Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11 64
O DIN: TRUNG đp trai hehe
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11 2
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11 63
®Ò 2


Bài 2: Xét tính liên tc ca hàm s sau trên tp xác đnh ca nó:

⎧
++
≠
−
⎪
=
+
⎨
⎪
⎩
2
32
, khi x 2
()
2
3 , khi x = -2
xx
fx
x

Bài 3: Cho hàm s y = f(x) = 2x
3
– 6x +1 (1)
a) Tìm đo hàm cp hai ca hàm s (1) ri suy ra (5)f
′
′
−
.

®Ò 1

Câu 1:
Tính gii hn ca hàm s
a)
2
3
299
lim
3
x
xx
x
→
−−
−
b)
2
241
lim
32
x
x
x
x
→−∞
−
+
−
+

2
+ 8
b) y =
2
251
34
x
x
x
+−
−

c) y = 3sin3x - 3cos
2
4x
Câu 4:

a) Vit phng trình tip tuyn ca đ th hàm s (C)
y = - 2x
4
+ x
2
– 3 ti đim thuc (C) có hoành đ x
0
= 1.
b) Cho hàm s y = x.cosx.
Chng minh rng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” = 0
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân  B và


x
y
x
2.
3sin2
2cos3
=
x
y
x

3.
cot(2 )
4
π
=−yx
4.
2
tan( 5 )
3
π
=+yx

5.
1
cos
1
−
=
+

x

9.
sin cos
cos 1 1 sin
=+
−+
x
x
y
x
x
10.
2
1
2sin
tan 1
=+ −
−
yx
x

Bài 2. Xác đnh tính chn, l ca các hàm s:
1.
cos3
x
y
x
= 2. 22sinyx x
=

2
13cos
y=
2
x
+
4. 24sincosyxx
=
−
5.
2
4sin cos2yxx=− 6. 3cos2 1yx
=
+
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11 4
7. 73sin3yx=− 8.
22
52sin cosyxx=−

Bài 4. Hãy xét s bin thiên và v đ th các hàm s sau:
1. sinyx=− 2. 2sinyx=−
3.
sin( )
3
yx
π

5. sin3 cos2 0
x
x−= 6. tan4 cot2 1
x
x
=

7.
2cos( ) 1 0
6
x
π
−+= 8. tan(2 ) tan3 0
3
xx
π
+
+=
9.
2
cos 2sin 0
2
x
x −= 10.
44
2
cos sin
2
xx−=


x
xx+=
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11 61
3. Dng và tính đ dài đon vuông góc chung ca AB và
SD
4. Tính : d
[
]
)(, SACM
Bài 6. Cho hình lng tr ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′
= a, đáy ABC là tam giác vuông ti A có BC = 2a, AB = a 3 .
1. Tính khong cách t AA′ đn mt phng (BCC′B′).
2. Tính khong cách t A đn (A′BC).
3. Chng minh rng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khong cách
t A′ đn mt phng (ABC′).
Bài 7. Cho hình lp phng ABCD.A’B’C’D’.
1. Chng minh: B’D
⊥
(BA’C’); B’D
⊥
(ACD’)
2. Tính d
(BA'C'),(ACD')
⎡
⎤
⎣
⎦

4. d
[]
)(, ABCDI vi I là trung đim ca SC.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông ti A và D AB = DC = a , SA
⊥
(ABCD) và SA = 2a
Tính :
1. d
[]
)(, SCDA ; d
[]
)(, SBCA
2. d
[]
)(, SCDAB
3. d
[]
)(, SCDAB
4. d
[]
)(, SBCDE , E là trung đim ca AB
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cnh a ,tam
giac SAD đu và (SAD)
⊥
(ABCD) .gi I là trung đim ca Sb
va K =CM ∩ BI
1. Chng minh (CMF)
⊥
(SIB)

x
x
x
π
−−−
=
−

Bài 2. Gii và bin lun phng trình:
1. sin 2 1
x
m
=
−
2. (4 1)cos cos 8mxmx−=−
3. 4tan ( 1)tan
x
mm x
−
=+
4.
2
(3 2)cos2 4 sin 0mxmxm−+ +=
Bài 3. Tìm m đ phng trình:
1.
2sin( )
4
x
m
π

3. 2cos2x – 8cosx 5 0
+
=
4. 2cosx.cos2x 1 cos2x cos3x
=
++
5.
2
2
3
32tan
cos
=+
x
x

