TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ
1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số
thường gặp để tính
Ví dụ 1 : Tính I = =
2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng
I = Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x .
*1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành tổng hai hàm số
: một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu thức ,hoặc tử thức là hằng số :
= q(x) + .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.Hàm số
y = nếu có thể được thì biến đổi y = = + với bậc p(x) bé hơn bậc r(x) họăc p(x) là hằng
số.Ta có : = + = +
Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = , I = Bậc r(x) ,
bậc p(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) . p(x) là hằng số.
*2. Tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.
+ Dạng I: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b). I
1
= = = ln + C .

Ví dụ2 : I = = = ln(5x+3) + C
+ Dạng II: với a .( đặt U = ax+b ) . I
2
= = = + C
Ví dụ3 : I = = = + C .
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (1)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
+ Dạng III: với a , h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số
I
3
Vídụ 5: I = = dx =
= - ( - ) = ln - .ln + C

b -Nếu x
2
+bx+c = (x- x
0
)
2
.(x
0
là nghiệm kép của mẫu thức )
Hai trường hợp :
* Trường hợp h(x) là hằng số a,ta có : I
3
= = = - + C
(Dạng I
2
khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ)
*Trường hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p 0) .
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (2)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
Biến đổi: = = + . Do đó ta có:
I
3
= = + (q - ) = + ( - q). + C


3
+ax
2
+bx+c có 3 nghiệm phân biệt , x
3
+ax
2
+bx+c = (x – x
1
)(x – x
2
)(x – x
3
)
Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho :

= + + Do đó :
I
4
= = + + = A.ln +B.ln + C.ln +D
b-Nếu g(x) = x
3
+ax
2
+bx+c = (x- x
1
)(x- x
0
)
2

Do đó : I
4
= = A + . + .
= A.ln + .ln + (C - ) + D
Nguyên hàm : J = = (Đã nói rõ ở Dạng III:c-Nếu mẫu thức vô nghiệm)
d-Nếu g(x) = x
3
+ax
2
+bx+c = (x – x
0
)
3
.Bằng phương pháp hệ số bất định tìm các số A. B,
C sao cho : = + + . Do đó ta có :
= + + = - + C.ln + D
-Nếu h(x) là hằng số A thì : = = A = + C
Trường hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi =
Do đó: I
4
= = + .Với p
1
= p- ; q
1
= q -
Nguyên hàm dạng : j = đã nêu rõ ở trên
Bài tập: Tính nguyên hàm
1. I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I =
2. I = ; I = ; I = ; I = ; I =
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (5)

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
8. I =
Hướng dẫn : Tìm các số A,B,C,D,E để = + +
9. I = = .dx ( , đặt x = tant )
10.I = (Hd:I = +3 - 2 )
11. I = I = I = I =
12.I = I = I = = - 3 +
13. I = (Hd : I= 3 - + 5 )
14. I = (Hd : I= 3 + 2 - 2 )
15. I = (Hd : I= 3 + 5 - 7 )
16. I = (Hd : I = 2 + 5 - 3 )
17. (Hd : I = -4 + - )

II.Nguyên hàm các hàm số Lượng giác
1.Nguyên hàm hàm hợp
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (7)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

1/ I = = = sin(ax+b) +C
2/ I = = = - cos(ax+b) +C
3/ I = = = tan(ax+b) + C
4/ I = = = cot(ax+b) + C
2. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos
m
x.sin
n
x .Trong đó m,n là các số nguyên dương
1/ Nếu số mũ của cosx lẻ (m là số lẻ) thì đặt sinx = t .Ngược lại nếu số mũ của sinx lẻ

x Trong đó m và n đều là số tự nhiên chẵn thì hạ bậc biến đổi tổng thành tích đưa
về nguyên hàm hàm hợp.
Ví dụ 5: I = = I = = .2cos
2
xdx

= dx = dx

= -

= x + sin2x - sin4x - sin6x - sin2x + C

= x + sin2x - sin4x - sin6x + C
*Nếu f(x) = , đặt tanx = t ;Nếu f(x) = . Đặt cotx = t (Với m và n đều là sỗ chẵn )
Ví dụ 6 : I =
-Ta có : I = = : I = = : I = -
= - = tanx – x + C (Đã đặt tanx = t)
Ví dụ 7 : I = (Vì mẫu thức là sin
2
x,chính là mẫu thức của cot
2
x nên ta đặt cotx = t)

