Sở Giáo dục và đào tạo

thanh hoá
CHNH THC
Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI TỉNH

Nm hc: 2008-2009
Mụn thi: Toán
LP : 12 THPT
Ngy thi: 28/03/2009
Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao )
Bài 1
(5,0 điểm)
Cho hàm số
23
23
+= xxy
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:

2323
2323
+=+ mmxx

3. Với mỗi điểm M thuộc (C) kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C)?
Bài 2(4,0 điểm)
1. Tính tích phân: I =
dx
xx
xe

log2(
22
2
2
<
+
+
+
+
+

m
m
x
m
m
x
m
m
.
3. Với giá trị nào của x, y thì 3 số
y
yx
yx
uuu 5,
log
2,
log
8
3

là tiếp
tuyến của (C). Khi đó hy viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác MT
1
T
2
.
2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC =1)
và các cạnh bên SA = SB = SC = 3. Gọi K, L lần lợt là trung điểm của AC và BC.
Trên cạnh SA, SB lần lợt lấy các điểm M, N sao cho SM = BN = 1. Tính thể tích
của tứ diện LMNK.
Bài 5
(1,0 điểm)
Cho n là số nguyên lẻ và n >2. Chứng minh rằng với mọi a khác 0 luôn có:

1)
!)!1(

!3!2
1)(
!

!3!2
1(
13232
<

++++++++

n
a


Đáp án và h
ớng dẫn chấm

Điểm

Bài1

5đ
1(3đ)

1. Tập xác định: R

2 Sự biến thiên
10
2
0
0
66;63
,,
,
,,2,
==



=
=
=
==

-

0 +

y2
)0;1(U
+



-
2
3 Đồ thị :
y 2 1


1,0

1,0
2. (1đ) Đặt
23)(
23
+= mmmf

Số nghiệm của phơng trình
2323
2323
+=+ mmxx
là số giao điểm của
đờng thẳng y =
23)(
23
+= mmmf
với đồ thị (C)

3;2;0;1

=
m
phơng trình có 2 nghiệm

0,5 *
30;01
<
<
<
<

mm
phơng trình có 3 nghiệm

=
=
=


=++

++=+
2
3
0)
2
3
)((
03)3(2)(
))(63()(3)(
23))(63(23)(
0
0
00
2
0
2
00
00
2
0
2
0
23

2
3
IMa
a
a


có 2 tiếp tuyến 0,25

0,25 0,25

0,25
Bài2

4đ




+
=
=






+
=
=
2
1
2
)2(
2
2
x
v
xdxdu
x
dx
dv
xu
2
3
ln4
3
5
2
3
ln4
3
5
)2ln3(ln42
3
1
2ln42
3
1
22
1
0
1
0
eeI
xx
=
=+=++0,25
đến a
6

mà mỗi cách chỉ có một chữ số lẻ.
*Trong tất cả các cách sắp xếp đó thì những cách xếp có chữ số 0 đứng ở vị trí
a
1
không phải là một số có 6 chữ số
* Do tính bình đẳng của các chữ số đ chọn có
6
1
số cách sắp xếp không phải
là số có 6 chữ số và bằng
!5.5
6
!6.5
=

Vậy số các số có 6 chữ số mà trong nó chỉ có một số lẻ là
5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 số

0,5

0,5




=
=
==+
3
2
0
0460)21(43
2
323
z
z
zzzzzx

*
Zkkxkttz +==== ;
4
0sin0




*
==
3
2
sin
3



+=
++=







+=
+=




+=
+=
,
24
24
2
2
22
22





0,5

0,25
2.(2đ) Đặt
1
log1
2
+
+=
m
m
a
, bất phơng trình đ cho trở thành:

022)3(
2
< aaxxa
(1)
Vế trái của (1) là một tam thức bâc hai ẩn x có hệ số của x
2
là
a

3

6
3
3
0)3(2
3
2
>








>
<
>




<+
>
a
a
a
a
aaa
a

m
m
m
. 0,5
0,5

0,5
0,5








=


=
+
)2(5
2
log
2
)1(
2
log
2
2
log
8
y
yx
yxyx

Từ (1)
yxyxyx
222
log2loglog33

0,25
0,5
Bài4

5đ

1.(3đ)

Đờng tròn (C) có tâm I ( 0 ; 1 ) bán kính R = 1
Điểm T thuộc trục hoành thì T( t ; 0)
Điểm M( m; 3) thuộc đờng thẳng y = 3 , ta có:
Phơng trình đờng thẳng MT:

03)(3
3
3
=+


=


tymtx
y
m
t
mx

(t
2
;0) để MT
1
và MT
2
là tiếp tuyến của (C).

* Theo định lý Vi ét có t
1
+ t
2
= -2m. Phơng trình đờng tròn (C
1
) ngoại tiếp tam
giác MT
1
T
2
có dạng:

022
22
=++++ cbyaxyx

Vì M, T
1
, T
2
thuộc đờng tròn (C

212121
2
2
2
1
maam
attttdottatt
==+
=++=+

Thay vào (2) ta có
02
1
2
1
=++ cmtt

Do t
1
là nghiệm của(*) nên
3032
1
2
1
==+ cmtt

Thay c = -3 vào (1) ta đợc:
2
2
03629


0,5 0,5 0,5
0,5

=


;
SKCEKM
SS
6
1
=


Mặt khác khoảng cách từ L đén mặt phẳng (MKE) bằng
2
BK

Vậy
SABCKLME
VV
12
1
=
mà

144
34
26
17
.
12
1

0,5
0,5 0,5
Bài5

1đ
Coi a là ẩn , điều kiện a khác 0

Đặt
)!1(

!2
1
!

!3!2
1
12
,
32

++++=
+++++=

n

aaaa
av
n
a
n
aaa
av
nn
nn

Khi đó
!
,
!
,,
n
a
vv
n
a
uu
nn
=+=0)
)!1(

!4!2
1(2

nnn
+=+=+=

Do





><
<>
>+
00)(
00)(
0,0
,
,
akhiaf
akhiaf
avu

Ta có bảng biến thiên

a


+


00,25

0,25 0,25