Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
Trang 19
Baøi 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC) và
SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt
·
ACM
=a
, hạ SH vuông góc với
đường thẳng CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC.
b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI.
HD: a) Quĩ tích điểm H là một cung tròn. MaxV
SAHC
=
3
12
a b) AK =
2
1
asin
sin
a
a
+
,

AI
=
. Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc
với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Tính diện tích tứ giác này.
HD: a) AH =
2
2
4
a.cos
cos
a
a
+
b) S
MNPQ
=
2
41
axxa
(–)sin
.
Baøi 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x
æö
ç÷
ç÷
èø
2
0 < x <
2

3
a
4
.
HD: a) MN =
22
2
axy
()
+- b) V =
3
6
a
xy
()
+
, (x, y) =
2
a
a
;
æö
ç÷
èø
hoặc
2
a
a
;
æö

ỗữ
ốứ
b) d =
a
tan
cos
a
a

Baứi 6. Trờn na ng trũn ng kớnh AB = 2R ly mt im C tựy ý. Dng CH vuụng
gúc vi AB (H thuc on AB) v gi I l trung im ca CH. Trờn na ng thng It
vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti I ly im S sao cho gúc
ã
ASB
= 90
o
.
a) Chng minh tam giỏc SHC l tam giỏc u.
b) t AH = h. Tớnh th tớch V ca t din SABC theo h v R.
HD: b) V =
( )
3
2
Rh2Rh


Baứi 7. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh 2a. Trờn ng thng d qua trung im I ca cnh AB
v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ly im E sao cho IE = a. M l im thay i trờn
cnh AB, h EH ^ CM. t BM = x.
a) Chng minh im H di ng trờn mt ng trũn. Tớnh di IH.

a) Chng minh rng khi M thay i trờn cnh AD thỡ ng thng MH ct ng thng
A'B ti mt im c nh.
b) Tớnh t s th tớch ca hai khi a din to bi mt phng A'BM ct hỡnh hp trong
trng hp M l trung im ca cnh AD.
c) Gi s AA' = AB v MB vuụng gúc vi AC. Chng minh rng mt phng A'BM
vuụng gúc vi AC' v im H l trc tõm ca tam giỏc A'BM.
HD: a) MH ct A
Â
B ti trung im I ca A
Â
B. b)
1
2
1
11
V
V
=

Baứi 9. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a. I l trung im AB. Qua I dng ng vuụng
gúc vi mt phng (ABCD) v trờn ú ly im S sao cho 2IS = a
3
.
a) Chng minh rng tam giỏc SAD l tam giỏc vuụng.
b) Tớnh th tớch khi chúp S.ACD ri suy ra khong cỏch t C n mt phng (SAD).
HD: b) V =
3
3
12
a

Baứi 11. Trong mt phng (P), cho mt hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a. S l mt im bt
Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
Trang 21

kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A.
a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a.
b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Î CB, N Î CD) và đặt
CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và
(SAN) tạo với nhau một góc 45°.
HD: a) V =
3
a6
p
b)
(
)
0
2
2a2mnamn–
++=

Baøi 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
()
SAABCD
^
và
2
SAa
=
.Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc

sin
a

b) HK =
cos
2
1sin
a
a
+
a

Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc. Đặt SA = a,
SB = b, SC = c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c.
b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N.
i) Chứng minh rằng
3
ABAC
AMAN
+=
.
ii) Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C có tâm O thuộc mặt phẳng
(P). Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c khi mặt phẳng (P) song song với BC
HD: a) SG =
1
222
3
++
abc

(0
£
x
£
a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy
điểm S sao cho SA = y (y > 0).
a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (SBC).
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x.
d) Biết rằng x
2
+ y
2
= a
2
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.
HD: b) d(M, (SAC)) =
2
2
x
c) V =
1
()
6
yaax
+

d) MaxV =
3
3


Baøi 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc
µ
0
120
A =
, BD = a > 0. Cạnh
bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60
0
. Một mặt phẳng
(P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp
do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp.
HD:
1
2
1
12
V
V
=

Baøi 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ =
2
3a
và góc
·
0
60
BAD =
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh

Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
HD: V =
18
3
3
a Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
[email protected]
Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 23 1. nh ngha v cỏc phộp toỏn
ã nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian c xõy dng hon ton
tng t nh trong mt phng.
ã Lu ý:
+ Qui tc ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú:
ABBCAC
+=

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
r

+ H thc trng tõm t din: Cho G l trng tõm ca t din ABCD, O tu ý.
Ta cú: 04
GAGBGCGDOAOBOCODOG
;+++=+++=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
r

