Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
B giáo d c v o t oộ ụ à đà ạ
Trường đại học dân lập đông đô
Khoa công ngh thông tinệ
Luận văn tốt nghiệp
một số vấn đề ứng dụng của đồ thị trong tin học
Giáo viên h ng d n ướ ẫ : PGS.TS c GiáoĐỗ Đứ
Giáo viên ph n bi n ả ệ :
Sinh viên th c hi nự ệ : Phan Thanh Long
Lớp : CT96A - Khoá II
Hà Nội 6 - 2000
1
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
2
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
Lời nói đầu
Bước sang năm bản lề của thế kỷ 21, nhìn lại thế kỷ 20 là thế kỷ mà con
người đạt được nhiều thành tựu khoa học rực rỡ nhất, một trong những thành
tựu đó là sự bùng nổ của ngành khoa học máy tính. Sự phát triển kỳ diệu của
máy tính trong thế kỷ này gắn liền với sự phát triển toán học hiện đại, đó là toán
rời rạc.
Toán học rời rạc nghiên cứu các cấu trúc có tính chất rời rạc không liên tục.
Toán rời rạc bao gồm các lĩnh vực như quan hệ, lý thuyết đồ thị, lôgíc toán,
ngôn ngữ hình thức trong đó lý thuyết đồ thị là một bộ phận trọng tâm với
nhiều khối lượng kiến thức khá lý thú và được nghiên cứu nhiều nhất.
Toán rời rạc nói chung và lý thuyết đồ thị nói riêng là công cụ thiết yếu cho
nhiều ngành khoa học kỹ thuật, và là một thành phần quan trọng trong học vấn
đối với sinh viên các ngành kỹ thuật đặc biệt sinh viên ngành Tin học. Lý thuyết
Toán học rời rạc.
Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng trong các ngành kỹ thuật và đã được
nghiên cứu nhiều với khối lượng kiến thức khá đồ sộ. Đề tài được thực hiện
trước tiên sẽ đề cập tới những vấn đề chủ yếu của Lý thuyết đồ thị, sau đó tuỳ
từng nội dung cũng sẽ xoay quanh tới những ứng dụng của đồ thị trong Tin học,
giải quyết các bài toán trong Tin học như xác định xem hai máy tính trong mạng
có thể truyền tin được hay không nhờ mô hình đồ thị của mạng máy tính, hay là
bài toán nối mạng máy tính sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất hoặc việc khắc
phục những gói tin bị truyền sai nhờ các giải thuật đã nghiên cứu về đồ thị. Có
những ứng dụng của đồ thị không đi trực tiếp vào các lĩnh vực trong Tin học, ví
dụ như bài toán lập lịch trong công tác hành chính, xác định đường đi ngắn nhất
giữa 2 điểm nút giao thông, ta cũng xem đó là ứng dụng 1 cách gián tiếp trong
Tin học vì nếu được mô hình tốt những bài toán đó bằng đồ thị thì sẽ giải quyết
chúng dễ dàng bằng máy tính, hoặc là về chơi cờ Ca rô tuy chỉ là môn chơi về
trí tuệ nhưng đồ thị cũng hỗ trợ tốt cho nhưng ai muốn lập trình chơi cờ Ca rô
trên máy tính khi đã mô hình được các thế cờ bằng đồ thị.
