Trần Só Tùng Tích phân
Trang 101

Vấn đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán: Tính tích phân:
b
a
If(x,m)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xét dấu biểu thức f(x, m) trên [a, b]
Từ đó phân được đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ, giả sử:
112k
[a,b][a,c][c,c]...[c,b].=ÈÈÈ
mà trên mỗi đoạn f(x, m) có một dấu.
Bước 2: Khi đó:
12
1k
cc
b
acc
If(x,m)dxf(x,m)dx...f(x,m)dx.=+++
òòò

Ví dụ 1: Tính tích phân:
4
2
1

ç÷ç÷ç÷
èøèøèø

Chú ý: Với các bài toán chứa tham số cần chỉ ra được các trường hợp riêng biệt của tham
số để khéo léo chia được khoảng cho tích phân, ta xét hai dạng thường gặp trong phạm vi
phổ thông sau:
Dạng 1: Với tích phân:
b
a
Ixdx.=-a
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Khi đó với x[a,b]Ỵ cần xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a ³ b thì:

b
b
2
a
a
x1
I(x)dxx(ab)(ab2)
22
ỉư
=a-=a-=-+-a
ç÷
èø
ò


a
x1
I(x)dx(x)(ab)(2ab).
22
=-a=-a=-a--
òDạng 2: Với tích phân:
b
2
a
Ixxdx.=-a+b
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Khi đó với x[a,b]Ỵ cần xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu
2
40D=a-b£ thì:
b
2
a
I(xx)dx=+a+b
ò

Trường hợp 2: Nếu D > 0 thì
2
xx0+a+b= có hai nghiệm phân biệt
12


· Nếu
12
axbx£<£ thì:
1
1
x
b
22
ax
I(xx)dx(xx)dx.=+a+b-+a+b
òò

· Nếu
12
axxb£££ thì:
12
12
xx
b
222
axx
I(xx)dx(xx)dx(xx)dx.=+a+b-+a+b++a+b
òòò

Chú ý: Với bài toán cụ thể thường thì các nghiệm x
1
, x
2
có thể được so sánh tự nhiên với

Khi đó:
a1a1
22
0a00
Ix.(xa)dxx.(xa)dx(xax)dx(xax)dx=--+-=--+-
òòòòa1
32323
0a
xaxxaxaa1
.
3232323
ỉưỉư
=--+-=-+
ç÷ç÷
èøèøBÀI TẬP
Bài 9. Tính các tích phân sau:
a/
5
3
(|x2||x2|dx;
-
+--
ò
b/

ò
f/
1
1
|x|xdx
-
-
ò

g/
3
x
0
|24|dx;-
ò
h/
3
32
0
x2xxdx.-+
ò

ĐS: a/ 8; b/
3
2
c/
23
ln;
74
d/

p
+
ò

c/
0
1sin2xdx;
p
-
ò
d/
2
0
1sinx.dx.
p
+
ò

ĐS: a/ 2; b/ 4; c/ 22; d/ 42.
Bài 11. Cho
1
x
0
I(t)|et|.dx,tR=-Ỵ
ò

a/ Tính I(t).
b/ Tìm giá trò nhỏ nhất của I(t), với
tR.Ỵ


1
m,m0
2
1
mm,0m1.
2
ì
-£
ï
ï
í
ï
-+<£
ï
ỵ
b/
3
3a5
,a2
6
(a1)3a5
,1a2
36
53a
,a1
6
-
ì
³
ï

Từ bảng xét dấu ta có:
– với x[a;c]thìmax[f(x),g(x)]f(x)Ỵ=
– với x[c;b]thìmax[f(x),g(x)]g(x).Ỵ=
· Từ đó:
bcb
aac
max[f(x),g(x)dx[f(x),g(x)]dxmax[f(x),g(x)]dx=+
òòòcb
ac
f(x).dxg(x).dx=+
òò

· Cách tìm min[f(x),g(x)] thực hiện tương tự.

Ví dụ: Tính tích phân:
2
0
Imax[f(x),g(x)]dx,=
ò
trong đó
2
f(x)xvàg(x)3x2.==-
Giải:
Xét hiệu:
2
f(x)g(x)x3x2-=-+ trên đoạn [0 ; 2] :


ç÷
èø
=+--+=
òò

BÀI TẬP
Bài 13. Tính các tích phân sau:
a/
2
2
0
max(x;x)dx;
ò
b/
2
2
1
min(1;x)dx;
ò

c/
2
3
0
min(x;x)dx;
ò
d/
2
0
(sinx,cosx)dx.

phân đặc biệt.

