1

BÀI GING XÁC SUT (Dành cho HS THPT)
Biên son : TS. Nguyn Vit ông, Khoa Toán –Tin hc, HKHTN, HQG TP.HCM.
I. TÓM TT LÝ THUYT
1. Qui tc đm
a) Qui tc cng : Gi s đi tng X có m cách chn khác nhau, đi tng Y có n cách chn
khác nhau và không có cách chn đi tng X nào trùng vi mi cách chn đi tng
Y. Khi đó có m + n cách chn mt trong hai đi tng y.
b) Qui tc nhân : Gi s có hai hành đng đc thc hin liên tip. Hành đng th nht có m
kt qu. ng vi mi kt qu ca hành đng th nht, hành đng th hai có n kt qu.
Khi đó có m.n kt qu ca hai hành đng liên tip đó.
2. Hoán v, chnh hp, t hp
Cho A là tp hp gm n phn t (n 1).
a) Mi cách sp đt tt c n phn t ca A theo mt th t nào đó đc gi là mt hoán v
ca n phn t . S các hoán v ca n phn t đoc ký hiu là P
n
.
Công thc : P
n
= n !
b) Mi cách ly ra k phn t t tp A (1 k n) và xp chúng theo mt th t nht đnh đc
gi là mt chnh hp chp k ca n phn t. S các chnh hp chp k ca n phn t đc
kí hiu là
k
n
A
.
Công thc
!
( 1)( 2) ( 1)

c A xy ra.
2

VD1. Gieo mt con xúc xc, gi 1, 2, …, 6 là s chm xut hin thì không gian mu là
 = {1,2,…, 6}.
VD2. Gieo mt đng xu hai ln, thì không gian mu là
 = {SS, SN, NS, NN}.
VD3. Gieo mt con xúc xc. Bin c B = {1, 3, 5} là bin c s chm xut hin ca xúc
xc là s l.
4. Mt s lai bin c
a) Bin c s cp
Mi tp hp con gm đúng mt phn t ca không gian mu gi là mt bin c s cp.
VD4. Trong ví d 1 thì bin c A = {1} là bin c s cp.
b) Bin c chc chn, bin c không th
Bn thân tp  đc gi là bin c chc chn. Tp rng là bin c không th.
c) Bin c hp (tng), bin c giao(tích), bin c bù
Bin c A B (còn kí hiu là A+ B) gi là bin c hp ca hai bin c A và B. Bin c
A B( còn kí hiu là AB) gi là bin c giao ca hai bin c A và B. Bin c
\AA

gi là bin c bù ca bin c A.
VD5. Trong ví d 1, xem các bin c A={1,3,5}, B= {3,6}.
Khi đó :
- Bin c AB là bin c {1,3,5,6} nó ch không xy ra khi s chm xut hin là 2
hoc 4.
- Bin c AB là bin c {3}.
- Bin c bù ca bin c A là bin c xúc xc xut hin mt chn.
Nhn xét: Bin c AB xy ra khi và ch khi có ít nht mt trong hai bin c A và B xy ra.
Bin c AB xy ra khi và ch khi c hai bin c A và B đng thi xy ra.
Bin c

10C 

cách chn 2 viên bi trong 5 bi. (không gian mu gm 10 phn t).
Có

2
3
3C 

cách chn 2 bi xanh trong 3 bi (đây là s phn t ca bin c đang xét).
Do đó xác sut đ ly đc 2 bi xanh là 3/10.

6. Công thc cng xác sut
a) Nu A và B là hai bin c xung khc thì P(A  B ) = P(A) + P(B).
b) Nu A và B là hai bin c tùy ý thì P (A  B ) = P(A) + P( B) – P (AB).
c)
( ) 1 ( )P A P A
.

VD7. Trong bình đng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đ. Ly ngu nhiên 3 viên . Tính xác sut
a) Ly đc mt hoc hai viên bi đ.
b) Ly đc ít nht mt viên bi đ.
Gii.
a) t A
1
là bin c trong 3 viên ly ra có đúng mt viên đ và A
2
là bin c trong 3 viên ly
ra có đúng hai viên đ. Ta phi tính xác sut ca bin c A là bin c trong ba viên ly ra
có mt hoc hai viên đ. Các bin c A

10
1 3 4
()
2 10 5
CC
PA
C
CC
PA
C
PA


  

b) Gi B là bin c ly đc ít nht mt viên bi đ thì
3
6
3
10
( ) 1 ( ) 1
C
P B P B
C
   
.
VD8. Mt lp hc có 50 hc sinh, trong đó có 12 hc sinh gii Toán, 8 hc sinh gii Vn
và 2 hc sinh gii c Vn ln Toán. Chn ngu nhiên mt hc sinh . Tính xác sut chn
đc mt hc sinh gii Vn hay Toán (gii c hai môn càng tt).
Gii. Gi A là bin c chn đc hc sinh gii Toán , B là bin c chn đc hc sinh gii

Xác sut đ Y tr v tay không là
P(B) = 1 – 0,15 = 0,85.
Các bin c A và B là đc lp. Vy xác sut đ c X và Y tr v tay không là
5

