1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG 2011
KHOA TOÁN-TIN MÔN:TOÁN- KHỐI A
(Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )

A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm )
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x



(C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên (C), tiếp tuyến của (C) tại
M cắt các tiệm cận tại A, B. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M
thay đổi trên (C).
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
3 3
sin .sin 3 os .cos3 1
8
tan .tan
6 3
x x c x x
x x
 

2
a

, góc
BAD
bằng
0
60
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’
vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện AA’BDMN theo
a
.
Câu V. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
2 2 2
1a b c  
,
ta có:

5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
     
  
  
.

x
 

 
 
, biết n là số nguyên
dương thỏa mãn:
1
HTTP://TOANCAPBA.COM
HTTP://TOANCAPBA.COM HOC TOAN VA ON THI DAI HOC MIEN PHI !

2

2 3 1
0 1 2
2 2 2 6560
2
2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n

    
 
.
II. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và một đường chéo có

Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn thi: TOÁN
.
Câu
?
Đáp án
Điểm
I
1

1,0
 TXĐ : D = R\
 
1
.
 Sự biến thiên:
y’ =
 
2
1
0,
1
x D
x



1,0 Gọi M(m;
2 1
1
m
m


)
Tiếp tuyến của (C) tại M:
 
 
2
1 2 1
1
1
m
y x m
m
m
 
  



0,25
HTTP://TOANCAPBA.COM

.
Vậy diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C).
0,25
II
1

1,0
Điều kiện:
6 2
k
x
 
 

Ta có
tan .tan tan .cot 1
6 3 6 6
x x x x
   
       
      
       
       

0,25
Phương trình tương đương với:
3 3
sin .sin3 os .cos3x x c x x
=
1

k Z
x k





 

 


  


. Vậy :
6
x k

  

0,25
2

1,0
Đk: -1
1x
 

Đặt u =

 
 
2
2 2
3 3 2 2
1 1 1
1 2 2 2
2 2 2
( ) 2
uv uv u v uv u v
u v u v u v vu u v uv
       
       

0,25
2 2
2
2 2
2
2
1
2
2
u v
u
u v

 

   

x
du dx
u x x
x x
x
dv xdx
v





  
 
 

 








 
1
2 3 2
2
0

x x x x
x x
J
     
 
 


0,25
1
2
2
0
1 3
2 2
dx
J
x

 
 
 
 
 
 
 

. Đặt
1 3
tan , ;


0,25
IV 1,0
Gọi O là tâm của ABCD, S là điểm đối xứng với A qua A’

M, N lần lượt là trung
điểm của SD và SB
AB = AD = a, góc BAD = 60
0




ABD đều

OA =
3
, 3
2
a
AC a

SA = 2AA’ = a
3
3, ' AA'
2
a

3 2 4
1 3 3
3 2 4 2 32
SABD
SA MN
a
V a a
a a a
V
 
 
 
 
 

0,25
HTTP://TOANCAPBA.COM
HTTP://TOANCAPBA.COM HOC TOAN VA ON THI DAI HOC MIEN PHI !

5
2
AA' '
7
32
BDMN SABD SA MN
a
V V V  

0,25
V

BĐT thành:
     
3 3 3
2 3
3
a a b b c c        

0,25
Xét hàm số
   
3
, 0;1f x x x x
   

Ta có:
 
ax
0;1
M
 
f x
=
2 3
9

0,25

0,25

. 12 2 2
ABCD
S AB AD AD
   

AD qua M và vuông góc với d
1


AD: x + y – 3 = 0
0,25
Lại có MA = MB =
2

Tọa độ A, D là nghiệm của hệ:
 
2
2
3 0
2
1
3 2
x y
x
y
x y
  



Gọi H là trung điểm đoạn AB
8HA 

0,25
IH
2
= 17
0,25
IA
2
= 81
9R 

0,25        
2 2 2
: 1 1 1 81C x y z     

0,25
VII.a 1,0 Ta có:
 
2

n n



     
 

0,25
7
14 3
7
4
7
4
0
1 1
2
2
k
k
k
x C x
x

 
 
 
 



0


a = 3, b = -4 hoặc a = 4, b = 3

AB:
3 4 32 0; :4 3 1 0x y AD x y     

0,25
Gọi I là tâm h?nh vuông

I(
1 9
; )
2 2

 
3;4C

: 4 3 24 0; :3 4 7 0BC x y CD x y      

0,25

KL:
0,25
2

1,0
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P)

1,0
Đk: x

0, y > 0
 
 
2
3 3
3 3
3
2
3
2
2
3 2
1
log log
log log 0
2
0
0
, 1
, 2
0
x y
x y
x y ay
x y my

Ta có : f(y) =
2
y y
>0 ,

y > 0
0,25
Do đó pt f(y) = a có nghiệm dương khi a>0
0,25 Vậy hệ có nghiệm khi a > 0
0,25

HTTP://TOANCAPBA.COM
HTTP://TOANCAPBA.COM HOC TOAN VA ON THI DAI HOC MIEN PHI !