Đề tài được thực hiện xong bao gồm những nội dung sau đây:
Chương 1 Một số vấn đề cơ bản của đồ thị
Nhằm trình bày những khái niệm cơ bản nhất về lý thuyết đồ thị, là cơ sở tìm
hiểu sâu sắc hơn các vấn đề tiếp theo. Ngoài các định nghĩa, tính chất cơ bản
của đồ thị, chương này có trình bày đến 1 vấn đề quan trọng, đó là cách lưu trữ,
biểu diễn và xử lý đồ thị trên máy tính khi đã xét những mô hình biểu diễn hình
học. Cấu trúc dữ liệu liên quan chặt chẽ đến giải thuật, việc biểu diễn đồ thị trên
máy tính như thế nào sẽ ảnh hưởng đến cách giải các bài toán ứng dụng bằng
máy tính. Trong chương có trình bày một số phương pháp biểu diễn đồ thị trên
4
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
máy tính, mỗi phương pháp đều có những ưu và khuyết điểm riêng, vì vậy cần
lựa chọn phương pháp sao cho phù hợp với đặc điểm từng bài toán và đạt được
5
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
Khi nói đến đường đi ngắn nhất, người ta cũng hay nói đến mở rộng của bài
toán đường đi ngắn nhất thành đường đi dài nhất. Trong vấn đề này ta lại có 1
ứng dụng nữa trong công tác lập lịch, đó là sơ đồ mạng PERT cho việc lập dự
án thi công một công trình. ứng dụng này rất thực tiễn và đã đem lại nhiều hiệu
quả cao cho việc thi công một công trình.
Chương 5 Một số vấn đề về cây
Đây là chương cuối cùng và là chương sẽ đề cập tới nhiều ứng dụng nhất.
Cây là một trường hợp riêng của đồ thị, để nghiên cứu hết các tính chất, khái
niệm về cây cần cả 1 khối lượng kiến thức đồ sộ và đã có những đề tài cấp luận
văn hoặc hơn thế nữa nghiên cứu về cây. Trong chương này chỉ đề cập tới
những điểm chính nhất, cơ bản nhất về cây và tập trung khai thác những ứng
dụng của nó.
Những ứng dụng của cây thì rất nhiều, trong chương chỉ đề cập tới những ứng
dụng cơ sở nhất nhưng cũng thiết thực nhất, đó là 1 số ứng dụng của cây nhị
phân như mã tiền tố, cây biểu diễn biểu thức, cây quyết định, cây sắp xếp và tìm
kiếm.
Trong lý thuyết đồ thị, khi nói về cây thì cây bao trùm là vấn đề không thể
thiếu, vì đây cũng là đặc điểm rất hay của đồ thị. Trong cây bao trùm lại có cây
bao trùm bé nhất, lớn nhất và đây lại là 1 dạng của bài toán tối ưu. Trong
chương cũng sẽ giới thiệu ứng dụng thực tiễn của cây bao trùm nhỏ nhất trong
việc kết nối mạng sao cho chi phí nhỏ nhất, đồng thời đưa ra 1 số thuật toán tìm
cây bao trùm, đặc biệt có những thuật toán rất cơ sở được nêu ra, được dùng
nhiều trong việc giải quyết các bài toán đồ thị trên máy tính như là kỹ thuật
quay lui, tìm kiếm ưu tiên theo chiều rộng và chiều sâu.
Chương 1
một số vấn đề cơ bản của đồ thị
I. Các định nghĩa đồ thị
mạng máy tính như hình 1.2 trong đó có các máy tính A, B, C, D tương ứng là
các đỉnh, giữa 2 máy được nối trực tiếp với nhau thì tương ứng với 1 cặp đỉnh
kề nhau.
7
x
y
x
y
u
x
y
y
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
Hình 1.2 Ví dụ về một đồ thị
2. Đồ thị đơn
Đồ thị G = <X, U> được gọi là đồ thị đơn nếu giữa hai đỉnh bất kỳ được nối
với nhau bởi không quá một cạnh (cung), tức là đồ thị không có cạnh bội,
không có khuyên.
Hình 1.2 là một ví dụ về đồ thị đơn
3. Đa đồ thị
Đồ thị G = <X, U> được gọi là đa đồ thị nếu nó có ít nhất một cặp đỉnh được
nối với nhau bởi hai cạnh (hai cung) trở lên.