P(AB) = P(A). P(B) = 0,9 . 0,85 = 0,765.
Vy sau bui câu cá, gom s cá đã câu đc, xác sut đ hai bn đc ít nht mt con là
1 – P ( A  B) = 1 – 0,765 = 0, 235.
8. Bin ngu nhiên ri rc
i lng X đc gi là bin ngu nhiên ri rc nu nó nhn giá tr bng s thuc mt tp hu
hn nào đó và giá tr y là ngu nhiên không d đoán trc đc.
VD10. Gieo đng xu 5 ln liên tip. Kí hiu X là s ln xut hin mt nga thì X là bin ngu
nhiên ri rc, giá tr ca X là mt s thuc tp {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
9. Phân b xác sut ca bin ngu nhiên ri rc
Cho X là đi lng ngu nhiên ri rc nhn các giá tr x
1
, x
2
, …, x
n
. Ga s P(X = x
k
) = p
k
.
Bng sau đây đc gi là bng phân b xác sut ca bin ngu nhiên ri rc X.
X
x
1
x

E(X) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ … + x
n
p
n
.
b) Phng sai ca X, kí hiu là V(X) là mt s đc tính theo công thc
2
1
( ) ( ) , ( ).
n
ii
i
V X x p trong do E X


  


Chú ý

22
1

.
BT2 . Mt vé s s có 4 ch s. Khi quay s , nu vé ca bn mua có s trùng hoàn toàn vi
kt qu thì bn đc gii nht. Nu vé ca bn mua có đúng 3 ch s trùng vi 3 ch s ca
kt qu (k c v trí) thì bn trúng gii nhì. Bn An mua mt vé x s.
a) Tính xác sut đ An trúng gii nht.
b) Tính xác sut đ An trúng gii nhì.
Gii.
a) S kt qu đng kh nng là 10
4
và ch có mt kt qu trùng vi s vé ca An. Do đó xác
sut trúng gii nht ca An là
1
0,0001
10000

.
b) Có 9 vé sai khác hàng đn v ( so vi s trúng gii nht), tng t cng có 9 vé sai khác
hàng chc, hàng trm, hàng ngàn, hàng vn. Do đó có 9+9+9+9 =36 vé trúng gii nhì .
Vy xác sut trúng gii nhì ca An là
36
0,0036
10000

.
BT3. Mt lp hc có 30 hc sinh, trong đó có có 10 n. Chn ngu nhiên 3 ngi trc lp. Tính
xác sut trong 3 ngi đó có đúng mt n.
Gii. S trng hp đng kh nng là
3
30
C

7

BT5. Có 3 hp phn. Hp th nht có 2 viên trng 3 viên màu ; hp th hai có 4 viên trng 7
viên màu; hp th ba có 3 viên trng 5 viên màu. Ly ngu nhiên t mi hôp ra mt viên.
a) Tính xác sut c 3 viên ly ra đu trng.
b) Tính xác sut trong 3 viên ly ra có hai viên trng.
Gii. Gi A, B, C là bin c viên phn ly ra t hôp th nht, th hai, th ba là viên trng. Ba
bin c này đc lp.
a) Bin c c ba viên đu trng là ABC.
2 4 3 3
( ) ( ). ( ). ( ) . . .
15 11 8 35
P A B C P A P B P C   

b) Bin c 3 viên ly ra có 2 viên trng là
.
( ) ( ) ( ) ( ) (
2 4 5 2 7 3 3 4 3 59
15118 15118 511 8 220
F ABC ABC ABC
P F P ABC ABC ABC P ABC P ABC P AB
  
     
   

BT6. Mt lô hàng cha 10 sn phm, trong đó có 6 sn phm tt và 4 sn phm xu. Chn ngu
nhiên t lô hàng 2 sn phm. Gi X là s sn phm tt có trong hai sn phm chn ra .
a) Lp bng phân b xác sut ca X.
b) Tính kì vng, phng sai và đ lch chun ca X.
Gii.

C
CC
p P X
C
   
   
   

Vy bng phân b ca X là
X
0
1
2
P
2/15
8/15
1/3

b) Kì vng, phng sai và đ lch chun ca X
8

2 2 2 2
2 8 1
( ) 0 1 2 1,2.
15 15 3
2 8 1
( ) 0 1 2 (1,2) 32/75 0,4267.
15 15 3
( ) ( ) 0,4267 0,6532.
EX

; d)7.6.5.4.3/7
5
; e) 1/49; f)1/7; g) 6
3
/7
5
.
BT4. Mt sn phm phi ln lt qua 4 công nhân gia công đc lp. Xác sut đ mi công nhân
làm hng sn phm là 0,01.Tính xác sut đ sn phm sut xng không hng .
S : (0,99)
4
.
BT5. Ba x th đc lp bn mi ngi mt viên vào 3 tm bia. Xác sut đ các x th bn trúng
bia ln lt là 0,7; 0, 8; 0,5. Tính xác sut trong 3 viên có
a) Mt viên trúng.
b) Hai viên trúng.
c) Không có viên nào trúng.
d) It nht mt viên trúng.
9

S : a)0,22; b) 0,47; c)0,03; d) 0,97.
BT6. Gi A là tp hp các s gm hai ch s khác nhau đc lâp thành t các ch s
1,2,3,4,5,6. Ly ngu nhiên mt phn t ca A, tính xác sut ly đc s chn.
S: 2/15.
BT7. Mt bình đng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đ. Ly ngu nhiên 3 viên bi. Tính xác sut đ
đc:
a) 3 viên xanh.
b) 3 viên đ.
c) 3 viên cùng màu.
d) Ít nht hai viên xanh.

1
2
3
P
5/30
15/30/
9/30
1/30

10

BT11. Gieo 3 con xúc xc. Gi X là s con xúc xc xut hin mt 6. Lp bng phân b xác sut
ca X.
S :
X
0
1
2
3
P
125/216
75/216
15/216
1/216