+ iu kin hai vect cựng phng: 0
avaứbcuứngphửụngakRbka
()!:
ạ$ẻ=
r
rr
rrr

+ im M chia on thng AB theo t s k (k ạ 1), O tu ý.
Ta cú:
1
OAkOB
MAkMBOM
k
;
-
==
-
uuuruuur
uuuruuuruuur

x
r
tu ý.
Khi ú: $! m, n, p ẻ R:
xmanbpc
=++
r
rrr

3. Tớch vụ hng ca hai vect
ã Gúc gia hai vect trong khụng gian:

ã
ã
00
0180
ABuACvuvBACBAC
,(,)()
==ị=ÊÊ
uuuruuur
rrrr

ã Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian:
+ Cho
0
uv,
ạ
r
rr
. Khi ú:
CH

NG III

PHNG PHP TO TRONG KHễNG GIAN
I. VECT TRONG KHễNG GIAN
PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 24

1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
ijk
,,
rrr
là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa
độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý:
222
1

r
r

·
123
kakakaka
(;;)
=
r

·
11
22
33
ab
abab
ab
ì
=
ï
=Û=
í
ï
=
î
rr

·
0000100010001
ijk

akb
aaa
akbbbb
bbb
akb
,(,,)
ì
=
ï
Û=Û==¹
í
ï
=
î

·
112233
abababab

=++
r
r
·
112233
0
abababab
^Û++=
rr

·

r
r
r
r
(với
0
ab,
¹
r
r
r
)
3. Tọa độ của điểm:
a) Định nghĩa:
MxyzOMxyz
(;;)(;;)
Û=
uuur
(x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
·
M
Î
(Oxy)
Û
z = 0; M
Î
(Oyz)
Û
x = 0; M

·
222
BABABA
ABxxyyzz
()()()
=-+-+-
· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
111
ABABAB
xkxykyzkz
M
kkk
;;
æö

ç÷

èø

· Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
222
ABABAB
xxyyzz
M ;;
æö
+++
ç÷
èø

· Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

=
r
,
123
bbbb
(,,)
=
r
.
[ ]
( )
233112
233231131221
233112
aaaaaa
abababababababab
bbbbbb
,;;;;
ổử
==ỗữ=
ỗữ
ốứ
rr
rr

Chỳ ý: Tớch cú hng ca hai vect l mt vect, tớch vụ hng ca hai vect l mt s.
b) Tớnh cht:
ã
[
]

=
rrr

c) ng dng ca tớch cú hng:
ã iu kin ng phng ca ba vect:
ab
,
rr
v
c
r
ng phng
0
abc[,].
=
rrr

ã Din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD:
ABCD
SABAD
,
ộự
=
ởỷ
Y
uuuruuurã
Din tớch tam giỏc ABC:

ã
Th tớch t din ABCD:
1
6
ABCD
VABACAD
[,].=
uuuruuuruuur
Chỳ ý:

Tớch vụ hng ca hai vect thng s dng chng minh hai ng thng vuụng gúc,
tớnh gúc gia hai ng thng.
Tớch cú hng ca hai vect thng s dng tớnh din tớch tam giỏc; tớnh th tớch khi
t din, th tớch hỡnh hp; chng minh cỏc vect ng phng khụng ng phng, chng minh
cỏc vect cựng phng. []
[]
0
0
0
abab
avaứbcuứngphửụngab
abcủongphaỳngabc
.
,

222
abcd
++-
.

PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 26

VN 1: Cỏc phộp toỏn v to ca vect v ca im
S dng cỏc cụng thc v to ca vect v ca im trong khụng gian.
S dng cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian. Baứi 1. Vit ta ca cỏc vect sau õy:
2
aij
=-+
rr
r
;
78
bik
=-
rr
r
;
9

b
(;;)
=-
r
;
41
0
3
3
c ;;
ổử
=
ỗữ
ốứ
r
;
11
3
5
d ;;
p
ổử
=
ỗữ
ốứ
r

Baứi 3. Cho:
(
)

2
4
3
ubc
=-+
r
rr

d)
35
uabc
=-+
r
rrr
e)
14
2
23
uabc
=
r
rrr
f)
32
43
uabc
=
r
rrr


r

c)
2
axb
+=
r
rr
vi
(
)
541
a
;;
=-
r
,
(
)
253
b
;;
=-
r

Baứi 5. Cho
134
a
(;;)
=-

111401321
abc
;;,;;,;;
=-=-=-
r
rr
. Tỡm:
a)
(
)
abc
.
r
rr
b)
(
)
2
abc
.
r
rr
c)
222
abbcca
++
rr
rrrr

d)

