1
TRƯỜNGTHPTCHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH
TỔTOÁN
ĐỀTHITH ỬĐẠIHỌCNĂM2010
MÔNTOÁN –KHỐIA
(Thời gianlàm bài:180phút)
PHẦNCHUNGCHOTẤTCẢTHÍSINH(7,0điểm)
Câu I.(2,0 điểm)
Chohàmsố
2
2
x
y
x
=
+
1. Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahàmsốđãcho.
2. Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủađồthị(C),biếtrằngkhoảngcáchtừtâm
đốixứngcủađồthị(C)đếntiếptuyếnlàlớnnhất.
Câu II.(2,0điểm)
1. Giải phươngtrình:
2
4 os 2
tan 2 .tan 2
4 4 tan cotx
c x
x x
x

p p


ln
1
x
I dx
x
=
+
ò
Câu IV. (1,0điểm)
ChohìnhchóptứgiácđềuS.ABCDcóđộdàicạnhđáybằnga,mặtbêntạovới
mặtđáygóc60
0
.Mặtphẳng(P)chứaABvàđiquatrọngtâmtamgiácSACcắt
SC,SDlầnlượttạiM,N.TínhthểtíchhìnhchópS.ABMNtheoa.
Câu V.(1,0điểm)
Chocácsốthựca,b,cthỏamãn:0 1,0 1,0 1a b c < £ < £ < £ .Chứng minhrằng:
( )
1 1 1 1
1 3a b c
abc a b c
æ ö
+ + + ³ + + +
ç ÷
è ø
PHẦNRIÊNG(3,0điểm)
Thísinhchỉđượclàmmộttronghaiphần(phần1hoặcphần2)
1.TheochươngtrìnhChuẩn:
Câu VI. a (2,0điểm)
1. TrongmặtphẳngOxychotamgiácABCcó
( )

 .Viếtphươngtrình
mặtcầu (S’)đốixứngvớimặtcầu (S)quamặtphẳng
( )

a
 .
Câu VII.a (1,0điểm)
Độidựtuyểnbóngbàncó10nữ,7nam,trongđócódanhthủnamlàVũMạnh
CườngvàdanhthủnữlàNgôThuThủy.Ngườitacầnlậpmộtđộituyểnbóng
bànquốcgiatừđộidựtuyểnnóitrên.Độituyểnquốcgiabaogồm3nữvà4
nam.Hỏicóbaonhiêucáchlậpđộituyểnquốcgiasaochotrongđộituyểncó
mặtchỉmộttronghaidanhthủtrên.
2.TheochươngtrìnhNângcao:
Câu VI. b(2,0điểm)
1. Trong mặtphẳng với hệtoạđộOxy,chotamgiác ABCcóđỉnhAthuộc
đường thẳng d: x – 4y– 2= 0, cạnh BCsong song với d, phươngtrình
đường caoBH:x+y+3=0vàtrung điểmcủacạnhAClàM(1;1).Tìm toạ
độcácđỉnhA,B,C.
2. Trongkhônggianvới hệtoạđộOxyz,chohình thangcânABCDvới
( ) ( ) ( )
3; 1; 2 , 1;5;1 , 2;3;3A B C - -
,trong đóABlàđáylớn,CDlàđáy nhỏ
(CD<AB).Tìm toạđộđiểm D.
Câu VII.b (1,0điểm)
Giảihệphươngtrình:
3 1 2 3
2
2 2 3.2
3 1 1
x y y x

Sựbiếnthiên
( )
2
4
' 0 x D
2
y
x
= > " Î
+
Hàmsốđồngbiếntrên
( )
; 2 -¥ -
và
( )
2; - +¥
0,25
Bảngbiếnthiên
x
–¥ –2+¥
y’ ++
y
+¥ 2
2 –¥
0,25
Tiệmcận:Tiệmcậnđứngx=2;tiệmcậnngangy=2
Đồthịnhậngiaođiểm
( )
2;2I -
củahaiđườngtiệmcậnlàmtâmđốixứng

+
Tõmixng
( )
22I -
.Tacú
( )
( ) ( )
4 2
8 2 8 2 8 2
, 2 2
2 2 2
16 2 2.4. 2
a a a
d I d
a
a a
+ + +
= Ê = =
+
+ + +
0,25
0,25
( )
,d I d
lnnhtkhi
( )
2
0
2 4
4

ù
ạ ạ
ợ
ýrng
tan 2 .tan 2 tan 2 .tan 2
4 4 4 4
cot 2 .tan 2 1
4 4
x x x x
x x

p p p p
p p

ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
- + = - - + =
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ổ ử ổ ử
- + + = -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
0,25
KhiúPT(1)trthnh:
2
2
4 os 2
1 cotxtanx=4cos 2
t anxcotx
c x

0, 0, 1 0x y x y ạ ạ + - ạ
t
2 2
1
x
u x y v
y
= + - =
.
0,25
5
HPTtrthnh:
( )
( )
3 2
3 2
1 1
1
21 4 2
1 4 22
u v
u v
u v
u v
ỡ
ỡ
+ =
+ =
ù ù