6. 5tan x 2cotx 3 0
−
−=
7.
2
6sin 3 cos12 4xx
+
=

www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11 6

11
cos sin
sin cos
xx
x
x
−= −

13.
2
2
11
cos 2(cos ) 1
cos
cos
xx
x
x
+− +=

14.
22
11
4
sin cos
sin cos
xx
xx
+=


59
1. Chng minh: (SAB)
⊥
(SAD), (SAB)
⊥
(SBC).
2. Tính góc gia hai mp (SAD), (SBC).
3. Gi H, I ln lt là trung đim ca AB và BC. Chng
minh: (SHC)
⊥
(SDI).
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông ti A. Gi O, I, J ln lt là
trung đim ca BC và AB, AC. T O k đon thng
OS
⊥
(ABC).
1. Chng minh: (SBC)
⊥
(ABC).
2. Chng minh: (SOI)
⊥
(SAB).
3. Chng minh: (SOI)
⊥
(SOJ).
Bài 11. Cho tam din ba góc vuông Oxyz (3 tia Ox, Oy, Oz đôi
mt vuông góc). Ln lt ly trên Ox, Oy, Oz các đim B, C, A
sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Các đng cao CH va BK ca
tam giác ABC ct nhau ti I.
1. Chng minh: (ABC)

2. Chng minh: (SOI)
⊥
(ABC).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cnh a. Tam
giác SAB đu nm trong mt phng vuông góc vi đáy. I, J, K
ln lt là trung đim ca AB, CD, BC.
1. Chng minh: SI
⊥
(ABCD).
2. Chng minh: trên mt phng SAD và SBC là nhng tam
giác vuông.
3. Chng minh: (SAD)
⊥
(SAB), (SBC)
⊥
(SAB).
4. Chng minh: (SDK)
⊥
(SIC).
Bài 7. Cho t din ABCD có cnh AD
⊥
(BCD). Gi AE, BF
là hai đng cao ca tam giác ABC, H và K ln lt là trc tâm
ca tam giác ABC và tam giác BCD.
1. Chng minh: (ADE)
⊥
(ABC).
2. Chng minh: (BFK)
⊥
(ABC).

+=
6.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx −=−

7.
4
1
)
4
(cossin
44
=++
π
xx

8.
tan 3cot 4(sin 3 cos )
x
xx x−= +

9.
2
1
sin 2 sin
2
xx
+
=
10.
3

sin2 cos2 2 0
x
mxm
+
+=
3.
cos3 ( 2)sin3 2mxm x
+
+=
4.
(sin 2cos 3) 1 cos
x
xm x
+
+=+
5.
(cos sin 1) sinmx x x
−
−=

6.
(3 4 )cos2 (4 3)sin2 13 0mxm xm++−+=

Bài 3. Cho phng trình: sin cos 1
x
mx
+
=
1. Gii phng trình khi
3m

4sin 3 3sin 2cos 4
22
xx
x+−=
6.
22
2sin 6sin cos 2(1 3)cos 5 3xxx x+++=+
7.
32 3
sin 2sin cos 3cos 0xxxx+−=
8.
32 3
4sin 3sin cos sin cos 0xxxxx+−−=
9.
33 22
sin 3 cos sin cos 3sin cos
x
xxx xx−= −
10.
2
2tan cot 3
sin2
xx
x
+=+
Bài 2. Tìm m đ phng trình sau có nghim:
1.
22
sin 2sin2 3 cos 2mx xm x++ =
2.

9.
tancot 2(sincos)
x
xxx+= +
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11 57
3. Gi BE, DF là hai đng cao ca tam giác SBD. Chng
minh rng: (ACF)
⊥
(SBC), (AEF)
⊥
(SAC).
Bài 2. Cho t din ABCD có các mt ABD và ACD cùng vuông
góc vi mt BCD. Gi DE ,BK là đng cao tam giác BCD và
BF là đng cao tam giác ABC
1.
Chng minh : AD
⊥
(BCD)
2.
Chng minh : (ADE)
⊥
(ABC)
3.
Chng minh : (BKF)
⊥
(ABC)
4.

(SAD).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác là tam
giác vuông ti A, AB = 2a, AC = a, SA = SB = SC =
2a . Gi
O là trung đim ca BC, I là trung đim ca AB.
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11 56
3. Tính góc [(SMC), (ABC)].
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông ti A và D vi AB = 2a, AD = DC = a, SA =
2a . SA
⊥
(ABCD). Tính góc gia các mt phng.
1. (SBC) và (ABC).
2. (SAB) và (SCB).
3. (SCB) và (SCD).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm
O, cnh a

