Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC
BẬC 2.
I. Dạng 1:
2
dx
A =
ax + bx + c
∫

( ) ( )
1
2 2 2
dx 3dx d(3x 2) 1 3 2 10
ln
2 10 3 2 10
3 4 2
3 2 10 3 2 10
x
A C
x
x x
x x
− − −
= = = = +
− +
− −

 
 
= = − = − = − +
− + +
   
− +
− − − −
   
   
∫ ∫ ∫

( ) ( )
3
2 2 2
dx 5dx d(5 4) 1 5 4
arctan
5 14 4
5 8 6
5 4 14 5 4 14
x x
A C
x x
x x
− −
= = = = +
− +
− + − +
∫ ∫ ∫

2

− +
∫

1
6
2
0
dx 1 1 1
arctan arctan
6 3 3 3 3
4 6 3
A
x x
 
= = +
 
 
− +
∫

3
7
2
2
dx 7
ln
5
3 2 1
A
x x

−
= =
− +
∫

Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2 ( )
1
10
2
0
dx 1
arctan 2
2 2
3 4 2
A
x x
= =
− +
∫

1
11
2
0
dx 1 3 69 7 69

x x
π
− +
 
= = − −
 
 
− +
∫

II. Dạng 2:
(
)
2
mx + n
B = dx
ax + bx + c
∫

( )
( )
( )
2
1
2 2 2 2
3 19
8 6
4 6 1
7 3 dx
3 19

8 4 8
3 13
2
2 2
x
x x A x x C
x
− −
− −
= − − − = − − + +
− +(
)
2
2
2
3 4 dx
3 5 4 7 13
ln 2 7 9 ln
4 4
4 7 13
2 7 9
x
x
B x x C
x
x x
−

(
)
2
4
2
15 6 dx
15 13 16 9 465
ln 12 9 8 ln
16
465 16 9 465
12 9 8
x
x
B x x
x
x x
+
− + −
= = − − +
+ +
− −
∫

(
)
2
5
2
3 10 dx
5 19 8 5

x
B x x
x
x x
+
−
= = + − +
+
+ −
∫

( )
1
1
2
7
2
0
0
3 7 dx
3 1 1
ln 4 4 3ln 2
2 2 2
4 4
x
B x x
x
x x
−
 

 
= = − + + + = − +
 
 
+ +
∫

(
)
2
2
2
2
9
2
1
1
2 3 5 dx
4 1 13 9 5
ln 2 3 7 arctan 1 ln 7 arctan 7 arctan
6
23 23 23
2 3
x x
x
B x x x
x x
− −
+
 

 
∫

(
)
2
1
1
2
11
2
3
3
2 4 7 dx
3 9
2 4 ln 6 13 9arctan 4 4 ln 2
2 4
6 13
x x
x
B x x x
x x
π
−
−
−
−
+ −
+
 

dx
C =
ax + bx + c
∫

2
1
2 2
dx 1 dx 1 4 4 13
ln
3 3 9
3 3
3 8 1
4 13
3 9
C x x C
x x
x
 
= = = − + − − +
 
 
− +
 
− −
 
 
∫ ∫

2

ọ
c trò Vi
ệ
t 4 4
4
3
4 4
2 2
4
4
3
2 2
dx dx 1 1 2 2 3
2
arcsin arcsin
2 2 2 2
5 2 9 5 2 9
5 12 4 2
5 2 9 3
2 2
2
2
2
x
x
C
x x

 
= = − + − + = − −
 
 
 
 
− +
 
∫

1
1
2
5
2
0
0
dx 1 5 5 23 1 1 2 6
ln ln
6 6 36
3 3 4 3 5
3 5 4
C x x
x x
 
+
 
 
= = − + − + =
 

   
∫

IV. Dạng 4:

(
)
2
mx + n dx
D =
ax + bx + c
∫

( )
( )
2
1
2 2 2 2
2 11
6 2 dx
5 4 dx 2 (3 2 1) 11
3 3
3
3 3
3 2 1 3 2 1 3 2 1
1 2
3 9
x
x d x x dx
D

( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2
3 43
4 5 dx
2 5 1
3 7 dx 3 43
4 4
4
4 2
2 5 1 2 5 1 2 5 1
5 33
4 16
x
d x x
x dx
D
x x x x x x
x
 
− +
− −
 
+
 
= = = +
− − − − − −

 

(
)
2
3
2
8 11 dx 17 4 3
2 9 6 4 arcsin
2
3 5
9 6 4
x x
D x x C
x x
− −
= = − − − − +
− −
∫

(
)
2
4
2
4 5 dx 1 10 7
6 7 5 arcsin
13
2 5
6 7 5

6
2
1
9 5 dx 9 1 2 1
2 4 4 arcsin
4 4
3
2 4 4
x x
D x x C
x x
−
− +
= = − − − +
− −
∫V. Dạng 5:

( )
2
dx
E =
px + q ax + bx + c
∫

1,
( )
2



−

+ = ⇒ = ⇒ = → =


−

=



Do
ñ
ó
1 1
5 3
1
2 2
1 1
2
3 5
1 4 9
1 1 1
2 . 3 1
2 2
dt dt
E
t t

m b
ả
o – Th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t 6
1
3
1
5
1 9 2 1 1 1
arcsin arcsin arcsin
3 3
13 13 5 13
t −

3 25 3 47
3 2
4 4 4 8
x
E
x x x
x x
 
+
 
 
= =
− + +
 
   
+ − + +
   
 
   
 
∫ ∫13
2
2
11
2
25 47
3 2

2 2
1 1
2
d
dx
5
4,
3 2 5 4 2
2 4 2 14
3 5
5 5 5 5
x
E
x x x
x x
 
−
 
 
= =
− + −
 
   
− − + −
   
 
   
