http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO

BẮC GIANG ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: Toán-lớp 12.
Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010.
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao ñề).
Câu I. (5,0 ñiểm)
Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 (m là tham số) (1)
1. Tìm m ñể hàm số (1) ñạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 2x
2
= 3.
2. Tìm m ñể ñường thẳng y = 1 c
ắt
ñồ thị hàm số (1) tại ba ñiểm phân biệt A(0;1), B, C sao
cho các tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.

Câu IV. (2,0 ñiểm)
Tính tích phân:
4
2
0
tan
cos 1 cos
xdx
x x
π
+
∫
.
Câu V. (4,0 ñiểm)
1. Trong hệ tọa ñộ Oxy, cho ñiểm A(3; 2), các ñường thẳng ∆
1
: x + y – 3 = 0 và ñường
thẳng ∆
2
: x + y – 9 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm B thuộc ∆
1
và ñiểm C thuộc ∆
2
sao cho tam giác
ABC vuông cân tại A.
2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và mặt phẳng
(P): x + y + z - 6 = 0.
Tìm tọa ñộ ñiểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA
2
+ MB
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: Toán, lớp 12.
Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010
(Hướng dẫn có 4 trang)

Chú ý
: Dưới ñây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho ñiểm từng phần của mỗi bài. Bài làm
của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác mà ñúng thì chấm
ñiểm từng phần tương ứng.

Câu Phương pháp - Kết quả ðiểm

1. Ta có y’ = 3x
2
+ 6x + m 0,5
Ycbt tương ñương với phương trình 3x
2
+ 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
,
x
2
thỏa mãn x
1
+ 2x
2

0,5
I.1
(2ñiểm)

Giải hệ trên ta ñược m = -105 0,5
2.+) Hoành ñộ ñiểm chung của (C) và d là nghiệm của phương trình
x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 = 1 ⇔ x(x
2
+ 3x + m) = 0
0,5
Từ ñó tìm ñược m <
9
4
và m ≠
0 thì d cắt (C) tại ba ñiểm phân biệt A(0; 1), B, C.
0,5
+) B(x
1
; 1), C(x
2
; 1) với x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình
x

0,5
I.2
(2ñiểm)⇔

9 65
m ( t/m)
8
9 65
m ( t/m)
8

−
=



+
=



0,5
1. ðiều kiện x, y ≥ 0 0,5
II.1
(2ñiểm)

Xét y = 0, không thỏa mãn hpt

 
− −
⇔
 
− =

 
= ≠

−


(*) ⇔ 4t
3
– 8t
2
+ t + 3 = 0
1
ð
Ề CHÍNH THỨC

http://ebook.here.vn
–
Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án



0,5
⇔
4
os3 sinx 2
x k
c x
π
π

= − +


− =


0,5
II.2
(2ñiểm)

Chứng minh ñược phương trình cos 3x – sin x = 2 vô nghiệm
KL: x =
4
k
π
π
− +

0,5

∈ (-2;
19
4
)
1
I =

4
2
0
tan
cos 1 cos
xdx
x x
π
+
∫
=
4
2 2
0
tan
cos 2 tan
xdx
x x
π
+
∫
.


3 3
2 2
3 2
tdt
dt
t
= = −
∫ ∫

0,5
1.

B
∈

∆
1

⇔
B(a; 3 –a) . C
∈

∆
2

⇔
C(b; 9-b)
∆
ABC vuông cân tại A
⇔

http://ebook.here.vn
–
Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án
4

(1) ⇔ b =
5a - 8
a - 2
. Thế vào (2) tìm ñược a = 0 hoặc a = 4
0,5
Với a = 0 suy ra b = 4.
Với a = 4 suy ra b = 6.
0,5
2.Gọi I là trung ñiểm của AB ⇒ I ( 1; 1; 1)
+) MA
2
+ MB
2
= 2MI
2
+ IA
2
+ IB
2

Do IA
2
+ IB
2
không ñổi nên MA

và ∆ DMB cân tại M 0,5
Tính ñư
ợc: DM
2
=
2
3
a
2

0,5
∆ SCD vuông tại D và DM là ñường cao nên
2 2 2
1 1 1
= +
DM DS DC

Suy ra DS = a
2
. Tam giác ASD vuông tại A suy ra SA = a.
0,5
VI
(2ñiểm)

Vậy thể tích S.ABCD bằng
1
3
a
3


( )( ) 8 8 4
a b c a b a
b c c a
+ +
+ + ≥
+ +3
5 2
( )( ) 8
a a b c
b c c a
− −
⇒ ≥
+ +
(1) 0,5
VII
(1ñiểm)

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh ñược:

http://ebook.here.vn
–

a + b + c ≥
3( )
ab bc ca
+ +
= 3.
ðẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 (ðpcm)
0,5