Khóa luận tốt nghiệp
“Phép biến đổi Laplace”
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

1 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó,
mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành
khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính
thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý
học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học.
Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa
giữa toán học và vật lý học.
Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết
gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của
nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự
phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời
của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết.
Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới.
Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối
quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm
được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều
hiện tượng xét một cách tổng quát nhất.
Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất

- Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.
- Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong.
- Chương 3: Bài tập
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

3 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

PHẦN 2: NỘI DUNG
Chương 1
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES

1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG
1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)
Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó
ứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trường
vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc
vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có:
u = f (M) = f (x, y, z)
Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi
điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm
này.
Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của
trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộc
cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Để
biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất
cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mức
tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C các

nào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được định hướng
(H.1.1).
Giả sử M và
1
M
là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu
S

là độ dài cung
1
MM
,
S

lấy dấu + nếu điểm
1
M
đứng sau điểm M và
lấy dấu - nếu điểm
1
M
đứng trước điểm M.
Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo
cung M
1
M
là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch
chuyển từ M đến
1
M


, ta có:

f
L


=
1
1
( ) ( )
lim
M M
f M f M
S



(1.1)
Ta có thể dễ dàng chứng minh:

1
M
f
L



=
1 1 1

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

5 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

với L tại điểm
1
M
nói cách khác,
nếu các đường cong
1
L
và
2
L
đi qua
1
M
có tại điểm này cùng một vectơ
tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểm
này theo đường cong
1
L
bằng đạo
hàm theo đường cong
2
L
(H. 1.2).
1.2 Gradien của trường vô hướng
Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng
vectơ

u
y


là đạo hàm
theo hướng vectơ
j

, đạo hàm riêng
u
z


là đạo hàm theo hướng vectơ
k

. Trước
hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ


.

2 2 2
cos
a
a b c
 
 
;
2 2 2

Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ


và vectơ có toạ
độ là (
u
x


,
u
y


,
u
z


). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu:
Gradu =
u
x


i

+
u
y

M
H. 1.2



Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

6 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Hay là:
. cos( , )
u gradu gradu
     

  
 
 

Vậy:

.cos( , )
u
gradu gradu

  



(1.5)
Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng

 

Đạo hàm theo hướng gradien, tức

2 2 2
ax
( 12 4 ( 4) 176 13.3
m
u

      



Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số
2 2
u x y x
  tại điểm
0
(1,2)
M theo
hướng vectơ
0 1
M M

trong đó
1
(3,0)
M .
Giải:

0
(6,4)
M
gradu  và
.
2
u gradu 
 
  

 

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

7 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z)
tại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc với
đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt
mức u(x, y, z) = C, C là hằng số.
Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l
nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khi
nó chuyển động theo đường cong l, nên
0
u
l





. Tức là góc giữa


và
gradu
bằng
0
90
.
Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm
0
M
với các đường cong nằm trong mặt
mức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm
0
M
. Nếu
0
M
có các toạ độ
0 0 0
( , , )
x y z
thì:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
) . ) . ) .
M x y z x y z x y z
u u u
gradu i j k

  
.
Bởi vì:
gradu
l
M
H.1.3



Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

8 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 2 2 1
gradu xi y j k
   
  
,
cho nên

0
4. 2.
M
gradu i j k
    
  
.
Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã cho

trên thực nghiệm. Thí dụ, trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng
φ (không đơn trị), nhưng
E grad



là cường độ điện trường có thể đo được
trên thực nghiệm.
2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ
2.1 Trường vectơ-đường vectơ
H.1.4
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

9 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ
Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực,
trường từ hay trường điện như
E grad



được nêu ở trên. Để biểu diễn hình
học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà
tại mỗi điểm của nó vectơ
A

nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này.
Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là các
đường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ. Trong trường gradien

vectơ này tỉ lệ với nhau.

( , , ) ( , , ) ( , , )
dx dy dz
dt dt dt
P x y z Q x y z R x y z
  (2.1)
Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là (x, y, z) ta có:

( , , , ) ( , , )
dx
x y z t P x y z
dt
  ;

( , , , ) ( , , )
dy
x y z t Q x y z
dt
 
; (2,2)
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

10 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh ( , , , ) ( , , )
dz
x y z t R x y z
dt

,
n

) được xác định tại mọi điểm của mặt S.
Nếu
A
Pi Q j Rk
  
   
và các góc chỉ phương của vectơ
n

tương ứng
bằng , ,  tức là:
n cos cos cos
i j k
     
   
thì
f(M) cos cos cos
P Q R
     

hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S.
Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệu
bằng chữ :