ABC = 60
0
, SO
⊥
(ABCD) và SO =
3
4
a
9
10.
cos2
sin cos
1sin2
x
xx
x
+=
−Bài 2. nh m đ phng trình sau có nghim:
1.
sin cos 1 sin2
x
xmx
+
=+
2.
2
sin2 2 2 (sin cos ) 1 6 0xmxx m
−
++−=

DNG 6. PHNG TRÌNH LNG GIÁC KHÔNG MU
MC


−
−=
3.
3
sin cos sin 2 3 cos3 2(cos4 sin )
x
xx x x x++=+
4.
(1 2 sin ) osx
3
(1 2sin )(1 sinx)
xc
x
−
=
+−

5.
sin 3 3 cos3 2sin 2
x
xx−=
6.
2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cos
x
xx x
+
+=+
7.
33 22
sin 3 cos sin cos 3sin cos

10.
2
2sin 2 sin7 1 sin
x
xx+−=

11.
22
(1 sin ) cos (1 cos ) sin 1 sin 2
x
xxxx+++=+
12.
cos3 cos 2 cos 1 0xxx+−−=
13.
cot sin (1 tan tan ) 4
2
x
xx x
++ =
14.
66
2(cos sin ) sin cos
0
22sin
xxxx
x
+−
=
−



55
Bài 4. Cho hình vuông ABCD và tam giác đu SAB cnh a nm
trong hai mt phng vuông góc nhau. Gi I là trung đim ca
AB.
1.
Chng minh: SI (ABCD)
⊥
và tính góc gia SC và
(ABCD).
2.
Gi J là trung đim CD. Chng t: (SIJ) (ABCD)
⊥
. Tính
góc hp bi SI và (SDC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm
O, cnh a, SA
⊥
(ABCD) và SA = a. Tính:
1.
[SAB, (SCD)].
2.
[SAB, (SBC)].
3.
[SAB, (SAC)].
4.
[SCD, (ABCD)].
5.
[SBC, (SCD)].
6.

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cnh a, tâm O, SO
⊥ (ABCD), M, N ln lt là trung đim ca
SA và BC, bit

0
(,( ))60MN ABCD = .
1.
Tính MN và SO.
2.
Tính góc gia MN và mp(BCD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cnh a. SA
⊥
(ABCD) và SA = a
6 . Tính góc gia:
1.
SC và (ABCD)
2.
SC và (SAB)
3.
SC và (SBD)
4.
SB và (SAC)
Bài 3. Cho t din ABCD có AB
⊥
(BCD) và AB =
3a ,
BCD là tam giác đu cnh a. Tính góc gia:
1.

nhiêu k hoch thm bn nu:
1.
Có th thm 1 bn nhiu ln?
2.
Không đn thm 1 bn quá 1 ln?
Bài 5. Có bao nhiêu cách xp 10 hc sinh thành mt hàng dc?
Bài 6. Có bao nhiêu cách xp 5 bn A, B,C,D,E vào mt gh dài
5 ch nu:
1.
Bn C ngi chính gia.
2.
Hai bn A và E ngi hai đu gh.
Bài 7. T các ch s 1,2,3,4,5,6 có th thit lp đc bao nhiêu
s có 6 ch s khác nhau mà hai ch s 1 và 6 không đng cnh
nhau?
Bài 8. Có 2 sách Toán khác nhau, 3 sách Lý khác nhau và 4
sách Hóa khác nhau.Cn sp xp các sách thành mt hàng sao
cho các sách cùng môn k nhau. Hi có bao nhiêu cách?
Bài 9. Gii :
1.
P
2
.x
2
– P
3
.x = 8
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


Bài 10. Sp xp 5 ngi vào mt bng gh có 7 ch. Hi có bao
nhiêu cách?
Bài 11. T tp hp
{}
X 0; 1; 2; 3; 4; 5= có th lp đc
my s t nhiên có 4 ch s khác nhau.
Bài 12. Có 10 quyn sách khác nhau và 7 cây bút khác nhau.
Cn chn ra 3 quyn sách và 3 cây bút đ tng cho 3 hc sinh,
mi em đc tng 1 quyn sách và 1 cây bút. Có my cách?
Bài 13. Gii:
1.

22
x2x
2A +50=A , x N∈
2.

32
5
nn
A
A+ = 2(n + 15)
3.

22
2
3420.
nn
AA−+=
4.

