Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2

9
BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ
CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC
BẬC 2
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI
1.

 

 2 2
du 1 u
arctg c
a a
u a

4.

 

du
2 u c
u

2.


 



6.
   


2
2
du
ln u u p c
u p

Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2:
1.

 

 
    
 
 
 
 
 
2
2
2
2
b b 4ac
ax bx c a x
2a
4a

mx n p 
 
  
 
 
 
 2 2
2
mx n pdx dx 1
ln c
2mp mx n p
ax bx c
mx n p

2. Các bài tập mẫu minh họa
•
 
 
 
 
1
2 2 2
2
d d 1 d 2 2 1 2 2 3
ln
2
4 8 1


;
2 3
2 2
dx dx
A ; A ;
4x 6x 1 5x 8x 6
 
    
 

2 1 1
4 5 6
2 2 2
1 0 0
dx dx dx
A ; A ; A
7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3
  
     
  

II. Dạng 2:




2
mx + n
B = dx

 
 

2
2
d ax bx c
m mb
n A
2a 2a
ax bx c



 
   
 
 
2
m mb
ln ax bx c n A
2a 2a

Cách 2:
Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)
• Nếu mẫu có nghiệm kép
0
x x

tức là
2 2


vừa tìm ta có:




 
 2
mx n
B dx
ax bx c



ln
  

0
0
x x c
x x



• Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
:
2

dx


 
 2
mx n
B
ax bx c



ln ln
   
1 2
x x x x c
 

2. Các bài tập mẫu minh họa:
•


1
2
2x + 3
B = dx
9x 6x + 1

 
 
2 2 2

9 9 9 9 3 1
9 6 1
3 1
d x x d x
x c
x
x x
x
  
     

 

 

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:






1 2 3
2 2 2
7 3x dx 3x 4 dx 2 7x dx
B ; B ; B
4x 6x 1 2x 7x 9 5x 8x 4
  
  
     

C mx n mx n k c
m
ax bx c
mx n k
       
 
 
 

 
 
2 2
2
dx dx 1
arcsin 0
mx n
C p
m p
ax bx c
p mx n

   
 
 
 

2. Các bài tập mẫu minh họa:
•



5 12x 4 2 x
  
   
 
  

IV. Dạng 4:




2
mx + n dx
D =
ax + bx + c

1. Phương pháp:



2 2
2 dx
dx
2 2
ax b
m mb
D
a a
ax bx c ax bx c


4 5 4 5 4 5
x x x x x
x x x x x x
 
 
     
  



 
 


1 1
1
2
2 2
2 2
0
0 0
1 d 4 5 d
2 4 5 2ln 2 4 5
2
4 5
2 1
x x x
x x x x x
x x
x

3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x
  
  
     
  V. Dạng 5:

 

2
dx
E =
px + q ax + bx + c

1. Phương pháp:
Đặt
2
1 dt 1 1
dx ;
px q p x q
t p t
t

 
     
 
 
. Khi đó:

x - 1 x - 2x + 2
. Đặt
2
2 1
1
1 1
3
1 ;
2
dx
x t
t
x t
x x
t t
dt
t
  




  
   







1 2
1 2
dt 1 5 2 2 2
ln t t 1 ln 1 2 ln ln
2
1 5
t 1
 
       




3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
     
2 3 3
1 2 3
2 2 2
1 2 2
dx dx dx
E ; E ; E
2x 3 x 3x 1 3x 4 2x 3x 7 x 1 x 1
  
       
  

VI. Dạng 6:




 
 
     
 

 
2 2
dx dxmq mqm m
F n C n E
p p
p p
ax bx c px q ax bx c
   
     
   
   
    
 

2. Các bài tập mẫu minh họa:
 
 
1
1
2
0
2 3 d
1 2 2
x x
F

2
0
2
0
dx 2 5
ln 1 1 1 ln
1 2
1 1
x x
x

      

 


 
1
2
0
1 2 2
dx
J
x x x

  

. Đặt
2
0 1

2 2
1 2
1 1 2
dt t
dt 2 2 2
J ln t t 1 ln
1 5
1
t 1
1 1
1 2 1 2
t t
t
 
     


   
 


F
1


2I + J






   
 
-3 2
2
2
-2
x + 3 dx
F =
2x + 1 -x - 4x - 3 
3 2 3 2
2 2
2 2
1 dx 5 dx 1 5
I J
2 2 2 2
x 4x 3 2x 1 x 4x 3
 
