Sở giáo dục và đào tạo

Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên

Tỉnh ninh bình

năm học 2008 - 2009

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang)

Câu 1 (3,5 điểm):
Cho biểu thức
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
P
x x x x
+
=
+ +

1. Rút gọn biểu thức
P
.
2. Tìm giá trị của
x
để

(4,0 điểm):
Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Ngời ta nhận thấy rằng, nếu mỗi ô
tô chỉ chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các
học sinh trên các ô tô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ô tô và có bao nhiêu học sinh đi tham
quan, biết rằng mỗi ô tô chỉ chở đợc không quá 32 học sinh.
Câu 4
(5,5 điểm):
Cho hình vuông ABCD. Điểm M di động trên tia đối của tia CD (M không trùng với C).
Đờng thẳng vuông góc với AM tại A cắt đờng thẳng BC tại N.
1. Chứng minh rằng tam giác MAN vuông cân.
2. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh rằng ba điểm D, B, E
thẳng hàng.
3. Xác định vị trí của điểm M sao cho tam giác EAC là tam giác đều.
Câu 5
(3,5 điểm):
1. Cho tam giác có độ dài các cạnh bằng
, ,
a b c
thoả mn điều kiện
2 2 2
a b c
+
.
Gọi
, ,
c
p r h
lần lợt là nửa chu vi, độ dài bán kính đờng tròn nội tiếp, độ dài đờng cao thuộc
cạnh
c

chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa
-Bài làm của học sinh đúng đến đâu các giám khảo cho điểm đến đó
-Học sinh đợc sử dụng kết quả của câu trớc để áp dụng cho câu sau
-Trong bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm
-Với các cách giải khác với đáp án tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhng không
vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
-Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải đợc thống nhất trong tổ chấm và chỉ cho
điểm theo sự thống nhất trong tổ chấm.
-Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đ chấm,không làm tròn
II. Đáp án và biểu điểm:
Câu Hớng dẫn chấm Điểm

Câu 1
(3.5 đ)
1. Điều kiện x
0

; x
1


Ta có
(15 11) (3 2)( 3) (2 3)( 1)
( 3)( 1)
x x x x x
P
x x
+ +
=
+

Ta có:
2 2 2
( ) 2 2 4
( ) ( )
a b a b ab ab
Q a b a b
a b a b a b a b
+ +
= = = + = +


áp dụng kết quả:
2
; 0 : ( ) 0 2 .
x y x y x y x y
+

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x=y
Ta có:
4
2. ( ). 4
( )
Q a b
a b
=


Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:
4
1 3



=


>



=






Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 4.
( Học sinh phải CM kết quả
2
; 0 : ( ) 0 2 .
x y x y x y x y
+
sau đó
mới áp dụng, n ếu HS không CM thì trừ 0.5 điểm phần này) 1.0

0.5


Theo giả thiết bài toán ta có
*
22 1
1
22 1
32
1
x
N
x
x
x
+






+






Mặt khác ta có:
22 1 22( 1) 23 23
22
1 1 1

+

=45>32 nên không thoả mn
x-1=23
24
x
=
.Khi đó
22 1
1
x
x
+

=23<32 nên thoả mn
Vậy Số ô tô ban đầu là 24
Số học sinh đi tham quan là 529
0.25

0.5
0.5 0.75 0.5


0
90
MAN =

Vậy tam giác MAN vuông cân đỉnh A. 0.5

0.5
0.5
0.25
D



0.5 0.5

0.5

c. Gọi a là độ dài các cạnh của hình vuông.
Do tam giác EAC cân đỉnh E nên:
EAC

đều khi và chỉ khi
. 2
EA AC a= =

* Trong tam giác vuông AMN: MN=2AE=2a
2

Khi đó AM= 2a.
* Trong tam giác vuông DAM ta có: DM
2
=AM
2
-AD
2
=4a
2
-a
2

= =
+ +
:

2 2 2 2 2 2 2
( ) 2( ) 2
2. ( 2 1).
2
2 1
5
a b c a b a b c
a b c a b c c
c
a b c
+ + +
+ + + +
>
+ +

Vậy ta có điều phải chứng minh.
( N ếu học sinh không chứng minh S=p. r thì trừ đi 0.5 điểm)
2. ( 1,0 điểm):
Ta có:
[ ]
2 2
2
(2009 ). 5 0 ( 2 1) 2007( 1) ( 1). 2003
( 1) 2007( 1) ( 1). 2003
( 1). ( 1) 2007 2003
x y x y x x x x y

0.5

0.25
0.5 0.25

0.5

0.5 3. (1.0 điểm)
. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho

0
là giao điểm thứ 2 của BF và đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Suy ra M
0
là điểm cố định
. Ta có 2008. MB + 2009. MC=2008.MB + 2008 ME=2008. BE

2008BF
D ấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M

M
0

Vậy 2008.MB + 2009.MC đạt giá trị lớn nhất khi M

M
0
0.25