4. Giả đồ thị
Là đồ thị có ít nhất một khuyên, có thể chứa cạnh bội, cạnh đơn. Tóm lại đây
là loại đồ thị tổng quát nhất.
a) b)
Hình 1.3 a. Đa đồ thị b. Giả đồ thị
II. Các loại đồ thị
1. Đồ thị vô hướng
III. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của đồ thị
1. Bậc đồ thị
1.1 Bậc đồ thị vô hướng
Cho đồ thị vô hướng G = <X,U>. Xét 1 đỉnh x ẻ X đặt m(x) là số cạnh thuộc
đỉnh x khi đó m(x) được gọi là bậc của đỉnh x. Nếu x có một khuyên thì m(x)
được cộng thêm 2.
m(x) = 3 m(x) = 2
- Nếu m(x) = 0 thì đỉnh x được gọi là đỉnh cô lập
- Nếu m(x) = 1 thì đỉnh x được gọi là đỉnh treo
Ta đặt
thì m(G) được gọi là bậc của đồ thị vô hướng G = <X, U>
1.2 Bậc đồ thị có hướng
9
x
x
∑
∈
=
X x
m(x) m(G)
A
B
C
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
Cho đồ thị có hướng G= <X,U> xét 1 đỉnh x ẻ X, ta ký hiệu m
+
(x) là số các
cung vào của đỉnh x, còn m
(A) + m
+
(B) + m
+
(C) ] + [m
-
(A) + m
-
(B) + m
-
(C)]
= [1 + 2 + 1] + [2 + 1 +1] = 8
Định lý:
Cho đồ thị hữu hạn G = <X,U> khi đó bậc của đồ thị G bằng 2 lần số cạnh
của đồ thị, tức là m(G) = 2ỗU ỗ.
Chứng minh:
Ta thấy một cạnh thuộc 2 đỉnh, nếu xoá một cạnh thì bậc của G giảm đi 2,
nếu xoá một khuyên u = (x, x) thì bậc của G cũng giảm đi 2, còn nếu xoá hết
cạnh, hết khuyên thì bậc của đồ thị bằng 0. Từ đó suy ra định lý.
Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị G = <X,U> là một số chẵn
Chứng minh:
Gọi A và B tương ứng là tập đỉnh bậc lẻ và tập đỉnh bậc chẵn của đồ thị. Ta
có:
Do vế trái chẵn nên tổng vế phải cũng là số chẵn. Mà tổng bậc của các đỉnh
bậc chẵn (xẻA) là số chẵn nên tổng bậc của các đỉnh bậc lẻ (xẻB) phải là số
10
∑∑
∈
−
∈
Tập hợp các đỉnh kề nhau từ x
i
đến x
j
được gọi là 1 đường đi, kí hiệu
x
i
x
i1
x
i2
x
j
º x
i
u
i
x
i1
u
i1
x
i2
u
i2
u
j
x
j
Trong đó các cạnh, các đỉnh trong đường đi có thể lặp lại
D
E
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
Xét đồ thị có hướng như hình 2.1 thì ABCB là một đường đi độ dài 3; CBA
không là một đường đi vì không có cung đi từ B đến A.
Định lý:
Nếu trong đồ thị G = <X,U> các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 2 ( "x ẻ X |
m(x) ³ 2 ) thì trong G tồn tại ít nhất một chu trình.
Chứng minh:
Xét tất cả các đường đi đơn. Vì đồ thị là hữu hạn cho nên số các đường đi
đơn là hữu hạn. Chọn một đường đi là dài nhất nào đó ví dụ từ x
i1
đến x
ij +1
(xem hình vẽ dưới đây). Theo giả thiết m(x) ³ 2 nên tồn tại ít nhất một đỉnh x
i0
và một cạnh nối đỉnh x
i1
và x
i0
. Đỉnh x
i0
thuộc một trong các đỉnh trên đường
đi đã chọn chẳng hạn x
ij
vì đường đi là dài nhất, nên chứng tỏ tồn tại một chu
trình trong đường đi.
3. Đồ thị liên thông
Khi đó: X = X
1
ẩ X
2
U = U
1
ẩ U
2
Thì G = <X,U> là đồ thị có 2 thành phần liên thông G
1
, G
2
.