 
∫ ∫


dx dx
5,
2 1 1 2
1 2 1 1 1 2
x
x du
E
x x x u u
x x x x
+
= = = =
+ − − −
 
+ − + − + −
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Bài 2: Tích phân các hàm s
ố
có m
ẫ
u s
ố
ch
ứ
a tam th
ứ
c b
ậ

2
4 4 4
2
d nx
cot dx cos dx
6,
2 sin nx 2 sin nx 2 sin 2
si
x x du
E
x si x si x u u
π π π
π π π
= = = =
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫

VI. Dạng 6:

(
)
( )
2
mx + n dx
F =
px + q ax + bx + c
∫

( )
( )

t tích phân:
1 1
1
2 2
0 0
1
3
3 4 2
2 2
3 9
dx dx
F
x x
x
′
= =
− +
 
− +
 
 
∫ ∫
1
2
0
1 2 2 2 1 3 1
ln ln
3 3 9
3 3 6 2
x x

t
−
− = ⇒ = ⇒ =
Khi
1
0
8
x t
= ⇒ =
và
1
1
3
x t
= ⇒ =
. Do
ñ
ó
( ) ( )
1 1 1
3 3 3
1
2 2 2
2
1 1 1
8 8 8
82 28 3
3 8 1 20 8 1 2.258 1 8 1
5 3 4 2
5 5

ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t 8
1
1
3
2
3
2

ậ
y
1 1 1
20 25
4 67 4 3 1 67
123 738
ln ln
5 5
5 3 6 2 5 82 15 25
328 2624
F F F
+
− − +
′ ′′
= + = +
− −
+** Ta làm t
ươ
ng t
ự
cho các bài sau:
2,
( )
( )
1
2
2

( )
2 2
xdx
G =
ax + b cx + d
∫

1,
( )
2
1
2 2
1
dx
4 3 5
x
G
x x
=
− −
∫
.
ðặ
t
2 2 2 2 2
5 5 5
t x t x x t xdx tdt
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

Khi

= = =
−
−
− −
∫ ∫1 4 17 17 2 1 9 2 17
ln ln ln
2 2
4 17 17 2 9 2 17
 
+ + +
= − =
 
 
− + − −
 

** Ta làm t
ươ
ng t
ự
cho các bài sau:
Bài 2: Tích phân các hàm s
ố
có m
ẫ
u s
ố


2,
( )
2
2
2 2
1
dx 1 4 10 5
ln
90
4 10 5
5 11 7 3
x
G
x x
− +
= =
−
− −
∫

3,
( )
( )
1
3
2 2
0
dx 1 126(7 3 161)
ln

H
x x
=
− −
∫
.
ðặ
t
( )
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
5 2 5 2
5
5
tdt
xt x x t x x xdx
t
t
= −
⇒
= −
⇒
=
⇒
=
−
−


= và
3 2
2
2
x t= ⇒ = . Do
ñ
ó:
( )
3 2 3 2
2 2
1
2
2
3 3
2
6
1
1 5
5
dt dt
H
t
t
t
= =
 
+
− −
 
−

c hai
Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
10 2,
( )
2 2
2

2
2 2
5
2
d
1 13
4 4
u
u u
=
 
− −
 
 
∫12 6 1
arctan arctan
3
7 12 5
 
= −
 
 

3,
( ) ( )
2 2 2 2
2 2

( )
5
2 2
2
4
2 2 2 2
2 2
3
1 1
2
1
d
d d
2
3 5
1 1
1 3 1 5
4 4
2 4 2 4
x
x u
H
x x x x
u u
x x
 
+
 
 
= = =

+ +
= = = +
+
+ + + + +
∫ ∫ ∫ ∫2 6 6
ln arctan
3 2
1 3
π
+
= + −
+

IX. Dạng 9:

(
)
( )
2 2
mx + n dx
I =
ax + b cx + d
∫Bài 2: Tích phân các hàm s
ố

c trò Vi
ệ
t
11 1,
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
1 1
1
2 2 2 2
0 0
(7 3 1 ) 1
(4 3 )
4 2 2 4 5
3 1 2 1 3
x d x
x dx
I
x x x x
x x
− + +
−
= =
− − + +

=
− +
∫

ðặ
t
2
2 2 2 2
3
2 3 2 3
2 2
t t
t u t u u udu dt
−
= +
⇒
= +
⇒
=
⇒
=

Khi
1 5
u t
= ⇒ =
và
2 11
u t= ⇒ =
. Do

 
∫ ∫(
)
2 3 11
1 3 11 3 5 1
ln ln ln
6 3
3 11 3 5 3 5
+
 
+ +
= − =
 
 
− − +
 

•

Xét
( )
2
2 2
1
3 2 3
du
H

2
3
2
3
3
( )
2
2 3
.
2
tdt
t
du udu dt
u ut
t
u
t
t
−
−
−
⇒ = = =
−
+
−

Bài 2: Tích phân các hàm s
ố
có m
ẫ

t
12 Khi
1 5
u t
= ⇒ =
và
11
2
2
u t
= ⇒ =
. Do
ñ
ó
( )
11
5
5
2
2
11
2
5 11
2
2
2
3 1 3

 
 
+ + +
 

V
ậ
y
(
)
1
2 3 11
4 2( 11 2 3)
4 3 ln ln
3 5 3 3 5
I H G
+
+
= − = −
+ +** T
ươ
ng t
ự
các bài còn l
ạ
i.
2,

−
=
− + − +
∫

4,
( )
1
4
2 2
0
(4 5)
9 4 2 3 1
x dx
I
x x x x
−
=
− − + +
∫Nguồn:
Hocmai.vn