 
   
      
 

3 2
2
2
4 3

2
2
2 1 4 3
dx
J
x x x



   

. Đặt
2
1
2
3
1 1
3
1
2 1
2 2
2
2
x t
t
x t
x x ;
t t
dt
dx


1 2 1 3
2
2 2
1 3 1 2
1 3
1 3
2 2
1 2
1 2
dt 2t
dt
J
1
5t 6t 1
1 1 1
1 2 1 3
4 t t
t
1 dt 1 5t 3 1 2 1
arcsin arcsin arcsin
2 3 4
5 5 5
3
2
t
5 5
 
 



 
 
 
 
 
 
1 1 1
1 2 3
2 2 2
0 0 0
4x 7 dx 6 7x dx 7 9x dx
F ; F ; F
8 5x 3x 4x 2 2x 5 x x 4 4x 3 2x x 1
  
  
        
  

VII. Dạng 7
:
 

2 2
xdx
G =
ax + b cx + d

1. Phương pháp:
Đặt

 

1
1
2 2
0
xdx
G =
5 - 2x 6x + 1
. Đặt
2
0 1
6 1 1 7
6
x t
t x x t
x dx t dt
  



     





. Khi đó:



 

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
     
2 2 1
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 1 0
xdx xdx xdx
G ; G ; G
4x 3 5 x 5x 11 7 3x 8 7x 2x 1
  
     
  

VIII. Dạng 8:

 

2 2
dx
H =
ax + b cx + d

1. Phương pháp:
Đặt
 
2 2 2 2 2
2 2
2

  



. Khi đó ta có:
 
 
 
2
2 2
2
2
dx dt dt
H A
ad
bt ad bc
ax b cx d
b t c
t c
 
   
 
 
 
 
 

 
  



    


  


và
 
 
2 2 2 2 2 2
2 2
2
3 3tdt
x t x 3 t 1 x 3 x xdx
t 1
t 1

        

 
 
 
2
2
2
2

ln ln
2 10 2 5 2 10
2 2 15 14 2 5
t
t
  


 

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
   
2 2 2
2
1 2 3
2
2 2 2 2
1 1 1
d d 5
; ; d
2
3 1 5 2 3 2 3 1
x x x
H H H x
x
x x x x x x

  

     

   
3
2 2
2
4 1 7
1 5 3 1 2
x dx
x x
 

 
   
 
 
3
1
2 2
2
4x + 3 dx
I =
x - 2x - 4 3x - 6x + 5 
     
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
du udu du
4u 7

Chương II. Nguyên hàm và tích phân

Trần Phương

16
 
 
14
2 14 14
2
2
2 2
1
5 5
5
udu tdt dt 1 t 17
J ln
2 17 t 17t 17
t 17 t
u 5 3u 2

   


 
  


2 2 2 2 2
2
2
3 2 3 2
3
ut u u t u u
t
      




 
 
 
 
2
2
2 2
2
2
2
2tdt t 3
2tdt du udu dt
udu
u ut
t 3
2t t 3
3u 2
t 3

 
  14 2
2
1 1 17 t 5
ln
5 2 17 17 t 5

 





  
1 70 2 17 2 5 17
ln
2 85
70 2 17 2 5 17
 

 







 

 
   
 
 
6 -1
2
2 2
2 -1
2x + 1 dx
I =
x + 2x + 6 2x + 4x - 1 
     
6 6 6
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2u 1 du udu du
2 2J L
u 5 2u 3 u 5 2u 3 u 5 2u 3

    
     
  

Xét
 

J arctg arctg
t 13
13 13 13
t 13 t
u 5 2u 3
 
    
 


 
 
  

Xét L


 
6
2 2
2
5 2 3
du
u u
 

. Đặt
2 2 2 2 2
2
3

3tdt 2 t
du udu dt
u ut
2 t
3t 2 t
2u 3

  



. Khi đó:
 
 
3 6 3 6 3 6
6
2
2 2
2
2
2 1 2 1 2 1 2
2
du dt dt 1 dt
L
13
3 5
13 5t
u 5 2u 3
t
5 2 t




  
2
4 3 1 1 78 3 5 26 5
I 2J L arctg arctg ln
13 13 13 2 65
78 3 5 26 5
 
 
    
 
 
 