Tính chất 1: Nếu f(x) liên tục và là hàm lẻ trên [–a ; a] thì:
a
a
If(x)dx0.
-
==
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi I về dạng:
a0a
aa0
If(x)dxf(x)dxf(x)dx
--
==+
òòò
(1)
Xét tính phân
0
a
Jf(x)dx.
-
=
ò

Đặt xtdxdt=-Þ=-
Đổi cận: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0
Mặt khác vì f(x) là hàm lẻ Þ f(–t) = –f(t).

ç÷
+èø
có:
· Liên tục trên
11
;
22
éù
-
êú
ëû

·
1x1x
f(x)f(x)cosx.lncos(x).ln
1x1x
--
ỉưỉư
+-=+-
ç÷ç÷
++èøèø1x1x
lnlncosxln1.cosx0.
1x1x
éù-+
ỉưỉư
=+==
ç÷ç÷

--
ỉưỉư
=+
ç÷ç÷
++èøèø
òò
. (1)
Xét tính chất
0
1/2
1x
Jcosx.lndx
1x
-
-
ỉư
=
ç÷
+èø
ò

Đặt xtdxdt=-Þ=-
Đổi cận:
11
xt.
22
=-Þ= x = 0 Þ t = 0.
Khi đó:

01/21/2

--
==+
òòò
(1)
Xét tính phân
0
a
Jf(x)dx.
-
=
ò

Đặt xtdxdt=-Þ=-
Đổi cận: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0
Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f(–t) = f(t)
Khi đó:
0aaa
a000
Jf(t)dtf(t)dtf(t)dtf(x)dx=--===
òòòò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được
a
0
I2f(x)dx=
ò
đpcm.
Chú ý quan trọng:
1. Trong phạm vi phổ thông tính chất trên không mang nhiều ý nghóa ứng dụng, do đó
khi gặp các bài toán kiểu này chúng ta tốt nhất cứ xác đònh:


bởi khi đó ta nhất thiết cần đi chứng minh lại tính chất 2, điều này khiến bài toán trở
nên cồng kềnh hơn nhiều so với cách làm thông thường, cụ thể:
1
3
1
x2
I.
33
-
==
2. Tuy nhiên không thể phủ nhận sự tiện lợi của nó trong một vài trường hợp rất đặc
biệt.
Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục và là chẵn trên R thì :
x
0
f(x)dx
If(x)dxvớiRvàa0.
a1
aa
+
-a
==">
+
òò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi I về dạng:
0
xxx

00
f(t)dtaf(t)dtaf(t)dt
I
a1a1a1
aa
-
a
-
===
+++
òòò

Vậy:
tx
txx
0000
af(t)dtf(x)dx(a1)f(x)dx
If(x)dx.
a1a1a1
aaaa
+
====
+++
òòòò

Áp dụng:
Ví dụ 2: Tính tích phân:
1
4
x

21
-
=
+
ò

Đặt x = –t Þ dx = –dt
Đổi cận: x = –1 Þ t = 1, x = 0 Þ t = 0.
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 108
Khi đó:
011
44t4x
ttx
100
(t)dtt.2.dtx.2.dx
J
212121
-
-
=-==
+++
òòò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
1111
4x44x
4
xxx
0000

2
p
=Þ= xt0.
2
p
=Þ=
Khi đó:
/20/2/2
0/200
f(sinx)dxf(sin(t)dtf(cost)dtf(cosx)dx
2
ppp
p
p
=--==
òòòò
đpcm.
Chú ý quan trọng:
Như vậy việc áp dụng tính chất 4 để tính tích phân:

/2/2
00
If(sinx)dx(hoặcIf(cosx)dx).
pp
==
òò

thường được thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Bằng phép đổi biến tx
2

n
nn
0
cosxdx
I
cosxsinx
p
=
+
ò

Giải:
Đặt txdxdt
2
p
=-Þ=-
Đổi cận: x0t,
2
p
=Þ= xt0.
2
p
=Þ=