12
x
i0
x
i1
x
i2
x
i3
x
ij
x
ij+1
A
B
F
C
3
, U
3
> với X
3
= {F} và U
3
= ặ
Cho đồ thị có hướng G = <X, U>
- G được gọi là đồ thị liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng tương ứng với nó
là liên thông
- G là liên thông một chiều nếu với hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ của G luôn
có đường đi x - y hoặc đường đi y - x.
- G là liên thông mạnh (liên thông 2 chiều) nếu hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ
của G đều có đường đi x - y và đường đi y - x.
H
1
H
2
H
3
Hình 3.4
ở hình 3.4 đồ thị H
1
là liên thông mạnh, giả sử cặp đỉnh (A,C) ta có chiều đi
từ C tới A, và đồng thời cũng có chiều đi từ A tới C, và bất kỳ các cặp đỉnh
khác cũng tương tự như vậy. H
2
là liên thông một chiều vì xét cặp đỉnh (A,D)
có chiều đi từ D tới A nhưng không có chiều đi từ A tới D. H
diễn như sau: Biểu diễn các đỉnh của đồ thị bằng các điểm (hay vòng tròn nhỏ, ô
vuông nhỏ) và nối hai điểm bằng một đường (cong, thẳng, mũi tên) khi cặp
điểm đó ứng với một cạnh (cung) của đồ thị.
Ví dụ 1: Cho đồ thị G = <X,U> trong đó
X = {A, B, C, D, E} và U = {AB, AC, AD, AE, BD, CD, CE}
a) b)
Hình 4.1
Hình 4.1.a và hình 4.1.b đều là biểu diễn hình học của đồ thị G đã cho ở
trên
2. Sự đẳng cấu
Với mỗi đồ thị thì có thể có nhiều dạng biểu diễn hình học, có nhiều đồ thị
tưởng chừng khác nhau nhưng đó là cách biểu diễn hình học khác nhau của
cùng một đồ thị, sự đẳng cấu cho phép chúng ta kết luận được điều đó.
Định nghĩa: Xét 2 đồ thị G
1
= (X
1
, U
1
) và G
2
= <X
2
, U
2
>
Hai đồ thị này được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại 1 song ánh từ X
1
vào
X
C
D
E
B
A
m
n
p
q
a
b
c
d
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
Ta có f : G
1
đ G
2
f(a) = m f(c) = n
f(d) = q f(b) = p
Nếu a, b ẻ X
1
kề nhau thì f(a), f(b) ẻ X
2
kề nhau.
Vậy đây là 2 đồ thị đẳng cấu với nhau, ta có thể xem G
1
và G
phân biệt luôn kề nhau. Xem ví dụ như hình 4.4 dưới đây hoặc 1 trường hợp
riêng của đồ thị đều G - 3 là những đồ thị đầy đủ
a) b)
Hình 4.4 a - đồ thị đầy đủ K
2
; b - đồ thị đầy đủ K
4
3.3 Đồ thị bánh xe:
Ký hiệu W
n
, thu được từ đồ thị vòng có n đỉnh bằng cách bổ sung một đỉnh
mới nối tất cả các đỉnh đã có.
W
4
W
5
W
6
Hình 4.5 Các dạng đồ thị bánh xe
3.4 Một vài ứng dụng của đồ thị đặc biệt
ở các mạng cục bộ (LAN), các máy tính thường được kết nối theo một cách
thức nào đó gọi là hình trạng (topolopy). Dựa theo đặc điểm của các totolopy
này mà ta có thể mô hình bằng 1 số dạng đồ thị đặc biệt. Ví dụ với mạng LAN
các máy tính được kết nối theo topolopy hình sao (Star) sau đây:
Hình 4.6
ở dạng này, tất cả các máy được nối vào một thiết bị trung tâm có nhiệm vụ
nhận tín hiệu từ các máy và chuyển đến máy đích của tín hiệu. Từ đặc điểm
16
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
Phương pháp này dựa trên mối quan hệ giữa các cặp đỉnh, mỗi đồ thị được
đặt tương ứng với một ma trận vuông cấp n (n là số đỉnh của đồ thị). Gọi ma
trận kề là A = (a
ij
) i,j = 1 n.