4
4
15
( 2)! ( 1)!
n
A
nn
+
<
+−

Bài 14. Có 10 cun sách toán khác nhau. Chn ra 4 cun, hi có
bao nhiêu cách?
Bài 15. Mt nhóm có 5 nam và 3 n. Chn ra 3 ngi sao cho
trong đó có ít nht 1 n. Hi có bao nhiêu cách?
Bài 16. T 20 câu hi trc nghim gm 9 câu d, 7 câu trung
bình và 4 câu khó ngi ta chn ra 10 câu đ làm đ kim tra
sao cho phi có đ c 3 loi d, trung bình và khó. Hi có th
lp đc bao nhiêu đ kim tra ?
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11 53
1. Xác đnh mt phng
α

2.
Tính din tích ca thit din ca t giác vi mt phng
α


2.
Tìm thit din ca t din SABC và (
α
)
3.
Tính din tích ca thit din theo a và x
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông cân ti B,
AB = BC =2a. Cnh SA
⊥
(ABC) và SA =a 2
1.
Chng minh các mt ca hình chóp là các tam giac vuông
2.
Gi (
α
) là mt phng trung trc ca cnh SB. Tìm thit
din ca hình chóp vi (
α
)
3.
Tính din tích ca thit din
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11 52
5. Tam giác ABC là tam giác nhn các góc ca tam giác đu
nhn.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tam giác đu cnh a, SA
⊥

(SBC)
Bài 10. Cho t din S.ABC có tam giác ABC vuông cân đnh B,
AB =a,SA
⊥
(ABC) và SA =a
3. Ly đim M tùy ý thuc
cnh AB vi AM =x (0<x<a). Gi
α
là mt phng qua M và
vuông góc vi AB
1.
Tìm thit din ca t din và
α

2.
Tính din tích ca thit din theo a và x
Bài 11. Cho t din S.ABC có tam giác ABC vuông cân đnh B,
AB =a, SA
⊥
(ABC) SA =a. Gi
α
là mt phng qua trung
đim M ca AB và vuông góc vói SB
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11 13
Bài 17. Hi đng qun tr ca mt công ty gm 12 ngi, trong
đó có 5 n. T hi đng qun tr đó ngi ta bu ra 1 ch tch
hi đng qun tr, 1 phó ch tch hi đng qun tr và 2 y viên.


32 2
x-1 x-1 x-2
2
CC=A
3
−

3.

12 1
xx+1 x+4
11 7
=
CC 6C
−

4.
3032
22
1
<+
+ xx
AC
5.

10
6
2
1

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
x
x

3.
5
3
2
1
x
x
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
4.
7
4
3
1
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
+ x
x

Bài 27. Tìm h s ca s hng cha x
8
trong khai trin nh thc
Niu-tn
5
3
1
n
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
, bit rng
(
)
1
43
73
nn
nn
CC n
+

nnn
SCCC=+++

3.

135
3

nnn
SCCC=+++
4.

0122
4
2 2 2 2 .
kk nn
nn n n n
SC C C C C=+ + ++ ++
5.

02244
5
2 2
n
nn
SC C C=+ + +

Bài 30. Chng minh:
1.
nn

5.
Chng minh: AI
⊥
HK.
6.
Tìm mt phng trung trc ca đon BD và HK. Gii thích.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cnh a
SA
⊥
(ABCD) và SA=a 2 . Gi (
α
) là mt phng qua A và
vuông góc vi SC, ct SB, SC, SD ln lt H, M, K.
1.
Chng minh: AH
⊥
SB, AK
⊥
SD.
2.
Chng minh: BD // (
α
) suy ra BD // HK.
3.
Chng minh: HK qua trng tâm ca tam giác SAC.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O.
Bit rng SA=SC SB=SD. Chng minh:
1.
SO
⊥

3.
H là trc tâm ca tam giác ABC
4.
2222
1111
OH OA OB OC
=++
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11 50
1. Xác đnh góc gia các cp vect: ''
A
BvaøAC


;
''
A
BvaøAD
 
; '
A
CvaøBD
 
.
2. Tính các tích vô hng ca các cp vect: ''
A
BvaøAC

⊥
(AMN).
3.
Chng minh AI
⊥
SC
Bài 2. Cho t din ABCD có AB=AC , DB=DC . Gi I là trung
đim ca BC.
1.
Chng minh BC
⊥
(AID).
2.
V dng cao AH ca tam giác AID. Chng minh
AH
⊥
(BCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm
O, SA
⊥
(ABCD). Gi H,I,K ln lt là hình chiu vuông góc
ca đim A trên SB, SC, SD.
1.
Chng minh: BC
⊥
(SAB) CD
⊥
(SAD) BD
⊥
(SAC).