1 9
1
10
3 3
3
x y
y
x y
x
x
x y
y
ỡ
+ - =
=
ỡ
+ =
ỡ
ù

ớ ớ ớ
= =
=
ợ
ợ
ù
ợ
0,25
Nu
7

=
=
ù ù ù
=
ợ
ợ
ù
ợ
Sosỏnh iukintac4nghimcaHPT.
0,25
III
Tớnhtớchphõn
1,00
t
ln
2 1
1
dx
u x
du
x
dx
dv
v x
x
=
ỡ
ỡ
=
ù ù

=
ũ
t
3 3 3
2
2 2
2 2 2
1 1
1 .2 2 2
1 1 1 1
t t
t x J tdt dt dt
t t t t
ổ ử
= + ị = = = + -
ỗ ữ
- - - +
ố ứ
ũ ũ ũ
0,25
8
3
1
2 ln 2 ln3 ln2
1
t
t
t
ổ - ử
= + = + -

( ); .
2 3 16
ABMN
a a
SK ABMN SK V S SK ^ = Þ = = (đvtt)
0,25
V
Chứngminhbấtđẳngthức
1,00
Vì0 1,0 1a b < £ < £ nên
( )( )
1 1 0 1 0a b ab a b - - ³ Þ - - + ³
1 a b ab Þ ³ + -
( )
1 1 1
1 1
ab a b
Þ ³ + -
0,25
Chứngminhtươngtự:
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1 2 , 1 3
bc b c ca c a
³ + - ³ + -
CộngcácBĐT(1),(2),(3)vếtheovế:
( )
1 1 1 1 1 1
2 3 4
ab bc ca a b c

( )
1 1 1 1 1 1
2 3a b c
a b c a b c
æ ö
³ + + + + + + + -
ç ÷
è ø
CũngtheoBĐTCauchytađược:
( )
1 1 1
9a b c
a b c
æ ö
+ + + + ³
ç ÷
è ø
Dođó
( )
1 1 1 1 1 1 1
1 6 3 3a b c
abc a b c a b c
æ ö
+ + + ³ + + + - = + + +
ç ÷
è ø
(đpcm)
Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhia=b=c=1.
0,25
VI.a 2,00

CH AB ^
( ) ( )
5 ; , 3; 6
B B B B
CH x y AB x y = - + = + -
uuur uuur
0,25
( )( ) ( )
3
1 6
. 0
5 3 6 0 2 3
B B
B B
B B B B B
x y
x x
CH AB
x x y y y
- =
ì
= =
ì ì
ï
= Û Û Ú
í í í
- + + - = = - =
ï
î î
î

( )

a

PTđườngthẳngIJ:
1 2
2
4 2
x t
y t
z t
= +
ì
ï
= - -
í
ï
= +
î
0,25
ToạđộgiaođiểmHcủaIJvà
( )

a
 thoả
( )
1 2 1
2 1
1; 1;2
4 2 1

Scỏchchnituynbúngbnqucgia
1,00
1. ituyncúVMnhCng,khụngcúNgụThuThu
Scỏchchn3namcũnlil
3
6
C
Scỏchchn3nkhụngcúNgụThuThul
3
9
C
0,25
Suyrascỏchchntrongtrnghpnyl
3 3
6 9
. 1680C C =
(cỏch)
0,25
2.ituyncúNgụThuThu,khụngcúVMnhCng
Scỏchchn4namkhụngcúVMnhCngl
4
6
C
Scỏchchn2ncũnlil
2
9
C
0,25
Suyrascỏchchntrongtrnghpnyl
4 2

ổ ử
ị - -
ớ ớ
ỗ ữ
=
ố ứ
ợ
ù
= -
ù
ợ
VỡMltrungimcaACnờn
8 8

3 3
C
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
0,50
VỡBCiquaCvsongsongvidnờnPT(BC) :
2
4
x
y = +
0,25
( )
3 0
4
: 41

nờncúphngtrỡnh:
0,25
9
2 2
3 6
3 3
x t
y t
z t
= -
ỡ
ù
= +
ớ
ù
= +
ợ
Phngtrỡnhmtcu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 3 1 2 9S x y z - + + + + =
ToimDthoHPT:
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2
1
3 6
49 82 33 0
33

Vi
33 164 51 48

49 49 49 49
t D
ổ ử
= - ị -
ỗ ữ
ố ứ
(nhn)
0,25
VII.b
Giihphngtrỡnh
1,00
( )
( )
3 1 2 3
2
2 2 3.2 1
3 1 1 2
x y y x
x xy x
+ - +
ỡ
+ =
ù
ớ
+ + = +
ù
ợ

ợ
0,25
Vix=0thayvo(1):
2
2
8 8
2 2 3.2 8 2 12.2 2 log
11 11
y y y y y
y
-
+ = + = = =
0,25
Vi
1
1 3
x
y x
-
ỡ
ớ
= -
ợ
thayy=13xvo(1)tac:
( )
3 1 3 1
2 2 3.2 3
x x + - -
+ =
t

1
4
t - tachn
3 2 2t = +
.
Khiú
( )
3 1
2
1
2 3 2 2 log 3 2 2 1
3
x
x
+
ộ ự
= + = + -
ở ỷ
( )
2
1 3 2 log 3 2 2y x = - = - +
VyHPTóchocú2 nghim
2
0
8
log
11
x
y
=