Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
GIẢI PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN
Vấn đề phương pháp tọa độ trong không gian dành cho học sinh trung bình yếu
I) THỰC TRẠNG DẠY VÀ HỌC HHGT TRONG KHÔNG GIAN:
- Đối với Giáo viên: Dạy học còn chủ quan, chưa thống nhất nội dung giảng dạy, chưa có
điều kiện học hỏi trao đổi chuyên môn, còn lúng túng trong đổi mới phương pháp dạy học,
- Đối với học sinh: Đa số mất căn bản, khó lấy lại căn bản hơn bộ môn khác, không biết
phương pháp học, ham chơi, chưa xác định được động cơ học tập
- Đối với gia đình học sinh: ít quan tâm việc học của con em mình lo làm kinh tế, thường
giao phó việc học tập của con em cho nhà trường
- Chương trình sách giáo khoa: Còn nặng về lý thuyết mang tính hàn lâm. chưa có sự
thống nhất hài hòa giữa 2 bộ sách cũng như quan điểm trình bày
- Cơ sở vật chất chưa đáp ứng trong việc đổi mới phương pháp dạy học, như chưa có
phòng học bộ môn, việc sử dụng công nghệ thông tin vào dạy học còn hạn chế
II) MỘT SỐ GIẢI PHÁP:
Giáo viên cần chuẩn bị tốt yêu cầu sau:
- Thường xuyên tự học hỏi trao đổi chuyên môn.
- Nghiên cứu thật kỹ chuẩn kiến thức để dạy kiến thức chuẩn cho học sinh.
- Cần nghiên cứu các đề thi Tốt nghiệp THPT những năm gần đây, trong đó hình học giải
tích trong không gian chiếm 1/5 số điểm (2 điểm). Câu hỏi trong đề thi cho theo chuẩn kiến
thức (kiến thức cơ bản)
- Nội dung. Chú ý có 3 phần chính:
- Giáo viên lớp 12 dạy thật kỹ phần này, sao cho mỗi học sinh đều làm được, nhắc lại
nhiều lần và cho bài tập tương tự củng cố sau từng nội dung dạy.
+ Cụ thể: phải đảm bảo các kiến thức chuẩn trọng tâm và rèn luyện kỹ năng giải
được các các dạng toán sau:
1) Hệ trục tọa độ trong không gian
- Tính dược tọa độ các phép toán của 2 vectơ: tổng, hiệu, tính 1 số với 1 véctơ, tính vô
hướng 2 vec tơ
- Khoảng cách 2 điểm
- Xác định tâm, bán kính mặt cầu cho trước

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r
2.
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
⇔
1 2 3
a a i a j a k
= + +
r r r r
2
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
2. Bi ểu thức tọa độ các phép toán vec tơ
Trong không gian Oxyz Cho
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
và
1 2 3
( ; ; )b b b b
=
r

b
r
cùng phương
1 1
2 2
3 3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
=


⇔ ∃ ∈ = ⇔ =


=

r r
 Cho A(x
A
;y
A
;z
A
), B(x
B
;y
B
;z

( ; ; )b b b b
=
r
là:

1 1 2 2 3 3
. . os(a; )a b a b c b a b a b a b
= = + +
r r r r r r

2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r

2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −

1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . .
s( , )
.
a b a b a b
co a b
a a a b b b

+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với
A
2
+B
2
+C
2
-D > 0
là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính
2 2 2
r A B C D= + + −
.
B. BÀI TẬP:
Bài 1.
Viết tọa độ của các vectơ say đây:
2a i j
→ → →
= − +
+
K3
;
7 8b i k
→ → →
= −
;
9c k

→
a
- 2
→
c
b. Chứng tỏ
→
a
⊥

→
b
và
→
b
⊥

→
c
Bài 3. Cho 2 vectơ
→
a
= (1; 2; 3) Tìm tọa độ của vectơ
x
→
, biết rằng:
a)
0a x
→ → →
+ =

04284
222
=−−++++
zyxzyx
c.
07524
222
=−−++−−− zyxzyx
d.
03936333
222
=+−+−++ zyxzyx
Bài 7.
Viết phương trình mặt cầu:
a. Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 4.
b. Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c. Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
d. Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1)
e. Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.
5
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
C. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:
•
n
r
≠
0
r

làm vectơ pháp
tuyến có phương trình dạng: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0.
• Nếu (P) có cặp vectơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ),b ( ; ; )a a a a b b b= =
r r
không cùng phương và có giá
song song hoặc nằm trên (P) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định

n
=
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
, ; ; ( ; ; )
b b b b b b
a b a b a b a b a b a b a b
 
 
= = − − −
 ÷
 

α
song song mp (Oxy )
 A,B,C,D
0
≠
. Đặt
, ,
D D D
a b c
A B C
= − = − = −
Khi đó
( ): 1
x y z
a b c
α
+ + =
(Các trường hợp còn lại xét tương tự)
6
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho (
α
): Ax+By+Cz+D = 0, (
α
’):A’x+B’y+C’z+D’= 0
 (
α
)cắt (
α

0
) đến mp(α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
+ + +
α =
+ +
D. BÀI TẬP
Bài 1.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
n
r
biết
a. Điểm
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2= −
r
b.
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1− =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3− − =
r
d,