Bài 4. Trong mt bình có 3 qu cu đen khác nhau và 4 qu cu
đ khác nhau. Ly ra 2 qu cu. Tính xác sut đ :
1. Hai qu cu ly ra màu đen
2. Hai qu cu ly ra cùng màu
Bài 5. Gieo 3 con đng xu. Tính xác sut đ
1. Có đng xu lt nga
2. Không có đng xu nào sp
Bài 6. Cho mt hp đng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu
đ, 5 viên bi màu xanh. Ly ngu nhiên mi ln 3 viên bi. Tính
xác sut trong hai trng hp sau:
1.
Ly đc 3 viên bi màu đ
2.
Ly đc ít nht hai viên bi màu đ
Bài 7. Gieo đng thi hai con súc sc. Tính xác sut đ
1.
Tng s chm xut hin trên hai con là 9
2.
Tng s chm xut hin trên hai con là 5
3.
S chm xut hin trên hai con hn kém nhau 3
Bài 8. Gieo đng thi 3 con súc sc. Tính xác sut đ
1.
Tng s chm xut hin ca ba con là 10
2.
Tng s chm xut hin ca 3 con là 7
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11
Ly ra ngu nhiên (1 ln) 10 sn phNm t lô hàng. Tìm
xác sut đ 10 sn phNm ly ra có đúng 8 sn phNm tt
Bài 14. Kt qu (b,c) ca vic gieo hai con xúc xc cân đi hai
ln, đc thay vào phng trình x
2
+ bx+ c =0. Tính xác sut đ:
1. Phng trình vô nghim
2. Phng trình có nghêm kép
3. Phng trình có hai nghim phân bit
Bài 15. Mt hp cha 30 bi trng, 7 bi đ và 15 bi xanh. Mt
hp khác cha 10 bi trng , 6 bi đ và 9 bi xanh. Ly ngu nhiên
t mi hp bi. Tìm xác sut đ 2 bi ly ra cùng màu.
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11 49
CHNG III. QUAN H VUÔNG GÓC

VECT TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1.
Chng minh rng G là trng tâm t din ABCD khi và
ch khi nó tha mãn mt trong hai điu kin sau:
1.
GA GB GC GD 0+++ =
    

2.
OA OB OC OD 4OG+++ =
    

B
AaBB bBCc===

     
. Gi M, N ln lt là hai đim nm trên
AC, DC’ sao cho . , ' '
==

   
M
CnACCNmCD.
1.
Hãy phân tích '
B
D


theo các véct ,,abc


.
2.
Chng minh rng: ( ) (1 )
M
Nmna mbnc
=
−+− +


.

Bài 4. Cho lng tr tam giác ABC.A’B’C’.
1.
Tìm giao tuyn ca (AB’C’) và (BA’C’).
2.
Gi M, N ln lt là hai đim bt kì trên AA’ và BC. Tìm
giao đim ca B’C’ vi mp(AA’N ) và giao đim ca MN
vi mp(AB’C’).
Bài 5. Cho hình hp ABCD.A’B’C’D’
1.
Chng minh rng (BA’C’) // (ACD’)
2.
Tìm các giao đim I = B’D ∩ (BA’C’); J = B’D ∩ (ACD’).
Chng minh rng 2 đim I, J chia đon B’D thành 3 phn
bng nhau.
3.
Gi M, N là trung đim ca C’B’ và D’D. Dng thit din
ca hình hp vi mt phng (BMN ). Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11 17
CHNG III.
DÃY S - CP S CNG – CP S NHÂN

PHNG PHÁP QUY NP

Bài 1. Chng minh rng vi mi
∗

4.
3
)12)(1(2
)2( 42
222
+
+
=+++
nnn
n
5.
4
)1(
321
22
3333
+
=++++
nn
n .
6.
.
3
)1()1(
)1( 4.33.22.1
+
−
=−++++
nnn
nn

+−
+++
n
n
nn

10.
n
n
n
2
1
)
1
1) (
9
1
1)(
4
1
1(
2
+
=−−− .
Bài 2. Chng minh rng vi
∗
∈ nn , ta có:
1.
nnn 53
23

2
1

2
1
1
1
>++
+
+
+
nnn

Bài 4. Chng minh vi mi s t nhiên 2≥n , ta có các bt
đng thc sau:
1. 133
+> n
n

2.
2
3
2
>− n
n

3.
322
1
+>

n
u
3.
1
2
n
n
u
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
4.
nnu
n
−+= 1 .
5.
21
2
n
n
n
u
−
=
6.
n
n
n
u

n
n
u
−
= 4.
n
n
u )3(−=
5.
34
34
+
−
=
n
n
u
n
6.
2
1
1
n
n
u
n
−
=
+


M và //(SAB).
1.
Dng thit din ca hình chóp vi (α).
2. Tính din tích và chu vi thit din theo a và x.
Bài 5. Cho hai mp (P) và (Q) song song vi nhau và ABCD là
mt hình bình hành nm trong mp (P). các đng thng song
song đi qua A, B, C, D ln lt ct mp (Q) ti các đim A', B',
C', D'.
1.
T giác A'B'C'D' là hình gì?
2. Chng minh (AB'D') // (C'BD).
3. Chng minh rng đon thng A'C đi qua trng tâm ca hai
tam giác AB'D' và C'BD. Hai mp (AB’D’), (C’BD) chia
đon A'C làm ba phn bng nhau.