+ Trường hợp G = <X,U> là đồ thị vô hướng với X = {x
1
, x
2
, ,x
n
} khi đó
mỗi phần tử a
ij
của ma trận A được xác định như sau: a
ij
= a
ji
= d, nếu cặp đỉnh
(x
i
, x
j
) có d cạnh nối với nhau. Khi cặp đỉnh (x
i
, x
j
) không có cạnh nào nối với
nhau thị a
ij
. Ma trận kề trong trường hợp này là không đối xứng.
Trong 2 trường hợp trên ta chú ý nếu đỉnh x
i
có một khuyên thì phần tử tương
ứng của ma trận kề là a
ii
= 1
G1 G2
Hình 4.8
Ta có thể dùng ma trận kề biểu diễn đồ thị G1 và G2 trong hình 4.8 như sau:
Đối với đồ thị có trọng số mỗi cạnh e = (x
i
, x
j
) được gán một trọng số l(e)
(còn viết là l(x
i
, x
j
) ) thì ma trận kề của nó được thay bằng ma trận có trọng số,
khi đó mỗi phần tử của ma trận bằng trọng số của cạnh tương ứng: a
ij
= l(x
i
,
x
j
)
Ưu điểm của phương pháp này là dễ dàng xác định được các cặp đỉnh có kề
=
0010
0021
1201
0111
1G
M
=
011
010
110
2G
End;
Procedure Gan(Mt1: MaTran; Var Mt2: MaTran); {Mt2 < Mt1}
Var i,j:Integer;
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Mt2[i,j]:=Mt1[i,j];
End;
Procedure TichMt(mt1,mt2: Matran; Var MtKq: MaTran); { MtKq =
Mt1*Mt2 }
Var i,j,k: Integer;
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do Begin
MtKq[i,j]:=0;
For k:=1 to n do MtKq[i,j]:=MtKq[i,j]+Mt1[i,k]*Mt2[k,j];
End;
End;
19
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
Procedure LthuaMt(m: Integer); {aa = a ^m (m: do dai duong di, m>=2) }
Var i: Integer;
Begin
Gan(a,b);
For i:=1 to m-1 do Begin
TichMt(b,a,aa);
Gan(aa,b);
End;
End;
Procedure FindWay(i,j: Integer); { Tim so duong di tu dinh i >j }
4
2 Nil
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
G
1
G
2
Hình 4.9
Ví dụ: Hình 4.9 đồ thị G
1
và G
2
được biểu diễn bằng danh sách cạnh (cung)
như sau:
Như vậy để lưu trữ đồ thị cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ. Nhược điểm của
phương pháp này là để xác định những đỉnh nào của đồ thị là kề với một đỉnh
cho trước chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh.
4.3 Danh sách kề
Phương pháp biểu diễn bằng danh sách kề cũng được sử dụng khá phổ biến
và thường hay dùng cho đồ thị có hướng.
Danh sách kề cho đỉnh x
i
là danh sách gồm tất cả các đỉnh kề của x
i
theo thứ
tự các đỉnh trong tập đỉnh X. Ta có thể biểu diễn đồ thị như một mảng FIRST,
với phần tử FIRST[i] là con trỏ trỏ tới danh sách kề cho đỉnh x
i
.
4 1
4 2
Danh sách cung G
2
2
1
1
2
3 Nil
3
2
3 Nil
4 Nil
4 Nil
3 Nil
1 Nil
2
3 Nil
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh
Long
2
3
4
b) Danh sách kề đồ thị G
2
Bộ nhớ sử dụng cho phương pháp biểu diễn danh sách kề là tỷ lệ thuận với
tổng số đỉnh và các cạnh của đồ thị.