M 3;6; 5 , : x z 1 0− β − + − =
Bài 4:
Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và
a. Song song với các trục 0x và 0y.
b. Song song với các trục 0x,0z.
c. Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 5:
Lập phương trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
a. Cùng phương với trục 0x.
b. Cùng phương với trục 0y.
c. Cùng phương với trục 0z.
Bài 6:
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
a. (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
b. (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
c. (P) đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ
Bài 7:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0
a. Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mp (P).
b. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P). ( TNPT năm 1993)
Bài 8*:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a. Chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau
b. Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và đi
qua A(-1;2;3).
c. Lập phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và
song song với Oz.
d. Lập phương trình mặt phẳng (

b. Viết phương trình mp(Q) qua A vuông góc (P) và vuông góc với (y0z)
c. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mp(P).
Bài 13:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và
(Q): mx - 6y - 6z + 2 = 0
a. Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau, lúc đó hãy
tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
b. Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q)
Bài 17:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
a. Chứng minh rằng mp(AB’D’) song song mp(BC’D)
b. Tính khoảng cách giửa hai mặt phẳng trên.
9
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
c. Chứng minh rằng A’C vuông góc (BB’D’D)
§ 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
E. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình tham số của đường thẳng :
* Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có vec
tơ chỉ phương


0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
10
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
2. Vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng

' '
1
1
' '
2 2
' '
0 3
3
'
: ': '
'
o
o
o o
o
x x a t
x x a t

'
3
'
2
'
1
'
aaaa =
đi qua M
’
(x
o
;y
o
z
o
);
a.
a
,
'
a
cùng phương
 d // d’⇔





∉

' '
0 3 3
'
'
'
o o
o o
o
x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t

+ = +

+ = +


+ = +

(I)
 d cắt d’ ⇔ Hệ Phương trình (I) có một nghiệm
 d chéo d’⇔ Hệ Phương trình (I) vô nghiệm
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D = 0 và
1
2
0 3
:
o
o

(
d
)
⊥
(
α
)
,a n⇔
r r
cùng phương
11
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
E. BÀI TẬP
Bài 1
Lập phương trình tham số và chính của đường thẳng (d) trong các trường hợp sau :
a. (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận
(3;2;3)a
r
làm VTCP
b. (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
c. (d) đi qua A(2; -1; 3) và vuông góc mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + 1 = 0
Bài 2
Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường
thẳng (d) có phương trình:
( )
R t,
21
22: ∈



ty
tx
46
32
23
và d
’
:





+=
−−=
+=
'20
'41
'5
tz
ty
tx

b. d:





−=

( )
1
1
2
1
1
2
:
1
−
=
−
=
− zyx
d

( ) ( )
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d ∈



−=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0
b)
( )
R t,
1
9
412
: ∈





+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
Bài 7
Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng d:


a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b. Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC).
c. Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
d. Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB
Bài 10
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
a. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).
b. Chứng tỏ rằng AC’ vuông góc mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).
13
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TỔNG HỢP
Bài 1:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).
1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đương thẳng AB.
2. Gọi M là điểm sao cho
MCMB 2−=
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông
góc với đường thẳng BC. (Đề thi tốt nghiệp 2006)
Bài 2:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng
)(
α
có phương trình x + 2y
– 2z + 6 = 0.
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là góc tọa độ O và tiếp xúc mặt phẳng
)(
α
.
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng (
∆

Bài 5:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: (S):
( ) ( ) ( )
36221
222
=−+−+− zyx
và (P): x + 2y + 2z +18 = 0.
1. Xác định tọa độ tâm T và bán kính mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng
(P).
14
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
2. Viết phương trình tham số của đương thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa
độ giao điểm của d và (P).
(Đề thi tốt nghiệp 2009)
Bài 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) và mặt phẳng (P) có phương
trình 6y+8z+1=0
1.Viết phương trình tham số của đường thằng d đi qua hai điềm M và N.
2.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) là mặt phẳng tiếp diện.
Bài 7:
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3), C(3;1;4)
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua ba điểm A,B,C
2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và có đường kính bằng 4
Bài 8:
Trong không gian Oxyz, cho điểm
( )
2; 1;0A −
và đường thẳng d:

=


= +

và mặt phẳng (P):
012 =++− zyx
.
1. Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng (d).
Bài 10:
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2 ; -1 ; 1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0).
1. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng .Viết phương trình mp(ABC).
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
Bài 11:
Trong không gian Oxyz cho các điểm A( 1 ; -3 ; -1), B( -2; 1 ; 3)
1/ Viết phương trình đường thẳng AB
2/Viết phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ và vuông góc AB
Bài 12:
15
Chun đề: Hình học giải tích trong khơng gian
Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) và đường thẳng d có phương trình
1 1 1
2 1 2
x y z− + −
= =
.
1) Viết phương trình mặt phẳng
α
qua A và vng góc d.

1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua M và song song với mặt phẳng
2 3 4 0x y z− + − =
.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (
α
).
Bài 16: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm
( )
2; 1;0A −
và đường thẳng d:
1 2
1
2 3
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

1. Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua A và vng góc với d.

= +


=

( t là tham số)
1. Tìm giao điểm I của ∆ và (α).
2. Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (α).
Bài 20:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) và đường thẳng (d)
có phương trình
x 1 2t
y 3 t
z 6 t
= +


= − +


= −

1. Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d).
2.
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm hai điểm M và N.
17