1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DẠY HỌC MÔN TOÁN CẤP 3
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ta đã biết rằng bài toán tìm điều kiện về tính chất nghiên cứu phương trình,
bất phương trình thường xuất hiện trong các kỳ thi đại học và khi chương sách
giáo khoa bỏ định lý đảo về dấu tam thức bậc hai thì bài toán thuộc tuyến truên
mất đi một công cụ để giải. Tuy nhiên nếu phân tích vấn đề một cách cẩn thận thì
tuyến vẫn đề đó có thể giải quyết bằng phương pháp cực trị tương đối hiệu quả.
Và thực tế giải bằng phương pháp cực trị cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn hơn. Mặt
khác hướng dẫn học sinh bằng phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều
phẩm chất tư duy như phát triển tương khái quát hoá, tư duy hàm, tư duy phân
tích tổng hợp… từ việc phân tích ở trên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Sử
dụng phương pháp cục trị để xét phương trình, bất phương trình”.
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
A. Lý thuyết
1. Phương trình f(x) = m có nghiệm trên D

)(max)(min xfmxf
D
D


2. Bất phương trình f(x)  m có nghiệm trên D
<=> )(max xfm
D

3. Bất phương trình : f(x)  m có nghiệm đúng x+D
<=> )(min xfm
D

Là hàm số liên tục trên [0;1] từ bảng biến thiên của hàm số f(x) trên [0;1]
Ta có : maxf(x) = 0 ; min f(x) = - 1
[0 ; 1] [0; 1]
Vậy điều cận cần và đủ để phương trình có nghiệm trên [0; 1] là 1 m0
Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình 4x – x
2
 m nghiệm đúng x  [0; 5]
Giải: Xét hàm số f(x) = 4x – x
2

là hàm số bậc hai, biến x:

3

Có 4
2

a
b
Ta có f(0) = 0; f(4) = 0; f(5) = -5
Bất phương trình nghiệm đúng x  [0; 5]
Đáp số : m  - 5
Bài toán 3: Tìm điều kiện cho m để bất phương trình mx
4
– 4x + m  0 nghiệm
đúng xR
Giải vắn tắt :
Bất phương trình  )(
1
4

5)2(log42log
2
4
2
2
 mxxmxx

Giải : Điều kiện )2(
2
mxx   1

4

Bất phương trình 
5)2(log42log
2
4
2
2
 mxxmxx

Đặt t =
0;5)2(log
2
4
 tmxx

Bất phương trình trở thành : t
2
+ 4t – 5  0  - 5  t  t

Bất phương trình nghiệm đúng x  [0; 2] khi và chỉ khi

mxx
mxx


4)2(max
1)2(min
2
]2;0[
2
]2;0[
y

m
m




40
11
(Xem hình bên)
 2  m  4 0 2 x
-1

Bài toán 5: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm
X
3
+ 3x

3
)1 xx

Đồng biến khi x  1 => 3)1()(min
1


hxh
x

Vậy (2) có nghiệm khi và chỉ khi : a  3)2(min
1


h
x

Đáp số : a  3
Bài toán 6: Cho hàm số f(x) = (m – 1) 6
x
- 12
6
2
 m
x
tìm m để bất phương trình
(x – 6
1-x
) . f(x)  0 x  [0; 1]
Giải vắn tắt :

1
)(min
]6;1[
tg
Đáp số : m 
2
1

Bài toán 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(
mxxxx  )3)(1(31

Giải :
Đặt t =
xx  31
thì 2  t  2
2

+ Khi đó phương trình trở thành
f(x) = mt
t
 2
2
2

Lập bảng biến thiên của f(t) với 2  t  2 2
Ta có :
222)(min
]22;2[
tf

x
txx
t(-1) =
0)0(;2 t
=> 0  t 
2

(1) => t
2
+ m – 2 – t = 0 <=> m = -t
2
+ t + 2 = f(t)
=> f’(t) = -2t + 1 ; f’(t) = 0  t = 1/2
Bảng biến thiên:
T 0 1/2
2

f’ + 0 -
f 9/4
2 2
=> 2)(min;
4
9
)(max
]2;0[]2;0[
 tftf
Đáp số : m  [
]
4
9

2
12 x
(1) trở thành : t + t
2
– 2 – m + 2 = 0
 m = t
2
+ t = f(t) => f’(t) = 2t + 1> 0
 t  [
]2;2
; f(
2
) = 2 +
2
; f(2) = 6
=> 6)(max;22)(min
]2;2[]2;2[
 tftf
Vậy phương trình có nghiệm  m  [ 2 + 2 ; 6]
Phương trình vô nghiệm  m  (-
);6()22; 

Đáp số : m  (-
);6()22; 

Bài toán 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Sin
4
x + cos
4

Đáp số :
2
1
2
3
 m

CÁC BÀI TOÁN TỰ GIẢI
Bài 1: Tìm m để phương trình: x
2
– mx + 2m – 1 = 0
Có nghiệm x  (0; 1)
Bài 2: Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng x R
(x
2
+ 4x + 3) (x
2
+ 4x + 6)  a
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm
Phân biệt [0; 2]
024
122
22


m
xxxx

Bài 4: Tìm m để phương trình
x