩn).
- Nếu t
/
tn
> t có nghóa là hai phương pháp (mới và chuẩn) cho kết quả khác
nhau. Vậy sẽ có một sai số hệ thống
ε
= d = X -
X
. Và phải kể đến việc biểu
diễn kết quả phân tích.
Ví dụ 1: Phân tích Mn trong một mẫu nước có hàm lượng Mn đã biết trước X
= 13,370. Ta áp dụng một phương pháp phân tích mới để xác đònh hàm lượng của
Mn trong mẫu nước đó, giả sử thực hiện 7 lần phân tích cho ta các kết quả sau: n =
7;
X
= 13,343; S = 0,031.
D = 13,37 – 13,343 = 0,027; t
tn
= 0,027 / 0,031 = 0,87; tra bảng với p = 95%,
k= 7 – 1 = 6 ta có t = 2,45. Vậy rõ ràng t
tn
< t.
Kết luận: phương pháp mới là chính (hợp lý).
Ta khảo sát tiếp
0,032
0,0117

X
S ==
, t
/
tn
= 1,6 / 0,33 = 4,85, rõ
ràng t
/
tn
> t. Vậy kết luận rằng 2 phương pháp cho 2 kết quả khác nhau, do đó kết
quả mới có một sai số hệ thống d = 1,6 và phải kể đến trong việc biểu diễn các kết
quả phân tích. 109
VIII.2.4. Cách biểu diễn kết quả phân tích
Sau khi đã đánh giá được các kết quả phân tích đònh lượng thì ta cần phải
viết kết quả như thế nào cho hợp lý và có ý nghóa? Thường có thể theo quy tắc sau:
1. Trò số của kết quả phân tích X chỉ chứa lượng số có nghóa thế nào để cho
số cuối cùng nằm trong cùng bậc với số cuối của trò số sai số.
Thường là:
- Nếu số có nghóa đầu tiên của sai số
ε
lớn hơn 3 thì
ε
được biểu diễn
bởi số
ε
có một số có nghóa. Ví dụ:
ε

là 768 mg/l ± 14 mg/l.
2. Sau khi xác đònh lượng số có nghóa ta phải làm tròn kết quả theo nguyên
tắc chung:
Ví dụ:
ε
= ± 0,07% và X = 34,284 thì kết quả ghi là 34,28% ± 0,07%.
Nếu X = 34,287% thì ghi là 34,29% ± 0,07%.
3. Tuy nhiên nếu hàm lượng X < 1% thì sai số biểu diễn bằng con số chỉ có
một số có nghóa.
Ví dụ: X = 0,3423% có
ε
= ± 0,0238%
X = 0,00635% có
ε
= ± 0,00128%
Thì sẽ biểu diễn: 0,34% ± 0,02%.
0,006% ± 0,001%
4. Một số quy tắc viết số có nghóa trong việc tính toán.
a. Khi cộng hoặc trừ trong số đó với độ chính xác thấp nhất có bao nhiêu con
số có nghóa, thì ta giữ ngần ấy con số có nghóa sau dấu phẩy trong số thành.
Ví dụ: Khi cộng các số 0,284; 25,86; 3,5894 thì trong mỗi số chỉ giữ lại 2
con số thập phân sau dấu phẩy.
0,28 + 25,86 + 3,59 = 29,73.
b. Khi nhân hay chia trong số đó với độ chính xác thấp nhất có bao nhiêu
con số có nghóa ta cũng giữ lại ngần ấy con số có nghóa trong số thành.
Ví dụ: xác đònh tỷ trọng: p = m / V = 28,34 / 8,4 trong kết quả tính chỉ nên
giữ lại hai con số có nghóa p = m / V = 28,34 / 8,4 = 3,37.

110
c. Khi nâng lên luỹ thưà hoặc lấy căn số, trong đó số phải nâng lên luỹ thừa