2(x
1
+x
3
)(x
1
+x
4
)(x
2
+x
3
)(x
2
+x
4
)=
=2(b-d)
2
-(a
2
-c
2
)(b-d)+(a+c)
2
(b + d).
2) a, b, c là 3 số tùy ý thuộc đoạn [0 ; 1]. Chỷỏng minh :
a
b+c+1
+
b

Cho hai số nguyên dỷơng p và q khác nhau.
Tính tích phân I =
0
2
cospx cosqx dx


.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu I.
1) Giả sử phỷơng trình x
2
+ax+b=0cónghiệm x
1
và x
2
,phỷơng trình x
2
+cx+d=0cónghiệm x
3
và x
4
.
Chỷỏng tỏ rằng
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu I.1)ĐặtA=(x
1
+x

1
+d=(d-b)-(a+c)x
1
,
(x
2
+x
3
)(x
2
+x
4
)=(d-b)-(a+c)x
2
,
dođóA=[(d-b)-(a+c)x
1
][(d-b)-(a+c)x
2
]=(d-b)
2
+ (a + c)(b - d)(x
1
+x
2
)+(a+c)
2
x
1
x

a+b+1
Từ đó
a
b+c+1
+
b
a+c+1
+
c
a+b+1
+ (1 - a)(1 - b)(1 - c)
Ê
a
a+b+1
+
b
a+b+1
+
c
a+b+1
+
1-c
a+b+1
=1
.
Câu II.1)Tacósin
3
x + cos
3
x Ê sin

a
2
=b +c
2
22
,
2l
2
+
b
2
2
=a
2
+c
2
,





ị k
2
+l
2
+m
2
=
3

B + sin
2
C),
4sin
2
A + 4sin
2
B + 4sin
2
C = 2(1 - cos2A) + 2(1 - cos2B) + 4(1 - cos
2
C) =
= 8 + 4cosCcos(A - B) - 4cos
2
C=8+cos
2
(A - B) - [2cosC - cos(A - B)]
2
Ê 9,
suy ra:
k+l+m
3
9R
4
22 2 2
.
Nh vậy:
k+l+m
3
k+l+m

A
)
2
=a
4
+(a-3)
2
.
Hàm f(a) =a
4
+(a-3)
2
có đạo hàm
f(a) = 4a
3
+ 2(a - 3) = 2(a - 1)(2a
2
+2a+3),
suyrakhia=1,f(a) đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy đoạn AM ngắn nhất khi M M(1,1).
2)VớiM(1,1)đỷờng thẳng AM có hệ số góc
k=
y-y
x-x
=-
1
2
MA
MA
.
VìPcóphỷơng trìnhy=x





b) p q :
2
o
1
I [cos(p q)x cos(p q)x]dx
2

=++


2
o
1 sin(p q)x sin(p q)x
0
2pq pq


+
=+ =

+


Câu Va. Phơng trình
1
(C )

(C )
dới dạng x = m.
Từ điều kiện tiếp xúc ta có hệ :
|3 m| 2
|6 m| 1
=


=


m = 5.
Vậy đờng thẳng đúng x = 5 là đờng thẳng tiếp xúc với
1
(C ) và
2
(C ) . Mọi đờng thẳng tiếp xúc
với
1
(C ) và
2
(C ) khác với đờng thẳng đứng đều có dạng
ax y + b = 0
Theo điều kiện tiếp xúc, ta có
2
2
3a b
2
a1
6a 3 b


22
(3a b) 4(a 1)
3a b 2(6a 3 b)


+= +

+= +



hoặc
22
(3a b) 4(a 1)
3a b 2(6a 3 b)


+= +

+= +


+
==



++
=
,
2
917 33917
(d ) : y x
88

=

3
(d ) : y 2= .
Tóm lại, ta có 4 đờng thẳng tiếp xúc với
1
(C ) và
2
(C ) là
123
(d ),(d ),(d ) và x = 5.
Câu IVb.
1) AC'là đờng cao trong tam giác cân SAC, do đó để C' thuộc đoạn SC, S phải là góc nhọn,
muốn vậy phải có OC < SO h > 2a.
Tứ giác AB'C'D' có các đờng chéo AC' và B'D' vuông góc với nhau. Gọi K là giao điểm các
đờng chéo ấy. Ta có :
22
4ah 2dt(SAC) AC'.SC AC'. h 4a===+

22
4ah
AC'

V SO.dt(ABCD) ha
33
==
.
Tam giác SAB có cạnh AB a 5= và đờng cao hạ từ đỉnh S
22
4a 5h
SH
5
+
=
,
do đó có diện tích
22
a
s4a5h
2
=+
. Từ đó suy ra diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD :
S = 4s + dt (ABCD) =
222
4a 2a 4a 5h++, thành thử :
22
3V 2ah
r
S
2a 4a 5h
==
++
.

2
AB AB
4sin cos
2sin(A B) A B
22
2tg
AB
cos(A B) 1 2
2cos
2
++
++
= =
+
++

Để ý rằng kết quả này chỉ đúng với giả thiết A, B là góc nhọn, vì
khi đó :
0 < 2cosA cosB = cos (A + B) + cos (A B) cos (A + B) + 1.
Trở về với điều kiện của bài toán :
22 2 2
AB 1
tgAtgB2tg (tgAtgB)
22
+
+= + 2
(tgA tgB) 0 tgA = tgB A = B

2
A+B
2
.
Chỷỏng tỏ rằng ABC là một tam giác cân.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________