HÌNH LNG TR

www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11 46
Chng minh : MN // (BCD) và MN // (ABC).
Bài 2. Cho t din ABCD .Gi I, J là trung đim ca BC và CD
1. Chng minh rng BD//(AIJ)
2. Gi H, K là trng tâm ca các tam giác ABC và ACD.
Chng minh rng HK//(ABD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G
là trng tâm ca tam giác SAB và E là đim trên cnh AD sao
cho DE = 2EA. Chng minh rng GE // (SCD).

Bài 8.
Cho t din ABCD. T đim M trên AC ta dng mt mp
(
α) song song AB và CD. Mp này ln lt ct BC, BD, AD ti
N , P, Q.
1. T giác MN QG là hình gì?
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11 19
Bài 3. Cho dãy s ()
n
u xác đnh bi:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
=
+
1
2
1
1
1
n
n

1
1
n
n
u
u
u
;
1≥
∀
n .

Chng minh rng
n
u là dãy gim và b chn.
Bài 5. Cho dãy s ()
n
u xác đnh bi:
⎩
⎨
⎧
++=
=
+
n
nn
nuu
u
2).1(
1

531
uu
uuu
2.
⎩
⎨
⎧
=
=−
75
8
152
37
uu
uu

3.
⎩
⎨
⎧
=
=+
129
14
12
53
s
uu
4.
⎩

=
=−
75.
8
72
37
uu
uuBài 2.
1. Cho cp s cng có
1
a
=10, d = -4 .Tính
10
a và
10
S .
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11 20
2. Mt cp s cng hu hn có s hng đu bng 2, công sai
bng -5 và tng các s hng bng -205. Hi cp s cng đó có
bao nhiêu só hng?
3. Cho cp s cng có s hng đu bng -2, công sai bng 3.
Hi 55 là s hng th bao nhiêu ca CSC. Tính tng ca 20 s
hng liên tip k t s hng th 15.

152
=+ uu .
Bài 5. Tính các tng sau:
1.
999 531
1
++++=S
2.
2010 642
2
++++=S
3. 3003 963
3
++++=S
Bài 6. góc ca mt tam giác vuông lp thành mt cp s cng.
Tìm ba góc ca tam giác đó.

Bài 7. Mt cp s cng có 11 s hng. Tng các s hng là 176.
Hiu gia s hng cui và s hng đu là 30. Tìm cp s cng
đó.
Bài 8. Bn s lp thành mt cp s cng. Tng ca chúng bng
22. Tng các bình phng ca chúng bng 166. Tìm bn s đó.
Bài 9. N gi ta trng 3003 cây theo hình mt tam giác nh sau:
hàng th nht có 1 cây, hàng th hai có 2 cây, hàng th ba có 3
cây,…. Hi có tt c bao nhiêu hàng?
Bài 10. Tìm x đ 3 s sau lp thành cp s cng theo th t đó:
1.
x310 − ; 32
2
+x ; 7-4x

) qua MN và song
song vi AB, ct cnh AD ti M' và cnh AF ti N '.
1.
Chng minh : M'N ' // DF.
2.
Cho
3
1
=k
, chng minh MN // DE.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vi các
cnh đáy AB và CD (AB > CD). Gi M, N ln lt là trung
đim ca SA và SB.
1.
Chng minh: MN // CD
2.
Tìm giao đim P ca SC và mt phng (ADN )
3.
Kéo dài AN và DP ct nhau ti . Chng minh SI // AB //
CD, t giác SABI là hình gì?

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành.
Gi M, N , P, Q là các đim nm trên BC, SC, SD, AD sao cho
MN // BS, N P // CD, MQ // CD
1.
Chng minh: PQ // SA.
2.
Gi K là giao đim ca MN và PQ, chng minh SK // AD
// BC.
3.

MN vi (SBD) ?