S S
= ( , )dS= (Pcos Qcos R cos )
A n dS

( ) ( )
A x y i y x j zk
    
   

Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính với
tâm tại gốc toạ độ.
Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo
bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị

2 2 2
n
R xi y j zk
xi y j zk
R
x y z
 
    
 
   
   

do
2 2 2
1
x y z
  
đối với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy:

2 2 2

lim
S
V M
A n dS
divA
V



 

(2.3)
Những điểm của trường tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm
nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút.
Giả sử trường vectơ

A Pi Q j Rk
  
   

trong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1, 2 liên tục thì

( , ) ( cos cos cos )
lim lim
S S
V M V M
A n dS P Q R
divA
V V
  

sao
cho:

( ) ( ) .
TB
M
V
P Q R P Q R
dV V
x y z x y z
     
     
     


vì thế

( )
lim lim( )
TB
V
M
V M V M
P Q R
dV
x y z
P Q R
divA
V x y z
 

(2.7)
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

13 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Như vậy thông lượng của trường vectơ A qua bề mặt kín bằng tích
phân 3 lớp của
divA

trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức
này chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi
divA

liên tục trong miền V.
Ví dụ: Tính thông lượng của trường vectơ

( ) ( )
A x y i y x j zk
    
   

qua mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ.
Giải:
( ) ( )
3
x y y x z
divA
x y z
    
   

 


trong miền G nào đó không chứa
gốc tọa độ. Hãy tính
divF

.
Giải:
2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 2 3/ 2
( ) ( ) ( )
mx my mz
F i j k
x y z x y z x y z
  
   
     
   

Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng:

0
divF



tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ. Vậy
F

là trường hình ống trong miền G.

a
m
divF
a


   

.
2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive
Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của
trường vectơ. Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng người
ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học
Ddiv




trong đó
D

là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do.
3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ
3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến
Ta xét trường vectơ:

A Pi Q j Rk
  
   




0
' ' '
( ) ( ) ( )
t
t
l
Pdx Qdy Rdz P t t t t Q t t t t R t t t t dt
                    
 

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

15 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Như vậy để tính lưu thông của trường vectơ ta có thể áp dụng công thức
stockes
( ) os +( ) os ( ) os
l S
R Q P R Q P
Pdx Qdy Rdz c c c dS
y z z x x y
  
 
     
      
 
     
 


.
Tỷ số lưu thông theo chu tuyến l và diện
tích  của bề mặt S được giới hạn bởi chu
tuyến l trên được gọi là mật độ lưu thông trung
bình

l
Adl


 

(3.5)
ta gọi giới hạn :
lim
l M
Adl



 

là mật độ lưu thông tại điểm
M
trên bề mặt S. Ta
có:

lim lim
l l
0
( ) os +( ) os ( ) os
lim
R Q P R Q P
c c c d
y z z x x y


   


 
     
   
 
     
 

0
( ) os +( ) os ( ) os
lim
TB
M
R Q P R Q P
c c c

  
  
   

thì mật độ lưu thông tại điểm
M
theo hướng
n

bằng:
( ) os +( ) os ( ) os
R Q P R Q P
c c c
y z z x x y
  

     
    
     

Biểu thức trên là tích vô hướng của vectơ
n

và vectơ

( ) +( ) ( )
R Q P R Q P
i j k
y z z x x y
     

( ) +( ) ( )
R Q P R Q P
rot A i j k
y z z x x y
     
    
     
   
(3.7)
có giá trị hoàn toàn xác định (về độ lớn, về hướng) tại mỗi điểm của trường đã
cho do đó rota lập thành trường vectơ mới.
Biểu thức (3.7) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau:

i j k
rotA
x y z
P Q R
  

  
  

(3.8)
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

17 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ
A


A yi x j
 
  
  

Do đó

0 0 0
( ) 2
rotA k k
  
  
  

3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ

n
l S
Adl rot AdS

 
  
(3.9)
trong đó
n
rot
A

là hình chiếu của vectơ rot
A

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

18 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh B
rotE
t

 



(3.11)
Các phương trình (3.10), (3.11) là các phương trình Maxwell
4. CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI DIVE VÀ ROTA
4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không
Thật vậy, nếu
A ai b j ck
  
   
trong đó a, b, c là hằng số thì

0
a b c
divA
x y z
  
   
  

 
  rotC rotA rotB
 
 
  

Chứng minh: Giả sử

1 1 1
A Pi Q j R k
  
   2 2 2
B P i Q j R k
  
   

Khi đó:

1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
C P P i Q Q j R R k
     
     
   

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

19 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

a/ Giả sử u và v là hai trường vô hướng. Khi đó uv cũng là trường vô hướng ta
có:
graduv = ugradv+vgradu
b/ Giả sử u là trường vô hướng,
A

là trường vectơ. Khi đó u
A

là trường vectơ
và

( , )
divu A gradu A udivA
 
  ( )
rotuA gradu A urotA
  
  

Để chứng minh ta viết vectơ
A


hướng. Cùng với nó là các phép tính của trường như: phép tính gradien của
trường vô hướng, phép tính dive của trường vectơ và phép tính rota của
trường vectơ. Trong phạm vi chương 1 chúng ta chỉ tìm hiểu các phép tính
này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc.