;;,;;
==-
r
r
b)
(
)
(
)
254603
ab
;;,;;
==-
r
r

c)
212022
ab
(;;),(;;)
=-=-
r
r
d)
32233231
ab
(;;),(;;)
==-
r
r

=-=-=
ợ
r
rr
r
rrrrr
b)
231123211
6
abc
uaubuc
(;;),(;;),(;;)
,,.
ỡ
=-=-=-
ớ
^^=-
ợ
r
rr
r
rrrrr

c)
231121243
342
abc
aubucu
(;;),(;;),(;;)
.,.,.

aubucu
(;;),(;;),(;;)
.,.,
ỡ
==-=-
ớ
=-=-^
ợ
r
rr
r
rrrrr

Baứi 9. Cho hai vect
ab
,
r
r
. Tỡm m :
a)
212022
23
ab
uambvaứvmabvuoõnggoực
(;;),(;;)
ỡ
=-=-
ớ
=+=-
ợ

ợ
r
r
rr
rrrr

Baứi 10. Cho hai vect
ab
,
r
r
. Tớnh X, Y khi bit:
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 27

a)
46
abab
Xab
,,
ì
==^
í
=-
î
rr
rr
r
r
b)

rr
rr
d)
(
)
0
212660
abab
XabYab
(;;),,,
,
ì
= ==
í
=-=+
î
rr
rr
rr
rr

Baøi 11. Cho ba vectơ
abc
,,
r
rr
. Tìm m, n để
[
]
cab

r
rr

c)
(
)
(
)
(
)
2315641
abcmn
;;,;;,;;
===
r
rr

Baøi 12. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
abc
,,
r
rr
trong mỗi trường hợp sau đây:
a)
(
)
(
)
(
)

= ==-
r
rr
d)
(
)
(
)
(
)
425313201
abc
;;,;;,;;
===
r
rr

e)
231120324
abc
(;;),(;;),(;;)
==-=-
r
rr
f)
548230177
abc
(;;),(;;),(;;)
=-=-=-
r

12121022
ambmcm
;;,;;,;;
==+=-
r
rr

b)
21121122212
ammbmmcmm
(;;);(;;),(;;)
=+-=++=+
r
rr

c)
(
)
(
)
(
)
1212122
ammmbmmmc
;;,;;,;;
=+-=-+=
r
rr

d)

rr
:
a)
(
)
(
)
(
)
210112221
377
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
==-=-
í
=-
î
r
rr
r
b)
(
)
(
)
(
)

í
=-
î
r
rr
r
d)
(
)
(
)
(
)
102230034
1622
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
==-=-
í
=
î
r
rr
r

e)
(

;;,;;,;;
(;;)
ì
=-=-=
í
=-
î
r
rr
r

Baøi 15. Chứng tỏ bốn vectơ
abcd
,,,
rr
rr
đồng phẳng:
a)
(
)
(
)
(
)
2614324222111
abcd
;;,;;,;;,(;;)
= = = =
rr
rr

rr
(với m, n ≠ 0) b)
acdmanb
,, =+
rr
rrr
(với m, n ≠ 0)
c)
abdmanbpc
,, =++
rrr
rrr
, (với m, n, p ≠ 0) d)
bcdmanbpc
,, =++
rrr
rrr
, (với m, n, p ≠ 0)
e)
acdmanbpc
,, =++
rr
rrrr
, (với m, n, p ≠ 0)

ộự
=
ởỷ
uuuruuur
rã
ABCD l hỡnh bỡnh hnh


ABDC
=
uuuruuurã
Cho
D
ABC cú cỏc chõn E, F ca cỏc ng phõn giỏc trong v ngi ca gúc A ca
D
ABC
trờn BC. Ta cú:
AB
EBEC
AC
.
=-
uuuruuur
,

123
M
(;;)
b)
312
M
(;;)
-
c)
113
M
(;;)

d)
121
M
(;;)
-

e)
257
M
(;;)
-
f)
22157
M
(;;)
-
g)


e)
257
M
(;;)
-
f)
22157
M
(;;)
-
g)
11910
M
(;;)
-
h)
367
M
(;;)

Baứi 3. Xột tớnh thng hng ca cỏc b ba im sau:
a)
131012001
ABC
(;;),(;;),(;;)
b)
111431951
ABC
(;;),(;;),(;;)

-

c)
347532123
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
423211387
ABC
(;;),(;;),(;;) e)
312121113
ABC
(;;),(;;),(;;)

f)
414074312
ABC
(;;),(;;),(;;) g)
(
)
(
)
(


d)
312121
AB
(;;),(;;)

e)
347532
AB
(;;),(;;)

f)
423211
AB
(;;),(;;)Baứi 6. Trờn mt phng Oxy (Oxz, Oyz), tỡm im cỏch u ba im:
a)
111110311
ABC
(;;),(;;),(;;)

b)
324007533
ABC
(;;),(;;),(;;)c)