HAI NG THNG SONG SONG

Bài 1. Cho t din ABCD. Gi I, J, K, L theo th t là trung
đim ca các cnh AB, BC ,CD ,DA Chng minh : IJ//KL và
JK//IL .
Bài 2. Cho t din ABCD .Gi H, K là trng tâm ca các tam
giác BCD và ACD .Chng minh rng HK//AB
.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là mt t giác li. Gi M
,N ,E ,F ln lt là trung đim ca các cnh bên SC, SB, SC và
SD.
1.
Chng minh rng ME//AC , N F//BD
2.
Chng minh rng ba đng thng ME ,N F ,và SO(O là
giao đim ca AC và BD) đng qui
3.
Chng minh rng 4 đim M,N ,E,F đng phng
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gi
H, K là trung đim SA, SB.
1.
Chng minh rng HK//CD
2.
Trên cnh SC ly đim M. Dng thit din ca hình chóp
vi mt phng (MKH).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vi các cnh
đáy là AB và CD. Gi I, J lm lt là trung đim ca DA và BC
và G là trng tâm tam giác SAB.

1
;… ?
7
=
u
2. -3; 6; -12; 24;… ?
10
=
u
3. 1;
3
1
;
9
1
;
27
1
;… ?
8
=
u
Bài 2. Tìm s hng đu, công bi ca các cp s nhân, bit :

1.
⎩
⎨
⎧
=
=

uu
4.
⎩
⎨
⎧
=−
=−
144
72
35
24
uu
uu

5.
⎩
⎨
⎧
=+
=+−
325
65
71
531
uu
uuu
6.
⎩
⎨
⎧

và s hng th t bng 6.
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11 22
2. Có 5 s hng vi công bi bng
1
4
s hng th nht và
tng ca hai s hng du bng 24.

Bài 5. Cho mt cp s nhân có 7 s hng, s hng th t bng 6
và s hng th by gp 243 ln s hng th hai. Hãy tìm
các s hng còn li ca cp s nhân đó.
Bài 6. Hãy tìm s hng tng quát ca cp s nhân (
n
u ) có

⎩
⎨
⎧
−=+
=+
123
16
43
52
uu
uu

21
1
+
=
a

Bài 8. Tính tng tt c các s hng ca cp s nhân (u
n
) bit:

1
2
2
2
64 2
n
u
u
u
⎧
=
⎪
=−
⎨
⎪
=
⎩

Bài 9. Mt cp s cng và mt cp s nhân đu là các dãy tng.
Các s hng th nht đu bng 3, các s hng th hai bng

(MN P) và t din ABCD.
Bài 6: Cho hình chóp SABCD. Gi M là 1 đim thuc min
trong ca tam giác SCD.
1.
Tìm giao tuyn ca hai mt phng (SBM) và (SAC).
2.
Tìm giao đim ca BM và mt phng (SAC).
3.
Tìm thit din ca hình chóp ct bi mt phng (ABM).
Bài 9: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O.
Mt đim M trên cnh SD sao cho SD = 3SM.
1.
Tìm giao tuyn ca (SAC) và (SBD).
2.
Xác đnh giao đim I ca BM và (SAC). Chng t I là
trung đim ca SO.
3.
nh thit din ca hình chóp SABCD và (MAB).
Bài 14: Cho t din ABCD ; đim I nm trên BD và  ngoài
BD sao cho ID = 3IB; M; N là hai đim thuc cnh AD; DC sao
cho MA=
2
1
MD; N D =
2
1
N C
1.
Tìm giao tuyn PQ ca (IMN ) vi (ABC) ?
2.

4.
im N thuc AB. Tìm giao đim ca MN và (SBD).
Bài 8: Cho t giác ABCD nm trong mt phng (P) có hai cnh
AB và CD không song song. Gi S là đim nm ngoài (P) và M
là trung đim ca đon SC.
1.
Tìm giao đim N ca SD và (MAB)
2.
Gi O là giao đim ca AC và BD . CMR: SO, AM, BN
đng qui
Bài 9: Cho t din ABCD. Hai đim M, N ln lt nm trong
tam giác ABC và tam giác ABD. I là đim tu ý trên CD. Tìm
giao ca (ABI) và đng thng MN .
Bài 10: Cho hình chóp SABCD. Gi I, J là hai đim trên cnh
AD, SB
1.
Tìm các giao đim K, L ca IJ và DJ vi (SAC)
2.
AD ct BC ti O; OJ ct SC ti M. Chng minh A, K, L,
M thng hàng
Bài 11: Cho t din ABCD. Gi M, N ln lt là trung đim ca
AC, BC. K là đim trên cnh BD và không trùng vi trung đim
ca BD.
1.
Tìm giao đim ca CD và (MN K).
2.
Tìm giao đim ca AD và (MN K)
Bài 12: Cho t din ABCD. M, N là 2 đim trên cnh AC, AD.
O là 1 đim bên trong
Δ BCD. Tìm giao đim ca:

+−
nn
nnn

3. lim
nn
n
108
2
5
+
+
−
4.
36
43
25
4
+
−
−
−+
nn
nn

5. lim
23
4
11100
3373

−
+
+−

Bài 2. Tính các gii hn sau:
1.
1
1
lim
+
+
n
n
2.
2
lim
3
3
+
+
n
nn

3.
32
232
lim
2
4
+−

n
nnn

7.
nnn
nn
−+
++
43
2
1
lim
8.
23
11
lim
2
+
+−+
n
nn
Bài 3. Tính các gii hn sau:
1.
12
13
lim
−

−
nn
nn

www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11 24
Bài 4. Tính các gii hn sau:
1. lim
(
)
nn −+1
2
2. lim( 3nn+− )
3.
(
)
nnn −++ 1lim
2
4.
12
1
lim
+−+ nn

5.
(
)

lim
3
2
1
+
−
−→
x
x
x
2.
622
35
lim
23
2
2
+++
++
−→
xxx
xx
x

3.
72
15
lim
1
+

x
xx
x
2.
5
152
lim
2
5
+
−+
−→
x
xx
x

3.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
3
1
1

4
+
−+
−→
6.
6)5(
1
lim
3
1
−+
−
→
xx
x
x

7.
6
44
lim
2
23
2
−−
++
−→
xx
xxx
x

1
lim
2
4
1
−+
−
→
xx
x
x

Bài 3. Tính các gii hn sau:
1.
.
2
35
lim
2
2
−
−+
→
x
x
x
2.
2
153
lim
41

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O
là giao đim hai đng chéo; M ; N ln lt là trung đim SA;
SD. Chng minh ba đng thng SO; BN ; CM đng quy. GIAO IM CA NG THNG VÀ MT PHNG

Bài 1: Cho t din ABCD. Gi M, N ln lt là trung đim ca
AC và BC. Gi K là mt đim trên cnh BD không phi là trung
đim. Tìm giao đim ca:
1.
CD và mt phng (MN K)
2.
AD và mt phng (MN K)
Bài 2: Cho t din ABCD. Trên các cnh AB và Ac ln lt ly
các đim M, N sao cho MN không song song vi BC. Gi O là
mt đim nm trong tam giác BCD.
1.
Tìm giao đim ca MN và (BCD)
2.
Tìm giao tuyn ca (OMN ) và (BCD)
3.
Mt phng (OMN ) ct các đng thng BD và CD ti H
và K. Xác đnh các đim H và K.
Bài 3: Cho hình chóp SABCD. Gi I, J, K ln lt là các đim
trên các cnh SA, AB, BC. Gi s đng thng JK ct các

(
)
α
.
Gi M; N ; P ln lt là giao đim AB; BC; AC vi
α. Chng
minh M; N ; P thng hàng ?
Bài 10: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy
là AD; BC. Gi M; N là trung đim AB; CD và G là trng tâm
ΔSAD. Tìm giao tuyn ca :
1.
(GMN ) và (SAB)
2.
(GMN ) và (SCD)
3.
Gi giao đim ca AB và CD là I; J là giao đim ca hai
giao tuyn  câu a và câu b. Chng minh S; I; J thng hàng .
4.CHNG MINH BA NG THNG NG QUI

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB// CD) đim S nm ngoài mt
phng cha ABCD. Gi M, N ln lt là trung đim ca SC,
SD. Gi I là giao đim ca AD và BC, J là giao đim ca AN và
BM.
1.
CMR : S, I, J thng hàng.
2.
Gi O là giao đim ca AC và BD. CMR : SO, AM, BN

x
11
lim
2
0
−++
→

7.
(
)
x
xxx
x
+−+−
→
121
lim
2
0
8.
xx
x
x
336
1
lim
2
1
++

1.
x
xx
x
−−+
→
55
lim
0
2.
x
xxx
x
11
lim
2
0
++−+
→

3.
x
x
x
141
lim
3
0
−+
→

53
lim
4

7.
1
lim
2
1
−
−
→
x
xx
x
8.
23
1
lim
2
3
1
−+
+
−→
x
x
x

9.

x
x
x
+
→
−
−
2.
34
1
lim
2
4
3
+
+
+
+
−→
x
x
x
x

3.
)(lim
1
xf
x→
bit

⎪
⎨
⎧
≥−
<<−
≤+
=
3;3
31;56
1;)32(
5
1
2
xx
xx
xx
xf

Bài 6. Tính các gii hn sau:
www.MATHVN.com www.MATHVN.com