Nhược điểm của cách biểu diễn này là thời gian cần thiết để xác định có một
cạnh đi từ đỉnh x
Gọi M là tập của tất cả các tập ổn định ngoài của G = <X,U>. Khi đó ký hiệu
b(G) = Min {ùBù / Bẻ M} và b(G) được gọi là số ổn định ngoài của đồ thị G.
Đối với các tập ổn định ngoài, ta thường quan tâm đến tập ổn định ngoài có số
phần tử ít nhất vì lực lượng của nó liên quan tới số ổn định ngoài của đồ thị.
3. Nhân đồ thị
Cho đồ thị vô hướng G = <X, U>. Nếu tập A Í X vừa là tập ổn định trong vừa
là tập ổn định ngoài của đồ thị G thị A được gọi là nhân của đồ thị.
Đối với nhân của đồ thị, ta quan tâm tới nhân có số phần tử ít nhất.
Hình 1.1
Ví dụ: xét đồ thị hình 1.1 ta có:
Các tập ổn định trong của đồ thị là:
A
1
= {1, 5, 7} A
6
= {2, 6, 7}
A
2
= {1, 6, 7} A
7
= {4, 5, 7}
A
3
= {3, 5, 7} A
8
= {4, 6, 7}
A
4
= {3, 6, 7} A
9
; B
3
= A
3
; B
4
= A
4
. Vì các tập này nếu bớt đi 1 trong các phần tử của chúng thì tập còn lại
không là tập ổn định ngoài nữa. Số ổn đỉnh ngoài của đồ thị này là b(G) = 3.
Nhân của đồ thị trên là B
1
, B
2
, B
3
, B
4
vì các tập này là tập ổn định trong và đồng
thời cũng là tập ổn định ngoài.
4. Các thuật toán tìm các tập ổn định trong cực đại, ổn định ngoài cực tiểu.
4.1 Thuật toán tìm số ổn định trong
- Bước 1: Tìm các tập ổn định trong có 2 phần tử bằng cách xét tất cả tổ hợp
chập 2 của n phần tử (n số các đỉnh), kiểm tra những tập nào mà phần tử của ma
trận kề tương ứng bằng 0 thì tập đó là ổn định trong.
- Bước 2: Duyệt từng tập có 2 phần tử và bổ sung thêm phần tử thứ 3 và kiểm
tra từng cặp như bước 1, tập nào thoả ta được tập ổn định trong 3 phần tử.
- Bước k: Giả sử đã tìm được m tập con ổn định trong có k + 1 phần tử
+ Duyệt từng tập và bổ sung vào các tập đó thêm 1 phần tử
km
} sao cho D(x
k1
) ẩ D(x
k2
) ẩ ẩD(x
km
) = X
Khi đó B là tập ổn định ngoài cực tiểu
5. ứng dụng đồ thị trong lập trình chơi cờ Ca rô
Ta xét một ứng dụng của đồ thị cho bài toán lập trình chơi cờ Ca rô trên máy
tính. Cờ carô là loại cờ mà rất nhiều bạn trẻ đặc biệt giới sinh viên học sinh ưa
thích. Quy tắc và cách thức chơi đơn giản, nhưng nó thực sự là bài toán tin rất
hay, là bài lập trình thể hiện nhiều tư duy thuật toán, cũng như cơ sở về trí tuệ
nhân tạo cho việc lập trình trò chơi giữa người và máy.
Ta xét ứng dụng của đồ thị phục vụ cho bài toán lập trình trò chơi Carô.
Xét một thế cờ Carô như hình 1.2.a
o
1
x
1
x
2
x
4
24
0 1 0 2
A = 0 0 2 2
0 2 0 0
1 0 0 1
x
1
x
2
x
3
o
2
o
1
x
4
o
3
4
4
4
2
1
3
Copyright: Tài liệu đại học ©