21 CHUN ĐỀ TỐN ƠN THI TỐT
NGHIỆP VÀ CD&ĐH 2011 VẤN ĐỀ 19 : GÓC

1/. Góc giữa 2 vectơ :
 
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
u u
u u
u u

 
 
 

1/. Tìm góc

giữa 2 đt
1

và
2



giữa 2 mp

và

:
 Tìm 2 vtpt :
1
n

và
2
n

của

và



1 2
1 2
.
cos
.
n n
n n


 


 
 Bài 1: Tính góc

giữa đt d :
1 1 3
1 1
2
x y z
  
 

và trục Ox. Đáp số :

=45
0

Bài 2: Tính góc

giữa đt d :
x t
y 1 2t
z 2 t



 

0
:
1

:
4 2
1 1
2
x y z
 
 

và
2

:
3
1 2
1
x t
y t
z mt
 


 


  


:
 Cho (S) : ( x –a )
2
+ (y-b)
2
+( z-c)
2
= R
2

có tâm I và
bán kính R.
mp

: Ax+By+Cz+D=0
a/.


,d I R

 
mp

không có điểm chung với (S)
b/.


,d I R

 


)

pt (1)
 H=



với

qua I và

 

b/.Mặt cầu có đường kính AB

tâm I là trung điểm của
AB,R=
1
(1)
2
AB pt

c/. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( hay mặt cầu qua 4
điểm A,B,C,D không đồng phẳng ) :
 Thế toạ độ A,B,C,D vào pt(1) hay pt(2)
, ,
A B C

hoặc a ,

n



 
2
/ 2
,R R d I

 
 
 

 Đường thẳng

qua I ,






pt tham số

.
 I
/
=

 

4
OB i j k
  
   
, C(2,4,3) ,
2 2
OD i j k
  
   

1/. Chứng minh :
; ;
AB AC AC AD AD AB
  
. Tính thể tích khối
tứ diện ABCD.
Đáp số : V= 4/3
2/. Viết pt tham số của đường vuông góc chung

của 2 đt AB
và CD . Tính góc

giữa

và (ABD).
Đáp số :


, 0, 4,2
a AB CD

=0 ;

2
: z -
21
1
2

=0
Bài 3: Cho mp

: x+y+z-1=0 và đt d :
1
1 1 1
x y z

 


1/. Tính thể tích khối tứ diện ABCD với A,B,C là giao điểm của

với Ox ,Oy ,Oz và D = d


Oxy

Đáp số : V = 1/6
2/. Viết pt mc (S) qua A,B,C,D , tìm toạ độ tâm I
/
và bán kính R

.
Đáp số : (S) : (x-3)
2
+(y+2)
2
+(z+2)
2
= 14 ; H(4,0,1)
2/. Xét vò trí tương đối của (S) với mp(Oyz) .
Đáp số : (S) cắt mp(Oyz)
Bài 5: Cho mp

: 2x-2y-z+9=0 và mc(S) : x
2
+y
2
+z
2
-6x +4y -2z-86 =
0
1/. Tìm toạ độ tâm I , tính bán kính R của (S) .
Đáp số : I(3,-2,1) ; R = 10
2/. Chứng minh

cắt (S) , viết pt đường tròn giao tuyến (C) của

và (S).Tìm toạ độ tâm I
/
, bán kính R
/

z
 


  





Viết pt mp

tiếp xúc với (S) và

song song với d
1
và d
2
.
Đáp số :
4 6 5 128 0
4 6 5 26 0
x y z
x y z
   
   
*VẤN ĐỀ 21: CÁCH VIẾT PT ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG d

. 0
 
 
 

 
 
 
 
   
   
AB a AB a
AB b ABb

 Giải hệ trên ta tìm được t
1
và t
2
 tọa độ A và B
 Viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 1: Cho 2 đường thẳng : d
1
:
3
1 2
2 2
x t
y t
z t
 



  




và d
2
:
1 2
3



 




x t
y t
z t

1/. Chứng minh :
1 2
d d

và d
1