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

20 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

CHƯƠNG 2
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CONG

1. HỆ TỌA ĐỘ CONG
1.1 Định nghĩa
Vị trí của một điểm M trong không gian được xác định bằng bán kính
vectơ
r

. Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz:
r xi y j zk
  

,
2
q
,
3
q
được gọi là toạ độ cong của điểm M.
Vì mỗi điểm M ứng với hệ toạ độ
1
q
,
2
q
,
3
q
do đó mỗi một toạ độ này là
một hàm của bán kính vectơ
r
1 1
2 2
3 3
( ) ( , , )
( ) ( , , )
( ) ( , , )
q r q x y z
q r q x y z


là
hàm số của
1
q
,
2
q
,
3
q
.

1 2 3
1 2 3
1 2 3
( , , )
( , , )
( , , )
x x q q q
y y q q q
z z q q q










21 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Tương tự ta có mặt tọa độ
2
q
,
3
q
.
Tập hợp tất cả các điểm sao cho trên tập này chỉ có tọa độ
1
q
thay đổi (còn tọa
độ
2
q
,
3
q
không thay đổi) được gọi là các đường tọa độ. Hiển nhiên giao tuyến
của hai mặt
2
q
và
1
q
cho ta đường tọa độ
3
q



là mặt trụ có trục tọa độ Oz.
onst
c


là nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục Oz.
onst
z c

là mặt phẳng song song với mặt Oxy.
Các đường tọa độ:
Đường z là đường thẳng song song với trục Oz, đường

là đường tròn có
tâm nằm trên trục Oz trong mặt phẳng vuông góc với trục Oz, đường

là nửa
đường thẳng xuất phát từ trục Oz và song song với mặt phẳng Oxy.
b/ Hệ tọa độ cầu
Vị trí của một điểm được xác định bởi bộ ba số
1
q r

,
2
q



 
 








z
O
x

y
M

z

ρ
φ

H.1.2
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

22 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

onst
r c


(i=1, 2, 3) là các vectơ đơn vị tiếp
xúc tại điểm này với các đường tọa độ
i
q

và hướng theo chiều tăng của các đường tọa độ
i
q
.
Ta nhận thấy rằng trong hệ tọa độ Descartes hướng của các véc
tơ
i


không phụ thuộc vào vị trí của M, còn trong hệ tọa độ cong, ba véctơ đơn
vị trực giao
1 2 3
, ,
e e e
  
phụ thuộc vào các vị trí của M.
Gọi vectơ đơn vị có phương pháp tuyến với mặt tọa độ
i i
q C

và hướng
theo chiều tăng của
i
q
là

điểm
1
M
, có tọa độ
1 1 2 3
( , , )
q q q q
 .
Lập tỉ số
x
z

O
y
φz

M
θ

r

H.1.3
i
i




q



tiến đến vectơ cùng phương, cùng chiều với
vectơ đơn vị
1


tại M. Đó là vectơ đạo hàm
1
r
q



, do đó
1
1
1
r
h
q






.

2 2 2 2
1
1 1 1
( ) ( ) ( )
x y z
h
q q q
  
  
  

Tương tự, ta có:
2 2 3 3
2 3
;
r r
h h
q q
 
 
 
 
 
 

trong đó:

2 2 2 2
( ) ( ) ( )
i

1

1



1
r



r


H.1.5
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

24 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

sin ; 1;
r
h r h h r
 

  

Hệ số lame trong hệ tọa độ trụ

; 1; 1
z

r r
h h e e
q q
 

 
 
 

từ đó suy ra:

( , ) 0
i j
r r
q q
 

 
 
với
i j

(1.4)
hay:

( , ) 0
i j i j i j i j
r r x x y y z z
q q q q q q q q
       

, nên gradq
i
cùng phương và cùng chiều với vectơ đơn vị
pháp tuyến
i
e

, ta có thể viết
i
i i
gradq gradq e

2
2 2
2
i i i
i
q q q
gradq
x y z
 
  
   
  
   
 
  