CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH
TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG
Trong cơ học, nếu một hạt chuyển động tự do với vận tốc
, hàm Lagrange của nó là:
Xung lượng của hạt và lực tác dụng lên nó:
v c

2
1
2
L mv

L
p mv
v


 
 

L
F
r





(2)
(3)
(1)

Thật vậy, ta tính xung lượng suy rộng của hạt :
trong đó là xung lượng thông thường của hạt
Lực suy rộng tác dụng lên hạt
L
mv eA p eA
v


   
   

p

( )
L
egrad egrad Av
r



  
 

(7)
(8)
Đưa (7) và (8) vào phương trình Lagrange (4):
Vì không phải là hàm của tọa độ, nên
và phương trình trên trở thành :
Vì thế là hàm của tọa độ và thời gian t, nên :
( ) ( )

r
   
  

 
 
 
 
     
   
  

(9)
Do đó (9) trở thành :
Hay :
Đó chính là phương trình chuyển động của hạt trong
điện từ trường mà ta đã rút ra được từ phương trình
Lagrange
Thí dụ: Dùng hàm Lagrange khảo sát chuyển động của
electron
Xét một nguyên tử gồm hạt nhân và một electron, chọn
hệ tọa độ K có gốc tại hạt nhân và trục Oz song song
với từ trường ngoài. Đối với electron,
nên hàm Lagrange (6) của nó là:
dp A
e grad e vrotA
dt t




0 0
1
2
L m v e e A v

  
 
r

A

B

1
2
A Br
 

 
  
2
0 0
1
2
1
2
v Br
L mv e e

 



v

v v r

 

 
 
  
K





2
0 0
1 1
2 2
L m v r e e v r Br
  
     
  
    
     
    



L
e B
m
 
 
2 2
2
0
1
2 2
L L L L
m
L mv mv r r e mv r m r
    
       
  
     
       
     
15 1
0
10
s



0
v r



0
2
L
e B
m




(13)