TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š
BÀI TẬP

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC


()(),,
()()
()()
PQR
PQaabcủongqui
PRbabc
QRc
ỡ
ạạ
ù
ù
ộ
ầ=
ị
ớ
ờ
ầ=
ở
ù
ầ=
ù
ợ
PP

ã

()()
(),()
()
PQd

P
PP

2. ng thng v mt phng song song
a) nh ngha: d // (P)

d
ầ
(P) =
ặ

b) Tớnh cht

ã

(),'()
()
'
dPdP
dP
dd
ỡ
ậè
ị
ớ
ợ
P
P

ã

3. Hai mt phng song song
a) nh ngha: (P) // (Q)

(P)
ầ
(Q) =
ặ

b) Tớnh cht

ã

(),
()()
(),()
Pab
abMPQ
aQbQ
ỡ
ẫ
ù
ầ=ị
ớ
ù
ợ
P
PP

ã


ợ
P
P

4. Chng minh quan h song song
a) Chng minh hai ng thng song song
Cú th s dng 1 trong cỏc cỏch sau:

ã
Chng minh 2 ng thng ú ng phng, ri ỏp dng phng phỏp chng minh
song song trong hỡnh hc phng (nh tớnh cht ng trung bỡnh, nh lớ Talột o, )

ã
Chng minh 2 ng thng ú cựng song song vi ng thng th ba.

ã
p dng cỏc nh lớ v giao tuyn song song.
b) Chng minh ng thng song song vi mt phng
chng minh
()
dP
P
, ta chng minh d khụng nm trong (P) v song song vi mt
ng thng d
Â
no ú nm trong (P).
c) Chng minh hai mt phng song song
Chng minh mt phng ny cha hai ng thng ct nhau ln lt song song vi hai
ng thng trong mt phng kia.


l VTCP ca b. Khi ú
.0
abuv
^=
rr
.

ã

bc
ab
ac
ỡ
ÔÔ
ị^
ớ
^
ợ

2. ng thng v mt phng vuụng gúc
a) nh ngha: d
^
(P)

d
^
a,
"
a
è

ab
aPbP(),()
ỡ
ạ
ị
ớ
^^
ợ
P

ã
PQ
aQ
aP
()()
()
()
ỡ
ị^
ớ
^
ợ
P
ã
PQ
PQ
PaQa
()()
())
(),()

ớ
^^
ợ
P

ã Mt phng trung trc ca mt on thng l mt phng vuụng gúc vi on thng ti
trung im ca nú.
Mt phng trung trc ca on thng l tp hp cỏc im cỏch u hai u mỳt ca
on thng ú.
ã nh lớ ba ng vuụng gúc
Cho
(),()
aPbP
^è, a l hỡnh chiu ca a trờn (P). Khi ú b ^ a b ^ aÂ
3. Hai mt phng vuụng gúc
a) nh ngha: (P)
^
(Q)


ã
(
)
0
90
PQ(),()=
b) Tớnh cht
ã iu kin hai mt phng vuụng gúc vi nhau:
()
()()

aAaQ
ỡ
^
ù
ẻịè
ớ
ù
'^
ợ

ã
()()
()()()
()()
PQa
PRaR
QR
ỡ
ầ=
ù
^ị^
ớ
ù
^
ợ

4. Chng minh quan h vuụng gúc
a) Chng minh hai ng thng vuụng gúc
chng minh
da

·
Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …).
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ^ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

·
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).

·
Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

·
Chứng minh d // a và a
^
(P).

·
Chứng minh d
Ì
(Q) với (Q)
^
(P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

·
Chứng minh d = (Q)
Ç
(R) với (Q)
^
(P) và (R)
^

abab
=
Chú ý: 0
0
£
¶
(
)
ab
,
£ 90
0

b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
· Nếu d ^ (P) thì
·
(
)
,()
dP
= 90
0
.
· Nếu
()
dP
^ thì
·
(
)

aP
PQab
bQ
ì
^
Þ=
í
^
î

· Giả sử (P) Ç (Q) = c. Từ I Î c, dựng
(),
(),
aPac
bQbc
ì
Ì^
í
Ì^
î
Þ
·
(
)
¶
(
)
(),(),
PQab
=

Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

·
Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.

