Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Trớc hết, chúng ta hãy cùng nhau nhắc tới các kiến thức cơ
bản thờng xuyên sử dụng sau:
Cho Parabol y=a'x
2
(P) và đờng thẳng y = ax + b (d)
Khi đó:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol y=a'x
2
(P) và đờng
thẳng y=ax + b (d) là nghiệm của phơng trình:
a'x
2
= ax + b
<=> a'x
2
ax b = 0 (*)
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) không có điểm chung khi và
chỉ khi phơng trình (*) vô nghiệm.
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng một điểm chung
(tiếp xúc nhau) khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm kép và
hoành độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của phơng trình
đó.
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng hai điểm chung khi
và chỉ khi phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu các dạng toán cơ bản của
mối quan hệ này:
Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng

x
a
- + D +
= = =
2
1 5
2
2 2
b
x
a
- - D -
= = = -
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 3 và 2
Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng
thẳng (d) y = 5x + 4
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (d)
y = 5x + 4 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 5x + 4
x
2
5x + 4 = 0
Vì a + b + c = 1 + (5) + 4 = 0 nên x

x x
= -
- + =
' = b'
2
ac
= (3)
2
1.8
= 9 8
= 1
'D = 1
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1
' ' 3 1
4
1
b
x
a
- + D +
= = =
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
2
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
2
' ' 3 1
2
1
b

và đờng thẳng (a):
y = 2x 3 là nghiệm của phơng trình:
2
2
1
2 3
3
6 9 0
x x
x x
= -
- + =
' = b'
2
ac
= (3)
2
1.9
= 9 9
= 0
Phơng trình có nghiệm kép:
1 2
' 3
3
1
b
x x
a
-
= = = =

4ac
= (4m)
2
4.4.m
2
= 16m
2
16m
2
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
3
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
= 0 m
Phơng trình có nghiệm kép. Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đ-
ờng thẳng (d) y = 4mx + m
2
khi m thay đổi.
Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
=
2
y x
luôn có điểm chung với
đờng thẳng (d): y = 2(m 1)x 2m + 3 khi m thay đổi.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (d)
y = 2(m 1)x 2m + 3 là nghiệm của phơng trình:
x
2

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = 3x
2
với đờng thẳng (d)
y = 5x 2 là nghiệm của phơng trình:
3x
2
= 5x 2
3x
2
5x + 2 = 0
Ta có a + b + c= 3 + (5) + 2 = 0
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1
1x =
;
2
2
3
c
x
a
= =
Ta thấy hai nghiệm này cùng dơng. Suy ra hoành độ giao điểm đều d-
ơng. Do đó giao điểm của chúng cùng nằm ở cùng một phía đối với trục
tung.
Ví dụ 8: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
= -
2
y x
cắt đờng thẳng (d): y

Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (D)
y = 2(m +1)x m
2
9 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 2(m +1)x m
2
9
x
2
2(m +1)x + m
2
+9= 0 (1)
' = b'
2
ac
= [(m + 1)]
2
(m
2
+ 9)
= m
2
+ 2m +1 m
2
9
= 2m 8

3
2
m =
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (D)
y = 4x + 2m là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 4x + 2m
x
2
4x 2m = 0 (*)
' = b'
2
ac
= (2)
2
(2m)
= 4 + 2m
a) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phơng trình (*) có nghiệm kép
<=> ' = 0
<=> 4 + 2m = 0
<=> m = 2
Vậy với m = 2 thì (D) tiếp xúc với (P).
b) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt <=> Phơng trình (*) có hai
nghiệm phân biệt
<=> ' > 0
<=> 4 + 2m > 0

= = +
2
' '
2 7
b
x
a
- - D
= = -
Thay x
1
=2 +
7
vào ta đợc y
1
= 11 +4
7
Thay x
1
=2
7
vào ta đợc y
1
= 11 4
7
Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A, B của (P) và (D) là:
A(2 +
7
; 11 +4
7

2 = 2a + b => b = 2a 2 (1)
Mặt khác, đờng thẳng này là tiếp tuyến của (P) nên phơng trình:
- = +
+ + =
2
2
1
2
2 2 0
x ax b
x ax b
' = 0
a
2
2b =0 (2)
Thay (1) vào (2) ta đợc: a
2
2(2a 2) = 0
a
2
4a +4 =0
(a 2)
2
= 0
a = 2
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
7
Có nghiệm kép
Có nghiệm kép
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008

2
4ac
= 1
2
4.1.2b
= 1 8b
Để phơng trình (I) có nghiệm kép thì = 0
1 8b = 0
b =
1
8
Vậy phơng trình tiếp tuyên cần tìm là:
1 1
2 8
y x= +
c)
Đờng thẳng (d) đi qua A(1;
3
2
) nên ta có:
3
2
a b= +
=> b =
3
2
a (3)
Vì đờng thẳng tiếp xúc với Parabol nên phơng trình:
- = +
+ + =

2
* Với a = 3 thay vào (3) ta đợc b =
3
2
-
Vậy qua A(1;
3
2
) có hai tiếp tuyến với Parabol (P) là:
1
2
y x= +
;
3
3
2
y x= -
Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tơng giao thoả mãn điều
kiện cho trớc.
Ví dụ 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P)
= -
2
y x
và
đờng thẳng (d) có phơng trình y = mx 1
a) Chứng minh rằng với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt A, B
b) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x
1
; x

là hai nghiệm của phơng trình (*) nên theo định lí
Vi-ét có: x
1
.x
2
= 1
=>
1 2 1
2
1
x x x
x
- = +
Vì x
1
và
1
1
x

cùng dấu nên:
1 1 1
2 1 1
1 1 1
2 . 2x x x
x x x
+ = + =
Vậy
1 2
2x x-

2
1)(x
1
+x
2
)
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
2
x
y
với đờng thẳng (D) y =
mx m + 2 là nghiệm của phơng trình:
2
2
2
2
2 2 4 0(**)
x
mx m
x mx m
= - +
- + - =
a) Để (D) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4 thì x = 4 phải
là nghiệm của phơng trình (**).
Từ đó suy ra:
4
2

là nghiệm của phơng trình (**)
Theo định lí Vi-ét x
1
+ x
2
=
2
b
m
a
- =
Ta lại có: y
1
= mx
1
m + 2; y
2
= mx
2
m + 2
Suy ra:
y
1
+ y
2
= (mx
1
m + 2) + (mx
2
m + 2)

2
+(2
2
– 1).(x
1
+ x
2
) (v× x
1
+ x
2
= 2m)
§Æng Ngäc D¬ng THCS Giao Hµ
11
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Trên đây tôi đã giới thiệu cùng các đồng nghiệp về bảy dạng toán
quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng trong chơng trình Đại số 9 mà tôi
đã nghiệm đợc trong quá trình giảng dạy. Các bài toán về dạng này rất
phong phú và đa dạng. Song do thời gian nghiên cứu cha nhiều, bài
viết có thể còn thiếu sót, tôi rất mong đợc sự trao đổi, góp ý của các
đồng nghiệp về vấn này để việc dạy Toán nói chung và toán 9 nói riêng
đạt đợc hiệu quả cao hơn, góp phần giúp các em học sinh có thêm kiến
thức, kĩ năng, hứng thú trong giải toán để chuẩn bị hành trang thật
tốt cho kì thi cuối cấp và kì thi tuyển sinh vào các trờng THPT đạt hiệu
quả cao.
Xin trân trọng cảm ơn!
Giao Hà, ngày 20 tháng 03 năm 2008
Ngời viết
Đặng Ngọc Dơng
Email: