Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 29

a)
(
)
(
)
217452
A B;;,;;

b)
432211
AB
(;;),(;;)

c)
109122034
AB
(;;),(;;)
-

d)
312121
AB
(;;),(;;)

e)
347532
AB
(;;),(;;)
c)
(
)
(
)
(
)
(
)
110021102111
A B C D
;;,;;,;;,;;
d)
(
)
(
)
(
)
(
)
200040006246
A B C D
;;,;;,;;,;;

e)
231412637548
ABCD

Baøi 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
· Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
· Tính thể tích khối hộp.
a)
(
)
(
)
(
)
(
)
101212111455
ABDC
;;,;;,;;,';;

b)
253100302312
ABCA
(;;),(;;),(;;),'(;;)c)
021111000110
ABDA
(;;),(;;),(;;;),'(;;)

d)
022012111121
ABCC

a) Phân tích vectơ
AE
uuur
theo các vectơ
ACAFAH
,,
uuuruuuruuur
.
b) Phân tích vectơ
AG
uuur
theo các vectơ
ACAFAH
,,
uuuruuuruuur
.
Baøi 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB¢. Chứng
minh rằng MN ^ A¢C.
Baøi 15. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB¢, CD, A¢D¢ lần
lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B¢M = CN = D¢P = x (0 < x < 1). Chứng minh AC¢ vuông
góc với mặt phẳng (MNP).

xyzaxbyczd
++++++=
(*).
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d
Þ
Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác định tâm J và bán kính R
¢
của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngồi)

Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):

222
2220
xyzaxbyczd
++++++=
với
222
0
abcd
++->

thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =
222

1246240
xyzxyz
++-+-+=
f)
222
61212720
xyzxyz
++ ++=

g)
222
84240
xyzxyz
++-++-=
h)
222
340
xyzxy
++-+=

i)
222
333631520
xyzxyz
+++-+-=
k)
222
622100
xyzxyz
++-+-+=


e)
222
226380
xyztxyztln.ln
++-+-++=

f)
2222
22421580
xyztxtytzt(ln)ln.(ln)ln
+++-+++++=

Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:
a)
1353
IR(;;),-= b)
5372
IR
(;;),
-=
c)
1325
IR
(;;),
-=
d)
2433
IR
(;;),

(;;),(;;)Baøi 5. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với:
a)
241523
AB
(;;),(;;)
-
b)
032241
AB
(;;),(;;)

c)
321213
AB
(;;),(;;)d)
433215
AB
(;;),(;;)

e)
235413
AB
(;;),(;;)


;;,;;,;;,;;

c)
231412637548
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

d)
572311944150
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)e)
623016201410
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

f)
010231222112
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)Baøi 7. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho
trước, với:
a)
120113201
ABC
POxz

++-+-+=
î
b)
222
322
24850
I
Txyzxyz
(;;)
():
ì
-
í
++-+-+=
î
VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu
Cho hai mặt cầu S
1
(I
1
, R
1
) và S
2
(I
2
, R

IIRR
=-
Û
(S
1
), (S
2
) tiếp xúc trong
·

1212
IIRR
=+
Û
(S
1
), (S
2
) tiếp xúc ngồi

·

121212
RRIIRR
-<<+

Û
(S
1
), (S

++ =
ï
î

c)
222
222
241050
46220
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
++-+-+=
í
++ +-=
ï
î
d)
222
222
842150
4122250
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
++-+ =
í
+++ +=

î

Baøi 2. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt cầu:
a)
222
2222
21364
4232
xyz
xyzm
()()()
()()()()
ì
ï
-+-++=
í
-+++-=+
ï
î
b)
222
2222
32181
1233
xyz
xyzm
()()()
()()()()
ì
ï

()()()()
ì
ï
+++++=
í
-+-+-=+
ï
î

PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 32

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu
1. Tập hợp điểm là mặt cầu
Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đó.
– Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M. Chẳng hạn có dạng:

2222
xaybzcR
()()()-+-+-=
hoặc:
222
2220
xyzaxbyczd

2
MA
MB
=
c)
222
0
MAMBkk
()
+=>

Baøi 2. Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
a)
22
124
MAMB
+=
b)
3
2
MA
MB
= c)
·
0
90
AMB =

d) MA = MB e)
222

e)
2222
2342414520
xyzmxmyzm(cos)(sin)sin
+++ + =

Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 33

1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
· Vectơ
0
n
¹
r
r
là VTPT của (a) nếu giá của
n
r
vuông góc với (a).
· Hai vectơ
ab
,
r

=
r
rr
là một VTPT của (
a
).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

222
00
AxByCzDvôùiABC
+++=++>

· Nếu (a) có phương trình
0
AxByCzD
+++=
thì
nABC
(;;)
=
r
là một VTPT của (a).
· Phương trình mặt phẳng đi qua
0000
Mxyz
(;;)
và có một VTPT
nABC
(;;)

) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình: (a):
1111
0
AxByCzD
+++=

(b):
2222
0
AxByCzD
+++=·
(
a
), (
b
) cắt nhau
Û

111222
ABCABC
::::
¹

·

·
(
a
)
^
(
b
)
Û

121212
0
AABBCC
++=

5. Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
a
): Ax + By + Cz + D = 0

( )
000
0

AxCzD
++=

(a) // Oy hoặc (a) É Oy
C = 0
0
AxByD
++=

(a) // Oz hoặc (a) É Oz
A = B = 0
0
CzD
+=

(a) // (Oxy) hoặc (a) º (Oxy)
A = C = 0
0
ByD
+=

(a) // (Oxz) hoặc (a) º (Oxz)
B = C = 0
0
AxD
+=

(a) // (Oyz) hoặc (a) º (Oyz)

PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng

)
000
0
AxxByyCzz
-+-+-=

Dạng 2: (
a
) đi qua điểm
(
)
000
Mx;y;z
có cặp VTCP
ab
,
r
r
:
Khi đó một VTPT của (
a
) là
[
]
nab
,
=
r
rr
.

nABAC
,
éù
=
ëû
uuuruuur
r

Dạng 5: (
a
) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP
u
r
.
– Một VTPT của (
a
) là:
nAMu
,
éù
=
ëû
uuur
rr

Dạng 6: (
a
) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):
VTCP

r
rr
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
hoặc d
2

Þ
M
Î
(
a
).
Dạng 8: (
a
) chứa đường thẳng d
1
và song song với đường thẳng d
2
(d
1
, d
2
chéo nhau):
– Xác định các VTCP
ab
,
r
r

2
:
– Xác định các VTCP
ab
,
r
r
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
a
) là:
[
]
nab
,
=
r
rr
.
Dạng 10: (
a
) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (b):
– Xác định VTCP
u
r
của (d) và VTPT

bg
rr
của (
b
) và (
g
).
– Một VTPT của (
a
) là:
nun
,
bg
éù
=
ëû
rrr
.
Dạng 12: (
a
) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
– Giả sử (
a
) có phương trình:
0
AxByCz+D
++=
(
)
222

r

Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở
lớp 11.
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 35

Baøi 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT
n
r
cho trước:
a)
(
)
(
)
=-
M3;1;1,n1;1;2
r
b)
(
)
(
)
-=
M2;7;0,n3;0;1
r
c)
(
)


Baøi 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với:
a)
211211
AB
(;;),(;;)

b)
114205
AB
(;;),(;;)

c)
234410
AB
(;;),(;;)d)
11
A;1;0,B1;;5
22
æöæö

ç÷ç÷
èøèø
e)
211
A1;;,B3;;1
323


c)
134272324
Mab
(;;),(;;),(;;)
-==
r
r
d)
405613321
Ma b
(;;),(;;);(;;)
-=-=
r
r

Baøi 4. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng
(
)
b
cho
trước, với:
a)
(
)
(
)
(
)
215

+-=

e)
235250
Mxyz
(;;),():
b
-+-+=
f)
111101020400
Mxyz
(;;),():
b
-+-=

Baøi 5. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng
toạ độ, với:
a)
(
)
215
M
;;
b)
(
)
121
M
;;
- c)

-

Baøi 6. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với:
a)
124321213
ABC
(;;),(;;),(;;)

b)
000213421
ABC
(;;),(;;),(;;)c)
123243456
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
352120037
ABC
(;;),(;;),(;;)e)
240517111
ABC
(;;),(;;),(;;)


e)
240517111
ABC
(;;),(;;),(;;)

f)
300050007
ABC
(;;),(;;),(;;)Baøi 8. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (b)
cho trước, với:
a)
( )
311214
2310
AB
xyz
(;;),(;;)
:
b
ì

í
-+-=
î
b)
( )
213421

AB
xyz
(;;),(;;)
:
b
ì

í
+=
î

Baøi 9. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (b), (g)
cho trước, với:
a)
(
)
(
)
12523102310
Mxyzxyz(;;),:,:
bg
+-+=-++=

b)
(
)
(
)
10222030
Mxyzxyz(;;),:,:

(
)
123235032510
MPxyzQ: xyz;;,:,
+-=-+-=

PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 36

b)
(
)
(
)
(
)
21140310
MPxyzQ: xyz;;,:,
+-=-+-=

c)
(
)
(
)
(
)
34119642704283110
MPxyzQ:xyz;;,:,
+=-++=

-+-=+-=-+=

Baøi 12. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a)
234023502320
PxyQyzRxyz
():,():,():
+-= =+ =

b)
2403020
PyzQxyzRxyz
():,():,():
+-=+-+=++-=

c)
2402502360
PxyzQxyzRxyz
():,():,():
+ =+++= +=

d)
320450270
PxyzQxyRxz
():,():,():
-+-=+-=-+=

Baøi 13. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
cách điểm M cho trước một khoảng bằng k, với:

î
c)
55510
33370
xyz
xyz
ì
+ =
í
+-+=
î

d)
64650
1281250
xyz
xyz
ì
+=
í
=
î
e)
22450
25
55100
2
xyz
xyz
ì

350
xymz
xnyz
ì
-+-=
í
++-=
î
c)
2350
6620
xmyz
nxyz
ì
++-=
í
+=
î

d)
390
2230
xymz
xnyz
ì
-+-=
í
++-=
î
e)

h)
2210
320
xnyz
xymz
ì
-+-=
í
-+-=
î
i)
33250
22100
xmyz
mxymz
()
()
ì
+-=
í
+-+-=
î

Baøi 3. Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau
a)
2720
32150
xymz
xyz
ì

xmyz
mxymz
()
()
ì
+-=
í
+-+-=
î

e)
4330
2710
xyz
mxyz
ì
=
í
+ =
î
f)
3530
3250
xymz
xyz
ì
-+-=
í
+++=
î

AxByCzD
dM
ABC
,()
a
+++
=
++ã
Khong cỏch gia hai mt phng song song bng khong cỏch t mt im bt kỡ trờn mt
phng ny n mt phng kia.
Chỳ ý: Nu hai mt phng khụng song song thỡ khong cỏch gia chỳng bng 0.

ã
im H l hỡnh chiu ca im M trờn (P)


MHncuứngphửụng
HP
,
()
ỡ
ớ
ẻ
ợ
uuuur
r


PxyzM
():,(;;)
-++=-
d)
24430234
PxyzM
():,(;;)
-++=-

e)
40211
PxyzM
():,(;;)
-+-=-
f)
320124
PxyzM
():,(;;)
-+-=

Baứi 2. Tỡm khong cỏch gia hai mt phng:
a)
2310
2350
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
-++=

-++=
ợ
e)
2450
3510
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
+ =
ợ
f)
36370
210
xyz
xyz
ỡ
+-+=
ớ
+-+=
ợ

Baứi 3. Tỡm tp hp cỏc im cỏch mt phng mt khong bng k cho trc:
a)
632703
xyzk
,
-+-==
b)

xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
-+-=
ợ
c)
2450
3510
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
+ =
ợ

d)
4810
4850
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
-++=
ợ
e)
2450

ù
ù
+-+=
ớ
ù
=
ù
ợ
b)
6210
6230
1
2
xyz
xyz
k
ỡ
-++=
ù
ù
-+-=
ớ
ù
=
ù
ợ
c)
63210
2260
4

():,(;;)
-++=-
d)
24430234
PxyzN
():,(;;)
-++=-

e)
40211
PxyzN
():,(;;)
-+-=-
f)
320124
PxyzN
():,(;;)
-+-=

Baứi 7. Tỡm im M trờn trc Ox (Oy, Oz) cỏch u hai mt phng:
a)
10
50
xyz
xyz
ỡ
+-+=
ớ
-+-=
ợ

-++=
í
-++=
î
e)
2450
3510
xyz
xyz
ì
-++=
í
+ =
î
f)
36370
210
xyz
xyz
ì
+-+=
í
+-+=
î

Baøi 8. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng
(Q) cho trước. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q):
a)
(
)
VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (
a
), (
b
) có phương trình: (
a
):
1111
0
AxByCzD
+++=

(
b
):
2222
0
AxByCzD
+++=

Góc giữa (
a
), (
b
) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
12
nn

090
(),()
ab
££.
·

121212
0
AABBCC()()
ab
^Û++=Baøi 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng:
a)
10
50
xyz
xyz
ì
+-+=
í
-+-=
î
b)
2210
2250
xyz
xyz
ì

ì
+=
í
++=
î
f)
33320
42490
xyz
xyz
ì
-++=
í
++-=
î

Baøi 2. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng a cho trước:
a)
0
213230
1450
90
mxmyz
mxmyz
()
()
a
ì
++=
ï

a
ì
++-+=
ï
+-+-=
í
ï
=
î

d)
0
30
211160
30
mxymz
mxmymz()()()
a
ì
-++=
ï
++-+ =
í
ï
=
î

Baøi 3. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi
g
b