·
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia.
III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 4

1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho DABC vuông tại A, có đường cao AH.
·
222
ABACBC
+=
·
22
ABBCBHACBCCH
.,.
== ·
222
111
AHABAC

sin
sin
sin
===
· Công thức độ dài trung tuyến:

222222222
222
242424
abc
bcacababc
mmm;;
+++
=-=-=-

2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
·
cba
hchbhaS .
2
1
.
2
1
.
2
1
=== · CabBcaAbcS sin
2


· DABC đều, cạnh a:
2
3
4
a
S =
b) Hình vuông: S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy
´
cao =
·
ABADsinBAD e) Hình thoi:
·
1
2
SABADsinBADACBD

==
f) Hình thang:
( )
hbaS .
2
1

1
3
ủaựy
VSh
.
=
vi S
ỏy
l din tớch ỏy, h l chiu cao ca khi chúp
3. Th tớch ca khi lng tr:

ủaựy
VSh
.
=
vi S
ỏy
l din tớch ỏy, h l chiu cao ca khi lng tr
4. Mt s phng phỏp tớnh th tớch khi a din
a) Tớnh th tớch bng cụng thc

ã
Tớnh cỏc yu t cn thit: di cnh, din tớch ỏy, chiu cao,

ã
S dng cụng thc tớnh th tớch.
b) Tớnh th tớch bng cỏch chia nh
Ta chia khi a din thnh nhiu khi a din nh m cú th d dng tớnh c th
tớch ca chỳng. Sau ú, cng cỏc kt qu ta c th tớch ca khi a din cn tớnh.
c) Tớnh th tớch bng cỏch b sung

2
a
tan
a

ị
Va
3
1
tan
6
=a

Baứi 2. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, cnh bờn
SA = a
5
. Mt mt phng (P) i qua AB v vuụng gúc vi mp(SCD) ln lt ct SC v
SD ti CÂ v DÂ. Tớnh th tớch ca khi a din ADDÂ.BCCÂ.
HD: Ghộp thờm khi S.ABC'D' vo khi ADD'.BCC' thỡ c khi SABCD

ị

a
V
3
53
6
=
Baứi 3. Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú SA = x, BC = y, cỏc cnh cũn li u bng 1.
Tớnh th tớch hỡnh chúp theo x v y.


ị

Vabcbcacab
222222222
2
()()()
12
=+-+-+-
Baứi 5. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^
(ABC).Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB v SC. Tớnh th
tớch khi chúp A.BCNM.
HD:
2
2
2
16
25
SAMN
SABC
V
SASMSNSA
VSASBSC
SB

ổử
===
ỗữ
ỗữ
ốứ

im M, N v gi BM = x, DN = y. Tớnh th tớch t din ACMN theo a, x, y.
Baứi 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB =a, AD = a
2
, SA
^ (ABCD). Gi M,N ln lt l trung im ca AD v SC, I l giao im ca BM v AC.
a) Chng minh mp(SAC) ^ BM.
b) Tớnh th tớch ca khi t din ANIB.
Baứi 12. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^ (ABC).
Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB, SC. Tớnh th tớch khi
chúp A.BCNM.
Trn S Tựng Khi a din
Trang 7

Baứi 1. Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD, cú cnh ỏy bng a v
ã
ASB
a
=

tam giỏc cõn nh A, trung tuyn AD = a. Cnh bờn SB to vi ỏy gúc a v to vi
mp(SAD) gúc b.
a) Xỏc nh cỏc gúc a, b.
b) Chng minh: SB
2
= SA
2
+ AD
2
+ BD
2
.
c) Tớnh din tớch ton phn v th tớch khi chúp.
HD: a)
ã
ã
SBABSD;
ab
==

c) S
tp
=
22
22
22
1
22
2
aasin

744
2
aaaxx
ax
-+
+

Baứi 4. Trờn ng thng vuụng gúc ti A vi mt phng ca hỡnh vuụng ABCD cnh a ta
ly im S vi SA = 2a. Gi BÂ, DÂ l hỡnh chiu ca A lờn SB v SD. Mt phng (ABÂDÂ)
ct SC ti CÂ. Tớnh th tớch khi chúp SABÂCÂDÂ.
HD:
8
15
SABC
SABC
V
V
ÂÂ
=

ị
V
SAB
Â
C
Â
D
Â

=

=
2
3
a .
Baøi 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
và cạnh đáy
bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và
hình chóp.
HD: a) V =
3
6
6
a
b) S =
2
3
3
a

Baøi 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là
a.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo a và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).
HD: a) S
xq
=
2

e) I là trung điểm của SC. Tìm quĩ tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên
đoạn AD.
HD: b) d =
2
2
x
c) V =
1
6
ayxa
()
+
d) V
max
=
3
1
3
24
a
Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA
vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một góc b.
a) Chứng minh: SC
2
=
2
22
a
cossin
ab