-Ta có : I = = I = = - .d(cotx) = - . cot
3
x + C

(Thực chất đã đặt cotx = t nhưng viết tắt cho gọn thôi)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (9)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN

= = (Dạng .Với u = 1 + tanx)
4/Nếu không thỏa mãn một trong 3 dấu hiệu trên thì đặt t = tan .Ta có dt = (1+ tan
2
).dx
Nên dx = , và có sinx = , cosx =
Ví dụ 12 : Tính nguyên hàm I = .
Đặt t = tan .Ta có : dt = (1+ tan
2
).dx Nên dx = , và có sinx = ,cosx = .
Do đó :
I = = I = = = - + C
5/Tính nguyên hàm : I =

-Tách tử thức thành một tổng: có một số hạng là đạo hàm của mẫu thức .Ta viết :
I = = . dx

= + = + .dx

= ln + .dx .
Tính : J = .dx . xét các dấu hiệu như đã trình bày ở trên .Nếu không thỏa mãn
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (11)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) thì đặt t = tan
Ví dụ 13 : I = J = k =
6/ Nguyên hàm của f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx :
-Biến đổi tích thành tổng , đưa về nguyên hàm của hàm hợp
Ví dụ 14 : Tính I = = .sin8x + .sin2x) +C
Ví dụ 15 : Tính I =


Ví dụ 4 :
I = . Đặt = t , ta có x + 1 = t
6
nên dx = 6 t
5
dt, = t
3
, = t
2

Do đó : I = = 6 (đây là nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ)
3.Nguyên hàm của hàm số phân thức chỉ chứa x và
với a,b,c R , a 0:
-Đổi biến số đưa về nguyên hàm của hàm số Lượng giác (Đã nói trên)
-Ta có = . Gọi (x + ) = u và = =
Hai trường hợp :
1/ Nếu 0 : Thì =
2/ Nếu < 0 : = . (a > 0 , vì < 0 nên a > 0 căn thức mới có nghĩa )
Như vậy , bao giờ cũng đưa được về một trong 3 trường hợp sau :
*
1
Hàm số chứa u và , đặt u = .tant
*
2
Hàm số chứa u và , đặt u =
*
3
Hàm số chứa u và , đặt u = .sint
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (13)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
3/Tính I
3
= . Đặt (x – d ) = đưa về dạng I
1
nói trên .
Ví dụ 7 : Tính : I =
Đặt x-2 = thì dx = - dz , (x -2) = . =
Do đó : I = = = - (Giả sử z > 0,Nếu z <0 thì?)
(Tính Ví dụ 5 ở phía trên)
4/ Tính I
4
= Trong đó P
n
(x) là đa thức biến số x , có bậc n.
Cách giải : Đưa về dạng I = Q
n-1
(x). + .I
1

Giả sử : I
4
= = Q
n-1
(x). + . (*)
Với Q
n-1
(x) là đa thức biến số x ,bậc (n-1) và là số thực bất kỳ .
Lấy vi phân hai vế của (*) và đồng nhất các hệ số của những đa thức do vi phân có được, ta sẽ tìm được các hệ

7/*(Tp từng phần) ; ; ; ; .dx
8/* (Tp từng phần) ; ; .sinxcos
3
x.dx ; .cos
2
x.dx
9/ .dx ; .cotx.dx ; ;
10/ ; (Với a,b dương) ; Chứng minh + = 1(Với tana>0)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (16)
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
11/Cho y=f(x) xác định ,liên tục trên , có f(0)>0 và >0 .Chứng minh phương trình f(x) = sinx

Có ít nhất một nghiệm trên đoạn .
12/ .dx ; .dx ; dx ; ;

13/ .cos
2
2x.dx ; .cos
2
2x.dx ; dx;
14/ ; ; Tìm nguyên hàm của f(x) = ; .cos4x.dx
15/ -sinxcosx-co x).dx ; ; .dx ;
16/Chứng minh rằng : < dx < 2 ;Tính: ,
BÀI TẬP VỀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ
1/Chứng minh rằng : Nếu y = f(x) là hàm số chẵn , a > 0 thì = 2
Bài giải :
Xét I = . Đặt t = -x thì : dx = -dt .Do f(x) là hàm chẵn nên f(-x) = f(x) tức là f(t) = f(x)

Vậy f(x)dx = - f(t)dt. Khi x = - a thì t = a , Khi x = 0 thì t = 0

= (đpcm)
Áp dụng : Cho g(x) = sinx.sin2x.cos5x .Tìm họ nguyên hàm của y = g(x) .Tính I = .
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (18)